安徽省浮山中学等重点名校届高三第一次月考试题数学理试题.docx
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安徽省浮山中学等重点名校届高三第一次月考试题数学理试题
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第2至第4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可用铅笔在答题卡规定位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则
A.B.C.D.
2.已知复数,则下列说法正确的是
A.复数z的实部为3B.复数z的虚部为
C.复数z的共轭复数为D.复数z的模为1
3.椭圆的一个焦点坐标为
A.(5,0)B.(0,5)C.(,0)D.(0,)
4.已知m=1og40.4,n=40.4,p=0.40.5,则
A.m 5.曲线在x=1处的切线方程为 A.y=7ex-5eB.y=7ex+9eC.y=3ex+5eD.y=3ex-5e 6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=11,S15=15,则a2= A.18B.16C.14D.12 7.要得到函数y=一sin3x的图象,只需将函数y=sin3x+cos3x的图象 A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度 8.若5个人按原来站的位置重新站成一排,恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.B.C.D. 9.定义在R上的奇函数f(x)满足,当时,,则不等式f(x2-2x)-f(3)<0的解集为 A.(-1,3)B.(-3,1)C.D. 10.过原点O作直线l: (2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则P到直线x-y+3=0的距离的最大值为 A.B.C.D. 11.已知圆锥的母线长l为4,侧面积为S,体积为V,则取得最大值时圆锥的侧面积为 A.B.C.D. 12.已知点A是双曲线(a>0,b>0)的右顶点,若存在过点N(3a,0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M,使得△AMN是以点M为直角顶点的直角三角形,则双曲线的离心率 A.存在最大值B.存在最大值C.存在最小值D.存在最小值 第Ⅱ卷 注意事项: 第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。 若在试题卷上作答,答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在横线上。 13.已知向量a=(2,3),b=(-1,m),且a与a+b垂直,则m= 14.已知所有项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S4=a4+21,则公比q= 15.二项式的展开式中,x4的系数为 16.已知角,且满足,则=(用a表示)。 三、解答题: 本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题卡上的指定区域内。 17.(本小题满分12分) 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cos2C-cos2B=sin2A-sinAsinC。 (Ⅰ)求角B的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为,,求a+c的值。 18.【本小题满分12分】 如图所示的多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的正方形,ED//FB,DE=BF,AB=FB,FB⊥平面ABCD。 (Ⅰ)设BD与AC的交点为0,求证: OE⊥平面ACF; (Ⅱ)求二面角E-AF-C的正弦值。 19.(本小题满分12分) 抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点是F,直线y=2与C的交点到F的距离等于2。 (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)一直线l: x=kx+b(b1,k0)交C于A、B两点,其中点(b,k)在曲线(x-3)2-4y2=8上,求证: FA与FB斜率之积为定值。 20.(本小题满分12分) 设函数,a为常数。 (Ⅰ)若函数f(x)在上是单调函数,求a的取值范围; (Ⅱ)当时,证明: 。 21.(本小题满分12分) 某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成,各个电子元件能否正常工作的概率均为,且每个电子元件能否正常工作相互独立。 若系统G中有超过一半的电子元件正常工作,则G可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元。 (Ⅰ)求系统不需要维修的概率; (Ⅱ)该电子产品共由3个系统G组成,设为电子产品需要维修的系统所需的费用,求的分布列与期望; (Ⅲ)为提高G系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则G可以正常工作,问: p满足什么条件时,可以提高整个G系统的正常工作概率? 请考生从第22、23题中任选一题做答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分。 22.(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中,曲线C1的参效方程为(为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为。 (Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标。 23.(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 己知函数。 (Ⅰ)求不等式f(x)>6的解集; (Ⅱ)若恒成立,求实数m的取值范围。 数学参考答案(理科) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D C D B A B C C A A D B 1.【解析】,故选D. 2.【解析】,所以的实部为,虚部为,的共 轭复数为,模为,故选C. 3.【解析】因为,所以,故双曲线的右焦点的坐标是. 4.【解析】因为,所以. 5.【解析】,所以,又时,,所以所求切线方程为,即 6.【解析】因为,所以,又,所以公差 ,所以. 7.【解析】因为,所以将其图象向左平移个单位长度,可得,故选C. 8.【解析】根据题意,分2步分析: ①先从5个人里选2人,其位置不变,有种 选法,②对于剩余的三人,因为每个人都不能站在原来的位置上,因此第一个人有两种站法, 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上,因此三个人调换有2种调换方法,故 不同的调换方法有种.而基本事件总数为,所以所求概率为. 9.【解析】由题意可知,当时,,所以为R上的单调递增函数,故由,得,即,解得,故选A. 10.【解析】整理得,由题意得,解得,所以直线过定点.因为,所以点的轨迹是以为直径的圆,圆心为,半径为1,因为圆心到直线的距离为,所以到直线的距离的最大值为. 11.【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,则, 所以,当且仅当时取等号.此时侧面积为. 12.【解析】双曲线的右顶点,双曲线的渐近线方程为 ,不妨取,设,则,. 若存在过的直线与双曲线的渐近线交于一点,使得是以为直角顶点 的直角三角形,则,即,整理可得 ,由题意可知此方程必有解,则判别式 ,得,即,解得,所以离心率存在最大值. 13.【解析】向量,,, 与垂直,,解得. 14.【答案】4【解析】由题意得,所以,又,所以,解得或(舍),所以. 15.【答案】【解析】展开式的通项公式为,令,解得,故所求系数为. 16.【答案】【解析】法一: 由得, 所以,即. 结合诱导公式得. 因为,所以. 由诱导公式可得,易知, 因为在上单调递减,所以,即. 法二: 由得, 所以. 因为,所以. 由诱导公式可得,即 因为在上单调递增,所以,即. 17.【解析】 (1)由, 得. 由正弦定理,得,即,…………………………3分 所以.………………………………………………5分 因为,所以.……………………………………………………6分 (2)由 (1)知,∴.①…………8分 又,…………………………………………………………9分 ∴,②…………………………………………………………………………10分 又,∴据①②解,得.…………………………………………12分 18.【解析】 (1)证明: 由题意可知: 面, 从而,,又为中点, ,在中,, ,又, 面.……………………………………………………………………5分 (2)面,且, 如图以为原点,,,方向建立空间直角坐标系, 从而,0,,,0,,,2,,,2,,,1, 由 (1)可知,1,是面的一个法向量,…………………………7分 设,,为面的一个法向量, 由,令得,,,………………………………9分 设为二面角的平面角, 则,. 二面角的正弦值为.………………………………………………12分 19.【解析】 (1)由知到准线的距离也是2, 点横坐标是, 将代入,得, 抛物线的方程为.………………………………………………………………5分 (2)证明: 联立得, 设,,则,.………………………………7分 因为点在曲线上,所以代入整理可得.………8分 则. …………………………………………………………………………………………………12分 20.【解析】 (1)由得导函数,其中. 当时,恒成立, 故在上是单调递增函数,符合题意;……………………2分 当时,恒成立, 故在上是单调递减函数,符合题意;……………………3分 当时,由得, 则存在,使得. 当时,,当时, ,所以在上单调递减,在上单调递增, 故在上是不是单调函数,不符合题意. 综上,的取值范围是.……………………………………………6分 (2)由 (1)知当时,, 即,故.…………………………………………………………9分 令, 则, 当时,,所以在上是单调递减函数, 从而,即.………………………………………………12分 21.【解析】 (1)系统不需要维修的概率为.…………2分 (2)设为维修维修的系统的个数,则,且, 所以. 所以的分布列为 0 500 1000 1500 所以的期望为.…………………………………………6分 (3)当系统有5个电子元件时, 原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作,系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作,同时新增的两个必须都正常工作, 则概率为; 若前3个电子元件中有两个正常工作,同时新增的两个至少有1个正常工作, 则概率为; 若前3个电子元件中3个都正常工作,则不管新增两个元件能否正常工作, 系统均能正常工作,则概率为. 所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为, 于是由知,当时,即时, 可以提高整个系统的正常工作概率.………………………………………………12分 22.【解析】(I)依题意,曲线的直角坐标方程为.…………………………3分 (I
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