四川雅安市高中级第三次诊断性考试数学试题理科.docx
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四川雅安市高中级第三次诊断性考试数学试题理科四川雅安市高中级第三次诊断性考试数学试题理科雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)(本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,答题时间120分钟)注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上;非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后,将答题卡收回。
第卷(选择题,50分)一、选择题:
(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则A.B.C.D.2.已知向量(1,2),(x,4),若,则A4B4C2D3.设a,bR,则“a1且b1”是“a+b2”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设为锐角,若cos,则sin的值为ABC.D5.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是A.1B.2C.4D.76.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是A.B.C.D.7.已知直线:
与圆:
交于两点且,则A.2B.C.D.8.若实数a,b满足a2b21,则关于x的方程x22xab0有实数根的概率是A.BCD9.过抛物线的焦点作直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作抛物线的切线,则与的交点P的轨迹方程是()A.B.C.D.10.对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数满足,且对,有则A.2014B.2015C.2016D.2017第卷(非选择题,共100分)二、填空题(每题5分,满分25分,将答案填在答题纸上)11.已知(12i)z3i(i为虚数单位),则复数z=12.在二项式的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为.13.若函数有零点,但不能用二分法求其零点,则的值_14曲线y2sincos与直线y在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,则|P2P4|_15.以下命题,错误的是_(写出全部错误命题)若没有极值点,则在区间上单调,则若函数有两个零点,则已知三、解答题:
(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16(本题满分12分)已知向量(2sinx,cosx),(sinx,2sinx),函数f(x)
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)1,c1,ab2,频率/组距且ab,求a,b的值17.(本题满分12分)时间雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:
分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是0,100,样本数据分组为0,20),20,40),40,60),60,80),80,100
(1)求直方图中的值;
(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(3)从学校的高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)18.(本题满分12分)如图1在中,D、E分别为线段AB、AC的中点,以为折痕,将折起到图2的位置,使平面平面,连接,设F是线段上的动点,满足
(1)证明:
平面;
(2)若二面角的大小为,求的值19.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,点均在函数的图象上。
(1)求数列的通项公式;
(2)设是数列的前项和,求使得对所有都成立的实数的范围20.(本小题满分13分)已知椭圆的离心率,直线与椭圆交于两点,为椭圆的右顶点,
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上存在两点使,求面积的最大值。
21.(本题满分14分)已知,其中均为实数,
(1)求的极值;
(2)设,求证对恒成立;(3)设,若对给定的,在区间上总存在使得成立,求m的取值范围。
雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、1.C2.D3.A4.B5.C6.A7.B8.A9.A10.C二、11.12.-113.2或-114.15.16.解:
(1)f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2x2sinxcosxsin2xcos2x12sin(2x)13分由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,f(x)的单调增区间是(kZ)6分
(2)f(C)2sin(2C)11,sin(2C)1,C是三角形的内角,2C,即C8分cosC,即a2b27.将ab2代入可得a27,解得a23或4.a或2,b2或.ab,a2,b12分.17.解:
(1)由直方图可得:
所以3分
(2)新生上学所需时间不少于小时的频率为:
,因为,所以1200名新生中有名学生可以申请住宿9分(3)的可能取值为由直方图可知,每位学生上学所需时间少于分钟的概率为,,10分所以的分布列为:
01234(或)所以的数学期望为12分18.解:
(1)平面平面,平面2分在直角三角形中,得,又6分
(2)作设BE交DC于O点,连OF,由
(1)知,为二面角FBEC的平面角7分由,在10分得,12分方法2:
,设BE交DC于O点,连OF,则为二面角FBEC的平面角7分又由得8分在直角三角形中,由得从而得,12分方法3:
(向量法酌情给分)以D为坐标原点DB,DE,D分别为OX,OY,OZ轴建立空间直角坐标系,各点坐标分别为D(0,0,0),(0,0,2),B(2,0,0),C(2,0),E(0,0).
(1)又,平面又平面所以平面平面6分
(2)设设平面BEF的法向量为,取8分又平面BEC的法向量为得解得,又12分19.解:
(1)点在函数的图象上,当时,2分当时,5分当时,符合6分
(2)10分又对所有都成立故12分20.解:
(1)根据题意,不妨设,1分2分联立解得:
椭圆的方程为:
6分
(2)设,中点为,7分在椭圆上,则相减可得直线EF的方程为:
即代入整理得:
,9分原点到直线的距离为11分12分当时等号成立,所以得最大值为。
13分21.解:
(1)极大值,无极小值;4分
(2),,在上是增函数,在上是增函数设,则原不等式转化为即6分令在恒成立,即所证不等式成立9分(3)由
(1)得所以,又不符合题意当时,要,那么由题意知的极值点必在区间内,即得,且函数在由题意得在上的值域包含于在上的值域内,下面证时,取,先证令内恒成立再证14分
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