上海市静安青浦宝山区届高三第二学期教学质量检测数学理试题.docx
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上海市静安青浦宝山区届高三第二学期教学质量检测数学理试题
静安区2014学年第二学期高三年级教学质量检测
数学试卷(理科)2015.04.
一.填空题(本大题满分56分)
1.已知抛物线的准线方程是,则.
2.已知扇形的圆心角是弧度,半径为,则此扇形的弧长为.
3.复数(为虚数单位)的模为.
4.函数的值域为.
5.若,则.
6.在的展开式中,的系数是.
7.方程的解集为.
8.射击比赛每人射2次,约定全部不中得0分,只中一弹得10分,中两弹得15分,某人每次射击的命中率均为,则他得分的数学期望是分.
9.过圆上一点的切线方程为.
10.在极坐标系中,点P(2,)到直线的距离等于.
11.把一个大金属球表面涂漆,共需油漆公斤.若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球,不计损耗,将这些小金属球表面都涂漆,需要用漆公斤.
12.设是平面内两个不共线的向量,,,.若三点共线,则的最小值是.
13.设等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,若,,且,则.
14.已知:
当时,不等式恒成立,当且仅当时取等号,则.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
15.如图,ABCDEF是正六边形,下列等式成立的是()
(A)(B)
(C)(D)
16.已知偶函数的定义域为,则下列函数中为奇函数的是()
(A)(B)(C)(D)
17.如图所示是一个循环结构的算法,下列说法不正确的是()
(A)①是循环变量初始化,循环就要开始
(B)②为循环体
(C)③是判断是否继续循环的终止条件
(D)输出的S值为2,4,6,8,10,12,14,16,18.
18.定义:
最高次项的系数为1的多项式()的其余系数均是整数,则方程的根叫代数整数.
下列各数不是代数整数的是()
(A)(B)(C)(D)
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分.
如图,在直三棱柱中,已知,⊥.
(1)求四棱锥错误!
未指定书签。
的体积;
(2)求二面角的大小.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数满足关系,其中是常数.
(1)若,且,求的解析式,并写出的递增区间;
(2)设,若的最小值为6,求常数的值.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
某公园有个池塘,其形状为直角,,的长为2百米,的长为1百米.
(1)若准备养一批供游客观赏的鱼,分别在、、上取点,如图
(1),使得,,在内喂食,求当的面积取最大值时的长;
(2)若准备建造一个荷塘,分别在、、上取点,如图
(2),建造连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使为正三角形,记,求边长的最小值及此时的值.(精确到1米和0.1度)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题5分,第3小题7分.
在平面直角坐标系中,已知椭圆的方程为,设是过椭圆中心的任意弦,是线段的垂直平分线,是上与不 重合的点.
(1)求以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程;
(2)若,当点在椭圆上运动时,求点的轨迹方程;
(3)记是与椭圆的交点,若直线的方程为,当△面积取最小值时,求直线的方程.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
设是公比为的等比数列,若中任意两项之积仍是该数列中的项,那么称是封闭数列.
(1)若,判断是否为封闭数列,并说明理由;
(2)证明为封闭数列的充要条件是:
存在整数,使;
(3)记是数列的前项之积,,若首项为正整数,公比,试问:
是否存在这样的封闭数列,使,若存在,求的通项公式;若不存在,说明理由.
3区2014学年第二学期高三二模质量抽测(文、理)
参考答案及评分标准2015.04
说明:
1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数.
4.给分或扣分均以1分为单位.
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.;2.;
3.;4.;
5.;6.;
7.(文)8.(文);
(理)(理);
9.(文);10.(文);
(理);(理);
11.;12.;
13.(文);14..
(理)
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.;16.;17.;18..
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共2小题,第
(1)小题4分,第
(2)小题8分.
19.解:
(文科)
(1)因为三棱柱的体积为,,
从而,因此.………………………2分
该三棱柱的表面积为.………4分
(2)由
(1)可知
因为//.所以为异面直线与所成的角,………8分
在Rt中,,所以=.
异面直线与所成的角……………………………………………12分
解:
(理科)
(1)因为⊥,三棱柱是直三棱柱,所以,从而是四棱锥的高.……………………………………2分
四棱锥错误!
未指定书签。
的体积为错误!
未指定书签。
…………………………4分
(2)如图(图略),建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),
B1(0,0,2),C1(0,2,2),…………………………………………………6分
设AC的中点为M,
是平面A1C1C的一个法向量.
设平面A1B1C的一个法向量是,…8分
令z=1,解得x=0,y=1.,…………………………………………9分
设法向量与的夹角为,二面角B1—A1C—C1的大小为,显然为锐角.
………………………………………………12分
20.(本题满分14分)本题共2小题,第
(1)小题6分,第
(2)小题8分.
20.解:
(1),;
………………………………………………………………4分
递增区间为,()(注:
开区间或半开区间均正确)……………………………………………………………………………6分
(2)(文),当时,………8分
令,则函数在上递减………………10分
所以………………………12分
因而,当时,在上恒成立………………………14分
(理),………8分
…………………10分
解得………………………………………………………………12分
所以………………………………………………………………14分
21.(本题满分14分)本题共2小题,第
(1)小题6分,第
(2)小题8分.
21.解:
(1)设,则,故,所以,……2分
,……………………………………………………4分
因为当且仅当时等号成立,
即.………………………………………………………6分
(2)在中,,设,,则
,,…………………………8分
所以
设,则,在中,,………………10分
又由于,所以………………………11分
化简得百米=65米………………………………13分
此时,,…………………………………………………14分
解法2:
设等边三角形边长为,
在△中,,,…………………………………………8分
由题意可知,…………………………………………………………9分
则,所以,……………………………………11分
即,………………………………………………13分
此时,,…………………………………………………14分22.(本题满分16分)本题共3小题,第
(1)小题4分,第
(2)小题5分,第(3)小题7分.
22.解:
(1)椭圆一个焦点和顶点分别为,………………………1分
所以在双曲线中,,,,
因而双曲线方程为.……………………………………………………4分
(2)设,,则由题设知:
,.
即………………………………………………………………5分
解得……………………………………………………………………7分
因为点在椭圆C上,所以,即…,
亦即.所以点M的轨迹方程为.…………………9分
(3)(文)因为AB所在直线方程为.
解方程组得,,
所以,.
又解得,,所以.…………11分
由于……………14分
解得即
又,所以直线方程为或…………………………………16分
(3)(理)(方法1)因为AB所在直线方程为.
解方程组得,,
所以,.
又解得,,所以.…………11分
由于
……………………………………………14分
或,
当且仅当时等号成立,即k=1时等号成立,
此时△AMB面积的最小值是S△AMB=.…………………………………………15分
AB所在直线方程为.…………………………………………………16分
(方法2)设,则,
因为点A在椭圆上,所以,即(i)
又()
(i)+()得,………………………………………………11分
所以.……………………………14分
当且仅当(即)时,.又
AB所在直线方程为.…………………………………………………16分
23.(本题满分18分)本题共3小题,第
(1)小题4分,第
(2)小题6分,第(3)小题8分.
23.解:
(1)不是封闭数列,因为,……………………………………1分
对任意的,有,……………………………………2分
若存在,使得,即,,该式左边为整数,右边是无理数,矛盾.所以该数列不是封闭数列……………………………………4分
(2)证明:
(必要性)任取等比数列的两项,若存在使,则,解得.故存在,使,……6分
下面证明整数.
对,若,则取,对,存在使,
即,,所以,矛盾,
故存在整数,使.……………………………………8分
(充分性)若存在整数,使,则,
对任意,因为,
所以是封闭数列.……………………………………10分
(3)由于,所以,……………11分
因为是封闭数列且为正整数,所以,存在整数,使,
若,则,此时不存在.所以没有意义…12分
若,则,所以,…………………13分
若,则,于是,
所以,……………………………………16分
若,则,于是,
所以,……………………………………17分
综上讨论可知:
,,该数列是封闭数列.………18分
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