精选中考数学专题复习专题七类比探究题训练.docx
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精选中考数学专题复习专题七类比探究题训练
专题七 类比探究题
类型一线段数量关系问题
(2018·河南)
(1)问题发现
如图①,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为________;
②∠AMB的度数为________;
(2)类比探究
如图②,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
在
(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
【分析】
(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;
②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理,得∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;
(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则==,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;
(3)正确画出图形,当点C与点M重合时,有两种情况:
如解图①和②,同理可得△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,=,可得AC的长.
【自主解答】
解:
(1)问题发现
①1【解法提示】∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠COA=∠DOB.
∵OC=OD,OA=OB,
∴△COA≌△DOB(SAS),
∴AC=BD,
∴=1.
②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB,
∴∠CAO=∠DBO.
∵∠AOB=40°,
∴∠OAB+∠ABO=140°,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°.
(2)类比探究
=,∠AMB=90°,理由如下:
在Rt△OCD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,
∴=tan30°=,
同理,得=tan30°=,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴==,∠CAO=∠DBO.
∴∠AMB=180°-∠CAO-∠OAB-MBA=180°-(∠DAB+∠MBA+∠OBD)=180°-90°=90°.
(3)拓展延伸
①点C与点M重合时,如解图①,
同理得△AOC∽△BOD,
∴∠AMB=90°,=,
设BD=x,则AC=x,
在Rt△COD中,
∵∠OCD=30°,OD=1,
∴CD=2,
∴BC=x-2.
在Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=.
∴AB=2OB=2,
在Rt△AMB中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
即(x)2+(x-2)2=
(2)2,
解得x1=3,x2=-2(舍去),
∴AC=3;
②点C与点M重合时,如解图②,同理得:
∠AMB=90°,=,
设BD=x,则AC=x,
在Rt△AMB中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
即(x)2+(x+2)2=
(2)2
解得x1=-3,解得x2=2(舍去).
∴AC=2.
综上所述,AC的长为3或2.
图①
图②
例1题解图
1.(2016·河南)
(1)发现
如图①,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:
当点A位于________________时,线段AC的长取得最大值,且最大值为__________(用含a,b的式子表示).
(2)应用
点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,如图②所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展
如图③,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
2.(2015·河南)如图①,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α=0°时,=____;
②当α=180°时,=____;
(2)拓展探究
试判断:
当0°≤α<360°时,的大小有无变化?
请仅就图②的情形给出证明.
(3)解决问题
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
3.(2014·河南)
(1)问题发现
如图①,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为__________;
②线段AD,BE之间的数量关系为______________.
(2)拓展探究
如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图③,在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
4.(2018·南阳二模)在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.
(1)操作发现
若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时(不与点B重合),如图①所示,请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是______________,______________;
(2)猜想论证
在
(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断
(1)中结论是否成立,并证明你的判断.
(3)拓展延伸
如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:
当锐角∠ACB等于________度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C,E重合除外)?
此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=3时,请直接写出线段CF的长的最大值是____.
5.已知,如图①,△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B,E重合),∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点,F为AD的中点,连接OF.
(1)问题发现
①如图①,=_______;
②将△AED绕点A逆时针旋转45°,如图②,=_______;
(2)类比延伸
将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置,请计算出的值,并说明理由.
(3)拓展探究
将图①中△AED绕点A逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD=,△AED在旋转过程中,存在△ACD为直角三角形,请直接写出线段CD的长.
类型二图形面积关系问题
(2017·河南)如图①,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图①中,线段PM与PN的数量关系是________,位置关系是________;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
图①
图②
例2题图
【分析】
(1)利用三角形的中位线定理得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE,继而得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;
(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同
(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同
(1)的方法即可得出结论;
(3)先判断出MN最大时,△PMN的面积最大,进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.
【自主解答】
解:
(1)∵点P,N是BC,CD的中点,
∴PN∥BD,PN=BD.
∵点P,M是CD,DE的中点,
∴PM∥CE,PM=CE.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN.
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA.
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN,
(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE.
同
(1)的方法,利用三角形的中位线定理,得PN=BD,
PM=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同
(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同
(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC.
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC.
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形,
例2题解图
(3)如解图,同
(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴当MN最大时,△PMN的面积最大,
∴DE∥BC且DE在顶点A上面,
∴MN最大=AM+AN,
连接AM,AN,
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,
∴MN最大=2+5=7,
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×(7)2=.
1.(2013·河南)如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图②,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是______________;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是______________.
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图④).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
2.已知Rt△ABC中,BC=AC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,将∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC,CB(或它们的延长线)于E,F.当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时,如图①所示,试证明S△DEF+S△CEF=S△ABC.
(1)当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,如图②所示,上述结论是否成立?
若成立,请说明理由;若不成立,试说明理由.
(2)直接写出图③中,S△DEF,S△CEF与S△ABC之间的数量关系.
3.(2018·郑州模拟)如图①所示,将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置,连接DE,BG.
(1)图中∠DCE+∠BCG=__________°;设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,则S1与S2的数量关系为______________;
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