届一轮复习苏教版第3章 导数及其应用 第15讲学案.docx

届一轮复习苏教版第3章 导数及其应用 第15讲学案.docx

《届一轮复习苏教版第3章 导数及其应用 第15讲学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届一轮复习苏教版第3章 导数及其应用 第15讲学案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届一轮复习苏教版第3章导数及其应用第15讲学案

第15讲　利用导数研究函数的单调性

考试要求　1.函数单调性与导数的关系（A级要求）；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）（B级要求）.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）＞0.（　　）

（2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　　）

（3）f′（x）＞0是f（x）为增函数的充要条件.（　　）

解析　

（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增一定有f′（x）≥0，且不恒为0，故①错.（3）f′（x）>0是f（x）为增函数的充分不必要条件.如f（x）＝x3在R上为增函数，但

f′（x）≥0，故（3）错.

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×

2.（选修2－2P29练习4

（1）改编）函数f（x）＝x2－2lnx的单调递减区间是________.

解析　∵f′（x）＝2x－＝（x＞0）.

∴当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数.

答案　（0，1）

3.在区间（－1，1）内不是增函数的函数是________（填序号）.

①y＝ex＋x；②y＝sinx；③y＝x3－6x2＋9x＋2；④y＝x2＋x＋1.

解析　①y＝ex＋x，y′＝ex＋1>0，在区间（－1，1）内是增函数；

②y＝sinx，y′＝cosx，在区间（－1，1）内是增函数；

③y＝x3－6x2＋9x＋2，y′＝3x2－12x＋9＝3（x－2）2－3，在区间（－1，1）内是增函数；

④y＝x2＋x＋1，y′＝2x＋1，在区间内y′>0，在区间内y′<0，在区间（－1，1）内不单调.

答案　④

4.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）是增函数，则实数a的取值范围是________.

解析　f′（x）＝3x2－a，由题意知3x2－a≥0，即a≤3x2在x∈[1，＋∞）恒成立.又当x∈[1，＋∞）时，3x2≥3，∴a≤3，∴a的取值范围是（－∞，3].

答案　（－∞，3]

5.（2018·南京、盐城模拟）函数y＝f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，

f′（x）>2，则f（x）>2x＋4的解集为________.

解析　设F（x）＝f（x）－（2x＋4），则F（－1）＝f（－1）－（－2＋4）＝2－2＝0.

F′（x）＝f′（x）－2，对任意x∈R，F′（x）>0，

即函数F（x）在R上是单调增函数，

则F（x）>0的解集为（－1，＋∞），

故f（x）>2x＋4的解集为（－1，＋∞）.

答案　（－1，＋∞）

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

已知函数f（x）在某个区间内可导，

（1）如果f′（x）＞0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增；

（2）如果f′（x）＜0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减.

2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）由f′（x）＞0（或＜0）解出相应的x的取值范围.当f′（x）＞0时，f（x）在相应的区间内是单调递增函数；当f′（x）＜0时，f（x）在相应的区间内是单调递减函数.

一般需要通过列表，写出函数的单调区间.

3.已知单调性求解参数范围的步骤为：

（1）对含参数的函数f（x）求导得到f′（x）；

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f′（x）≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；

（3）验证参数范围中取等号时，是否恒有f′（x）＝0.若f′（x）＝0恒成立，则函数f（x）在（a，b）上为常数函数，舍去此参数值.

考点一　求单调区间

【例1】已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间.

解　

（1）对f（x）求导得f′（x）＝－－，

由f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x知f′

（1）＝－－a＝－2，

解得a＝.

（2）由

（1）知f（x）＝＋－lnx－，（x>0）.

则f′（x）＝.

令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.

但－1∉（0，＋∞），舍去.

当x∈（0，5）时，f′（x）<0；当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>0.

∴f（x）的增区间为（5，＋∞），减区间为（0，5）.

规律方法　求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求f′（x）；

（3）在定义域内解不等式f′（x）>0得单调递增区间；

（4）在定义域内解不等式f′（x）<0得单调递减区间.

【训练1】

（1）函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________.

（2）已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f（x）的单调递增区间是________.

解析　

（1）y＝x2－lnx，y′＝x－＝＝（x>0）.

令y′<0，得0

（2）f′（x）＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.

令f′（x）＝xcosx>0，

则其在区间（－π，π）上的解集为和，

即f（x）的单调递增区间为和.

答案　

（1）（0，1）　

（2）和

考点二　讨论函数的单调性

【例2】设函数f（x）＝alnx＋，其中a为常数.

（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性.

解　

（1）由题意知a＝0时，f（x）＝，x∈（0，＋∞）.

此时f′（x）＝.可得f′

（1）＝，又f

（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在（1，f

（1））处的切线方程为x－2y－1＝0.

（2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.

f′（x）＝＋＝.

当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.

当a＜0时，令g（x）＝ax2＋（2a＋2）x＋a，

由于Δ＝（2a＋2）2－4a2＝4（2a＋1）.

①当a＝－时，Δ＝0，f′（x）＝≤0，函数f（x）在（0，＋∞）上单调

递减.

②当a＜－时，Δ＜0，g（x）＜0，

f′（x）＜0，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减.

③当－＜a＜0时，Δ＞0.

设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个零点，

则x1＝，x2＝.

由x1＝＝＞0，

所以

x∈（0，x1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

x∈（x2，＋∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减.

综上可得：

当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a≤－时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减；

当－＜a＜0时，f（x）在，

上单调递减，

在上单调递增.

规律方法　

（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点的函数的间断点.

（3）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0（f′（x）＝0在x＝0时取到），f（x）在R上是增函数.

【训练2】（2017·南京期末）函数f（x）＝ax3＋3x2＋3x（a≠0）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）在区间（1，2）上是增函数，求a的取值范围.

解　

（1）函数f（x）＝ax3＋3x2＋3x（a≠0），

∴f′（x）＝3ax2＋6x＋3，

令f′（x）＝0，即3ax2＋6x＋3＝0，则Δ＝36（1－a），

①当a≥1时，Δ≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；

②当a<1且a≠0时，Δ>0，f′（x）＝0有两个根，x1＝，x2＝，

（ⅰ）当00，当x∈（x2，x1）时，f′（x）<0，故函数f（x）在（－∞，x2），（x1，＋∞）上是增函数，在（x2，x1）上是减函数；

（ⅱ）当a<0时，易知当x∈（－∞，x1），（x2，＋∞）时，f′（x）<0，

当x∈（x1，x2）时，f′（x）>0，故函数f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上是减函数，在（x1，x2）上是增函数.

（2）当a>0时，f′（x）＝3ax2＋6x＋3>0（x∈（1，2）），

故a>0时，f（x）在区间（1，2）上是增函数，

当a<0时，由f（x）在区间（1，2）上是增函数，

可得即解得a≥－，

所以－≤a<0，

综上，a的取值范围是∪（0，＋∞）.

考点三　已知函数单调性求参数（典例迁移）

【例3】（经典例题）（2018·南京模拟）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax2＋2x（a≠0）.

（1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.

解　

（1）h（x）＝lnx－ax2－2x，x∈（0，＋∞），

所以h′（x）＝－ax－2，由于h（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，

所以当x∈（0，＋∞）时，－ax－2<0有解，

即a>－有解.

设G（x）＝－，所以只要a>G（x）min即可.

而G（x）＝－1，所以G（x）min＝－1.

所以a>－1，又a≠0即a的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）.

（2）由h（x）在[1，4]上单调递减得，

当x∈[1，4]时，h′（x）＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立.

所以a≥G（x）max.

而G（x）＝－1，

因为x∈[1，4]，所以∈，

所以G（x）max＝－（此时x＝4），所以a≥－，又a≠0.

即a的取值范围是∪（0，＋∞）.

【迁移探究1】本题

（2）中，若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1，4]上单调递增，求a的取值范围.

解　由h（x）在[1，4]上单调递增得，

当x∈[1，4]时，h′（x）≥0恒成立，

即当x∈[1，4]时，a≤－恒成立，

又当x∈[1，4]时＝－1（此时x＝1），

∴a≤－1，即a的取值范围是（－∞，－1].

【迁移探究2】本题

（2）中，若h（x）在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.

解　h（x）在[1，4]上存在单调递减区间，

则h′（x）<0在[1，4]上有解，

即当x∈[1，4]时，a>－有解，

又当x∈[1，4]时，＝－1，

∴a>－1，又a≠0即a的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）.

规律方法　根据函数单调性求参数的一般思路

（1）利用集合间的包含关系处理：

y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集.

（2）f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

（3）函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【训练3】已知函数f（x）＝exlnx－aex（a∈R）.

（1）若y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；

（2）若y＝f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围.

解　

（1）f′（x）＝exlnx＋ex·－aex＝ex，

f′

（1）＝（1－a）e，由（1－a）e·＝－1，得a＝