数学宁夏石嘴山市平罗中学届高三第四次模拟试题理.docx
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数学宁夏石嘴山市平罗中学届高三第四次模拟试题理
宁夏石嘴山市平罗中学2018届高三第四次(5月)模拟
数学试题(理)
一、选择题
1.已知,,则()
A.B.
C.D.
2.为虚数单位,复数在复平面内对应的点所在象限为()
A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限
3.某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了下图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为,,,,.根据直方图,这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是()
A.68B.72C.76D.80
4.我国古代数学名著《九章算术》有如下问题:
“今有女子善织,日自倍五日织五尺,问
日织几何?
”意思是:
“一女子善于织布,每天织布的布都是前一天的2倍,已知她5天共
织布5尺,问这女子每天分别织布多少?
”根据上述已知条件,该女子第3天所织布的尺数
为()
A.B.C.D.
5.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()
A2BC.D.
6.函数的图象大致是()
ABCD
7.从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中,依次抽出2张(取后不放回),则在第一次抽
到卡片是奇数的情况下,第二次抽到卡片是偶数的概率为()
A.B.C.D.
8.已知甲、乙、丙三人中,一人是军人,一人是工人,一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大;丙的年龄和工人的年龄不同;工人的年龄比甲的年龄小,则下列判断正确的是()
A.甲是军人,乙是工人,丙是农民
B.甲是农民,乙是军人,丙是工人
C.甲是农民,乙是工人,丙是军人
D.甲是工人,乙是农民,丙是军人
9.某几何体的三视图如图,若该几何体的所有顶点都在同一个球面上,则该球面的表面积为()
A. B. C. D.
10.已知函数,若将函数的图象向右平移个单位
后关于轴对称,则下列结论中不正确的是()
A. B.是图象的一个对称中心
C. D.是图象的一条对称轴
11.已知双曲线,双曲线的左、右焦点分别
为,是双曲线的一条渐近线上的点,且,为坐标原点,若
,且双曲线的离心率相同,则双曲线的实轴长是()
A.32B.4C.8D.16
12.已知对任意不等式恒成立(其中,是自然对数的底数),则实数的取值范围是()
A.B.C.D..
二、填空题
13.已知与的夹角为,且与垂直,则实数
14.设实数满足约束条件则的最大值为.
15.设,则二项式展开式中的第项的系数为__________.
16.已知数列的前项和为,且,,时,,则
的通项公式.
三、简答题
17.如图,在圆内接四边形中,,,.
(1)求的大小;
(2)求面积的最大值.
18.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.
(Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
(Ⅱ)从图中A,B,C,D四人中随机.选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7
的人数,求的分布列和数学期望E();
(Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,侧面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E、F分别为BC、AD的中点,点M在线段PD上.
(1)求证:
EF⊥平面PAC;
(2)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所
成的角相等,求的值.
20.已知为椭圆的左、右顶点,为其右焦点,是椭圆上异于的动点,且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆在点处的切线交于点,当点在椭圆上运动时,求证:
以为直径的圆与直线恒相切.
21.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点,,且,证明:
.
请考生在(22)、(23)二题中任选一题作答。
注意:
只能做所选定的题目。
如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且直线经过曲线的左焦点.
(1)求的值及直线的普通方程;
(2)设曲线的内接矩形的周长为,求的最大值.
23.选修4-5:
不等式选讲
设函数.
(I)当时,解不等式;
(II)若的解集为,(,),求证:
.
【参考答案】
1、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
D
B
D
A
B
C
D
A
二.填空题:
13.14.;15.-24;16.
17.解:
(1)在中,由余弦定理得
,
解得,
注意到,
可得.
(2)法1:
在中,由余弦定理得
,
即,
∵,
∴,即.
∴.
当且仅当,△BCD为等腰三角形时等号成立,
即面积的最大值为.
法2:
如图,当为弧中点时,上的高最大,此时是等腰三角形,易得,作上的高,
在中,由,,得,
可得,
综上知,即面积的最大值为.
18.
分布列如下
0
1
2
p
,即所求数学期望为1.
(Ⅲ)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。
19.
(1)证明:
在平行四边形中,因为,,
所以.由分别为的中点,得,所以.
因为侧面底面,且,所以底面.
又因为底面,所以.
又因为,平面,平面,所以平面.
(2)解:
因为底面,,所以两两
垂直,以分别为、、,建立空间直角坐标系,则
,
所以,,,
设,则,
所以,,易得平面
的法向量.
设平面的法向量为,由,,得令,得.
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,
所以,即,所以,
解得,或(舍).综上所得:
20.解:
(1)由题意知知,由此能求出椭圆的方程;
(2)设直线的方程为,得.,由此利用韦达定理、点到直线距离公式、直线与圆相切等知识点结合已知条件能证明当点在椭圆上运动时,以为直径的圆与直线恒相切.
试题解析:
(1)设椭圆的方程为,
由题意知解之得,
故椭圆的方程为.
(2)证明:
设直线的方程为.
则点坐标为中点的坐标为.
由得.
设点的坐标为,则.
.
点坐标为,
当时,点的坐标为,直线轴,点的坐标为.
此时以为直径的圆与直线相切.
当时,则直线的斜率.
直线的方程为.
点E到直线的距离.
又因为.
故以为直径的圆与直线相切.
综上得,当点在椭圆上运动时,以为直径的圆与直径恒相切.
21.解:
(1),,
当时,,知在上是递减的;
当时,,知在上是递减的,在上递增的.
(2)由
(1)知,,,
依题意,即,
由得,,,,
由及得,,即,
欲证,只要,
注意到在上是递减的,且,
只要证明即可,
由得,
所以
,,
令,,
则,知在上是递增的,
于是,即,
综上,.
22.解:
(1)因为曲线的极坐标方程为,即,将,代入上式并化简得,所以曲线的直角坐标方程为,于是,,
直线的普通方程为,将代入直线方程得,所以直线的普通方程为.
(2)设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为(),所以椭圆的内接矩形的周长为(其中),此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值.
23.(I)解:
当时,不等式化为
∵
∴不等式的解集为
(II)证明:
根据得
∵的解集为故,所以,
∵,
∴,
当且仅当,时取等号
∴.
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