概率论与数理统计公式整理超全版文档格式.docx
- 文档编号:17433648
- 上传时间:2022-12-01
- 格式:DOCX
- 页数:45
- 大小:137.57KB
概率论与数理统计公式整理超全版文档格式.docx
《概率论与数理统计公式整理超全版文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计公式整理超全版文档格式.docx(45页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率:
(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
AiAi
德摩根率:
i1i1ABAB,ABAB
(7)概率的公理化定义
设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°
0≤P(A)≤1,
2°
P(Ω)=1
3°
对于两两互不相容的事件A1,A2,⋯有
PAiP(Ai)
i1i1常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(8)古典概型
1,2n,
1
P
(1)P
(2)P(n)1。
n
设任一事件A,它是由1,2m组成的,则有
P(A)=
(1)
(2)(m)=P
(1)P
(2)P(m)
mA所包含的基本事件数
n基本事件总数
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,
P(A)L(A)。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
L()
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时,P(B)=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>
0,则称P(AB)为事件A发生条件下,事
P(A)件B发生的条件概率,记为P(B/A)P(AB)。
P(A)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
P(AB)P(A)P(B/A)更一般地,对事件A1,A2,⋯An,若P(A1A2⋯An-1)>
0,则有
P(A1A2⋯An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)⋯⋯P(An|A1A2⋯An1)。
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);
P(BC)=P(B)P(C);
P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概公式
设事件B1,B2,,Bn满足
B1,B2,,Bn两两互不相容,P(Bi)0(i1,2,,n),n
ABi
i1,
则有
P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。
(16)贝叶斯公式
设事件B1,B2,⋯,Bn及A满足
B1,B2,⋯,Bn两两互不相容,P(Bi)>
0,i1,2,⋯,n,n
i1,P(A)0,
则
P(B/A)P(Bi)P(A/Bi),i=1,2,⋯n。
P(Bi/A)n,i=1,2,⋯n。
P(Bj)P(A/Bj)
j1此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i1,2,⋯,n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(i1,2,⋯,n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
(17)伯努利概型
我们作了n次试验,且满足每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1pq,用Pn(k)表
示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率,
kknk
Pn(k)Cnpkqnk,k0,1,2,,n。
第二章随机变量及其分布
(1)离散
设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,⋯)且取各个值的概率,即事
型随机变
件(X=Xk)的概率为
量的分布
P(X=xk)=pk,k=1,2,⋯,
律
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形
式给出:
X|x1,x2,,xk,
P(Xxk)p1,p2,,pk,显然分布律应满足下列条件:
。
(1)pk0,k1,2,,
pk1
(2)k1。
(2)连续
设F(x)是随机变量X的分布函数,
若存在非负函数f(x),对任意实数
x,有
x
F(x)f(x)dx,
密度
则称X为连续型随机变量。
f(x)率密度。
密度函数具有下面4个性质:
f(x)0。
称为X的概率密度函数或密度函数,
简称概
f(x)dx1。
。
(3)离散与连续型随机变量
P(Xx)P(xXxdx)
f(x)dx
pk在离
的关系
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布函数
设X为随机变量,x是任意实数,则函数
F(x)P(Xx)
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。
分布函数F(x)表示随机变量落入区间(–∞,x]的概率。
分布函数具有如下性质:
0F(x)1,x;
F(x)是单调不减的函数,即x1x2时,有F(x1)F(x2);
F()limF(x)0,F()limF(x)1;
xx
4°
F(x0)F(x),即F(x)是右连续的;
5°
P(Xx)F(x)F(x0)。
对于离散型随机变量,F(x)pk;
xkx
对于连续型随机变量,F(x)f(x)dx。
(5)八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。
事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,,n。
P(Xk)Pn(k)Cnkpkqnk,其中
q1p,0p1,k0,1,2,,n,
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~B(n,p)。
当n1时,P(Xk)pkq1k,k0.1,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
k
P(Xk)k!
e
,0,k0,1,2,
则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为X~()或
者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
超几何分布
knCM?
CN
kM,k0,1,2,l
P(Xk)MnN
nCN
lmin(M,n)
随机变量X服从参数为
n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。
几何分布
1,2,3,,其中p≥0,q=1-p。
P(Xk)qk1p,k
p的几何分布,记为G(p)。
均匀分布
设随机变量X的值只落在[a,b],其密度函数f(x)在[a,b]
上为常数,即
ba
1,a≤x≤b
f(x)ba
其他,
0,
则称随机变量X在[a,
b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
0,x<
a,
xa
baa≤x≤b
F(x)f(x)dx
1,x>
b。
当a≤x1<
x2≤b时,X落在区间(x1,x2)的概率为
x2
x1
P(x1Xx2)2
12b
a
指数分布
X~N(0,1)1,其密x度2函数记为
(x)21e
t2
2dt。
1x
(x)2e
(x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)=1。
2X2
如果X~N(,2),则~N(0,1)。
P(x1Xx2)
x2x1
(6)分位数
下分位表:
P(X)=;
上分位表:
P(X)=。
(7)函数分布
离散型
已知X的分布列为
Xx1,x2,,xn,,
P(Xxi)p1,p2,,pn,
Yg(X)的分布列(yig(xi)互不相等)如下:
Yg(x1),g(x2),,g(xn),,
若有某些g(xi)p相,等,p则,应将对,应的p,pi相加作为g(xi)的概率。
连续型
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)≤y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
第三章二维随机变量及其分布
(1)联合离散型分布
如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列
个有序对(x,y),则称为离散型随机量。
设=(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j1,2,),且事件{=(xi,yj)}的概率为pij,,称
P{(X,Y)(xi,yj)}pij(i,j1,2,)
为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分
布有时也用下面的概率分布表来表示:
XY
y1
y2
yj
p11
p12
p1j
p21
p22
p2j
xi
pi1
pij
这里pij具有下面两个性质:
1)pij≥0(i,j=1,2,⋯);
2)pij1.
ij
对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数
f(x,y)(x,y),使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<
x<
b,c<
y<
d}有
P{(X,Y)D}f(x,y)dxdy,D
则称为连续型随机向量;
并称f(x,y)为=(X,Y)的分布
密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
(1)f(x,y)≥0;
(2)f(x,y)dxdy1.
(2)二维随机变量的本质
(Xx,Y
y)(XxYy)
(3)联合
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
分布函数
F(x,y)P{Xx,Yy}
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函
数。
分布函
数是一个以全平面为其定义域,以事件
{(1,2)|
X
(1)x,Y
(2)y}的概率为函数值的一个实值函
F(x,y)具有以下的基本性质:
(1)0F(x,y)1;
(2)F(x,y)
分别对x和y是非减的,即
当x2>
x1时,有
F(x2,y)≥F(x1,y);
当y2>
y1时,有F(x,y2)≥F(x,y1);
(3)F(x,y)
分别对x和y是右连续的,即
F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);
(4)F(,
)F(,y)F(x,)0,F(,)1.
(5)对于x1
x2,y1y2,
F(x2,y2)
F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1)0.
(4)离散型与连续型的关系
P(Xx,Y
y)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy
(5)边缘分布
X的边缘分布为
Pi?
P(Xxi)pij(i,j1,2,);
j
Y的边缘分布为
P?
jP(Yyj)pij(i,j1,2,)。
i
X的边缘分布密度为fX(x)f(x,y)dy;
Y的边缘分布密度为fY(y)f(x,y)dx.
(6)条件分布
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为pij
P(Yyj|Xxi)ij;
pi?
在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为pij
P(Xxi|Yyj)ij,
p?
在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为
f(x,y)
f(x|y);
fY(y)
在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为f(y|x)ff(x(,xy))fX(x)
(7)独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
pijpi?
p?
有零不独立
f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:
①可分离变量②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
22
1x12(x1)(y2)y2
12(12)1122
f(x,y)2e,
21212
=0
随机变量的函数
若X1,X2,⋯Xm,Xm+1,⋯Xn相互独立,h,g为连续函数,则:
h(X1,X2,⋯Xm)和g(Xm+1,⋯Xn)相互独立。
特例:
若X与Y独立,则:
h(X)和g(Y)独立。
例如:
3X+1和5Y-2独立。
(9)二维
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
正态分布
e
1212
1x12(x1)(y2)y2
f(x,y)
2
2(12)1122
其中1,2,
10,20,||
1是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分
布,
记为(X,Y)
~N(1,2,1,
22,).
由边缘密度的计算公式,可以推出二
维正态分布的两个边缘分布仍为正态分
即X~N(1,
12),Y~N(2,
22).
但是若X~N(
1,12),Y~N(
2,22),(X,Y)未必是二维正态分布。
(10)函数分布
Z=X+Y
根据定义计算:
FZ(z)P(Zz)P(XYz)
对于连续型,fZ(z)=f(x,zx)dx
两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,1222)。
n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。
C,ii
2Ci2i2
ii
Z=max,min(X1,X2,⋯Xn)
若X1,X2X
n相互独立,其分布函数分别为
Fx1(x),Fx2(x)
Fxn(x),则Z=max,min(X1,X2,⋯Xn)的分布
函数为:
Fmax(x)Fx1(x)?
Fx2(x)Fxn(x)
Fmin(x)1[1
Fx1(x)]?
[1Fx2(x)][1Fxn(x)]
2分布
设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立,且服从标准正态分
布,可以证明它们的平方和
WXi2
i1
的分布密度为
1n1u
n1u2e2u0,
f(u)22n
0,u0.
我们称随机变量W服从自由度为n的2分布,记为W~2(n),其中
nn1x
2x
x2edx.
20
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。
2分布满足可加性:
设
Yi2(ni),
ZYi~(n1n2nk).
t分布
设X,Y是两个相互独立的随机变量,且
X~N(0,1),Y~2(n),可以证明函数
TYX/n
Y/n的概率密度为
n1n1
2t22
f(t)21t(t).nnn
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T~t(n)。
t1(n)t(n)
F分布
设X~2(n1),Y~2(n2),且X与Y独立,可以证明
X/n1
F1的概率密度函数为
Y/n2
n1n2n1n1n2
2n12n211n12
f(y)y21y,y0
f(y)n1n2n2n2
0,y0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F~f(n1,n2).
F1(n1,n2)
112F(n2,n1)
第四章随机变量的数字特征
(1)
一维
期望
设X是离散型随机变量,其分布
设X是连续型随机变量,其概率密
随机
期望就是平均值
度为f(x),
变量
律为P(Xxk)=pk,
的数
k=1,2,⋯,n,
E(X)xf(x)dx
字特
征
E(X)xkpk
k1
(要求绝对收敛)
函数的期望
Y=g(X)
E(Y)g(xk)pk
E(Y)g(x)f(x)dx
方差
D(X)=E[X-E(X)]2,标准差
D(X)
[xkE(X)]2pkk
D(X)[xE(X)]2f(x)dx
(X)
D(X),
矩
①对于正整数k,称随机变量X
①对于正整数k,称随机变量X的
的k次幂的数学期望为X的k
k次幂的数学期望为X的k阶原点
阶原点矩,
记为v
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 公式 整理 超全版