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三角函数8
2016-2017学年度
必修四三角函数单元测试
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共120分,考试时间120分钟。
一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)
1.函数f(x)=
x-sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知角α的正弦线和余弦线长度相等,且α的终边在第二象限,则tanα等于( )
A.0
B.1
C.-1
D.
3.若θ为第一象限角,则能确定为正值的是( )
A.sin
B.cos
C.tan
D.cos
4.将函数y=sin
的图象向右平移
个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是( )
A.y=sinx
B.y=sin4x
C.y=sin
D.y=sin
5.定义在R上的偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,若A,B是锐角三角形的两个内角,则( )
A.f(sinA)>f(cosB)
B.f(sinA)<f(cosB)
C.f(sinA)>f(sinB)
D.f(cosA)<f(cosB)
6.比值
(l是圆心角α所对的弧长,r是该圆的半径)( )
A.既与α的大小有关,又与r的大小有关
B.与α及r的大小都无关
C.与α的大小有关,而与r的大小无关
D.与α的大小无关,而与r的大小有关
7.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动,那么从3时整(3∶00)开始,在1分钟的时间内,3根针中,出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( )
A.1次
B.2次
C.3次
D.4次
8.已知sin(α-180°)-sin(270°-α)=m,则sin(180°+α)·sin(270°+α)用m表示为( )
A.
B.
C.
D.-
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为( )
A.
B.
-1
C.2-
D.
10.要得到函数y=sin
的图象,只需将函数y=sin
的图象( )
A.向左平移
个单位
B.向右平移
个单位
C.向左平移
个单位
D.向右平移
个单位
分卷II
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
11.用作调频无线电信号的载波以y=asin(1.83×108πt)为模型,其中t的单位是秒,则此载波的周期为________秒,频率为________.
12.已知f(x)=asinx+btanx+1,f(
)=7,则f(
)的值为________.
13.函数y=sin2x+2cosx在区间[-
,a]上的值域为[-
,2],则a的取值范围是________.
14.已知cos110°=k,则tan80°=________.
三、解答题(共5小题,每小题12.0分,共60分)
15.已知f(x)=-2asin
+2a+b,x∈
,是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤
-1}?
若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
16.已知sin(α+π)=
,且sinαcosα<0,
求
的值.
17.已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ和tanθ-
的值.
18.利用“五点法”作出函数y=-1-cosx(0≤x≤2π)的简图.
19.下表给出了12月1日和12月2日两天内的海浪高度(相对于海堤上的零标尺记号,以米为单位).请依据此表预测12月5日下午1时的海浪高度.
(1)选择合适的拟合曲线,并求出解析式;
(2)估算12月5日13:
00的海浪高度.
答案解析
1.【答案】B
【解析】可得函数y=
x与y=sinx在区间[0,2π]的图象有两个交点,
f(x)=
x-sinx在区间[0,2π]上有两个零点.
2.【答案】C
【解析】∵角α的正弦线和余弦线长度相等,
∴|sinα|=|cosα|,两边都除以|cosα|得:
|tanα|=1,
∴tanα=±1,
又∵α的终边在第二象限,∴tanα<0,可得tanα=-1.
3.【答案】C
【解析】∵θ为第一象限角,∴2kπ<θ<2kπ+
,k∈Z.
∴kπ<
<kπ+
,k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,2nπ<
<2nπ+
(n∈Z).
∴
为第一象限角,
∴sin
>0,cos
>0,tan
>0.
当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π<
<2nπ+
(n∈Z).
∴
为第三象限角,
∴sin
<0,cos
<0,tan
>0,从而tan
>0,而4kπ<2θ<4kπ+π,k∈Z,cos2θ有可能取负值.
4.【答案】A
【解析】函数y=sin
的图象向右平移
个单位,得到y=sin[2(x-
)+
]=sin2x的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sinx的图象.
5.【答案】A
【解析】∵偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,
∴f(x)在区间[0,1]上为增函数.
又由A,B是锐角三角形的两个内角,
∴A+B>
,A>
-B,1>sinA>cosB>0,
∴f(sinA)>f(cosB).
6.【答案】C
【解析】由题意,比值
=|α|,
∴比值
与α的大小有关,而与r的大小无关,故选C.
7.【答案】D
【解析】从3时整(3∶00)开始,在1分钟的时间内,3根针中,出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有:
①当秒针转到大约45°的位置时,以及大约225°的位置时,秒针平分时针与分针.
②当秒针转到大约180°的位置时,时针平分秒针与分针.
③当秒针转到大约270°的位置时,分针平分秒针与时针.
综上,共4次.
8.【答案】C
【解析】sin(α-180°)-sin(270°-α)=-sin(180°-α)-sin[180°+(90°-α)]
=-sinα+sin(90°-α)=cosα-sinα=m,
sin(180°+α)sin(270°+α)=-sinα·(-cosα)
=sinαcosα=
[1-(cosα-sinα)2]=
.
9.【答案】A
【解析】∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=45°,BC=
AC.
又∵点D为边AC的中点,∴AD=DC=
AC.
∵DE⊥BC于点E,
∴∠CDE=∠C=45°,∴DE=EC=
DC=
AC.
∴tan∠DBC=
=
=
.
10.【答案】A
【解析】提取x的系数-
,得y=sin
,故选A.
11.【答案】1.09×10-8 9.15×107
【解析】T=
=
≈1.09×10-8(秒),f=
=9.15×107.
12.【答案】-5
【解析】∵函数f(x)=asinx+btanx+1,
∴f(-x)=asin(-x)+btan(-x)+1
=-asinx-btanx+1,
∴f(-x)+f(x)=2,∴f(
)+f(-
)=2.
f(
)=asin
+btan
+1=-asin
-btan
+1=f(-
)=-5.
13.【答案】[0,
]
【解析】由已知得,y=1-cos2x+2cosx=-(cosx-1)2+2,令t=cosx,得到y=-(t-1)2+2,显然当t=cos(-
)=-
时,y=-
;当t=1时,y=2,又由x∈[-
,a],
可知cosx∈[-
,1],可使函数的值域为[-
,2].所以有a≥0,且a≤
,
从而可得a的取值范围是0≤a≤
.
14.【答案】
【解析】∵cos110°=-cos70°=-sin20°=k,则sin20°=-k,
∴cos20°=
=
,
∴tan80°=
=
=
=
=
=
.
15.【答案】∵
≤x≤
,∴
≤2x+
≤
,
∴-1≤sin
≤
.
假设存在这样的有理数a,b,
则当a>0时,
解得
(不合题意,舍去)
当a<0时,
解得
故a,b存在,且a=-1,b=1.
【解析】
16.【答案】∵sin(α+π)=sin(π+α)=-sinα,
又sin(π+α)=
,sinα=-
<0,再由sinαcosα<0,得cosα>0,
于是α为第四象限角,
∴cosα=
,tanα=-
.
∴
=
=
=
=
=-
.
【解析】
17.【答案】方程25x2-5x-12=0的两根分别为
和-
,θ∈(0,π),且sinθcosθ=-
<0,
∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ=
,cos=-
,∴sin3θ+cos3θ=
3+
3=
-
=
,tanθ-
=
-
=
-
=-
+
=-
.
【解析】
18.【答案】
(1)取值列表如下:
(2)描点连线,如图所示:
【解析】
19.【答案】
(1)根据表中数据画散点图,并用平滑曲线将其连接起来,如图所示,可以用y=Asin(ωt+φ)来拟合这些散点.
观察图中曲线,其周期约为12.3小时,即
=12.3,所以ω≈0.511.由数据可知高低海浪之间的高度差是6.6米,振幅为A=
=3.3,所以函数解析式为
y=3.3sin(0.511t+φ),因为t=0时,y=2.75,所以sinφ=
≈0.83,cosφ≈-0.56,利用计算器上的cos-1功能求得φ=2.16,从而y=3.3sin(0.511t+2.16).
(2)12月5日下午1时即t=109,此时浪高约为y=3.3sin(0.511×109+2.16)≈3.2(米).
【解析】
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