数值计算二分法简单迭代法Newton迭代法弦截法割线法双点弦法Word格式.docx
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2.3Newton迭代法
设r是n的根,选取•作为r的初始近似值,过点%』肛成做曲线
S的切线L,L的方程为L—「也"
八1丘一Z;
求出L与x轴交点的
-迪
值。
重复以上过程,得r的近似值序列,其中,称为r的..
次近似值
1.计算原函数的导数f'
(x);
构造牛顿迭代公式
3.若|x1-x0|满足精度要求,xi即为方程的近似解。
X1=xO-f(xO)/f(x1)
输出
x1/
二
L
2.4弦截法
思想:
为加速收敛,改用两个端点都在变动的弦,用差商替代牛顿迭代公式的导数f'
(x)
1.构造双点弦法的公式
2计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
3•判断f(x2)是否满足精度要求,若没有则按照上述步骤继续迭代,否则输出x2.x2即为方程的近似解。
测试结果
第3章测试结果及分析
函数图像
函数Y=x5-3x3+x-1
分法俵1-1,1-2,1-3)
[-16-1.3]
k
xk
-1.45
5
-1.50156
10
-1.50493
1
-1.525
6
-1.50391
11
-1.505
2
-1.4875
7
-1.50508
12
-1.50504
3
-1.50625
8
-1.50449
13
-1.50506
4
-1.49688
9
-1.50479
14
-1.50507
表1-1
区间[-12-0.9]
-1.05
-0.998437
-1.00005
-0.975
-1.00078
-0.999976
-1.0125
-0.999609
-1.00001
-0.99375
-1.0002
-0.999994
-1.00312
-0.999902
-1
表1-2
区间[1.5,1.8]
1.65
1.69102
1.69029
1.725
1.69043
15
1.6875
1.69014
16
1.70625
1.69028
17
1.69687
1.69036
18
1.69219
1.69032
1.68984
1.6903
表1-3
简单迭代法(表2-1.2-2.2-3)
初值-1.5
-1.5
-1.50435
-1.50217
-1.50453
-1.50497
-1.50287
-1.50466
1.50499
-1.50341
-1.50476
-1.50501
-1.50381
-1.50483
-1.50412
-1.50489
-1.50505
表2-1
初值-1
x
初值1.6结果x=1.69028
1.6
1.68862
1.69023
1.65669
1.68927
1.69025
1.66987
1.68967
1.69027
1.6779
1.68991
1.68278
1.69006
19
1.68573
1.69015
20
1.68753
1.6902
表2-3
牛顿迭代法(表3-1.3-2,3-3)
初值-1.5结果x=-1.50507
-1.50471
表3-1
初值-1结果x=-1.50507
表3-2
1.69024
1.68602
1.68893
1.68985
表3-3
双点弦法(表4-1.4-2,4-3)
区间卜1.6,-1.3]结果x=-1.50507
f(xk)
0.03125
-1.50667
0.0784566
-1.66149
0.376502
-0.010079
-1.47175
-1.56322
0.000440988
-1.492
0.186801
2.30387e-006
表4-1
区间[-12-0.9]结果x=-1
-1.01393
0.0415678
0.000607777
-0.999999
-3.11969e-006
2.11001e-010
表4-2
区间[1.5,1.8]结果X=1.69028
1.64403
-0.676455
1.68071
-0.151106
1.69126
0.0157988
-0.000313515
-6.3006e-007
表4-3
从测试结果可以看出二分法和简单迭代法的收敛速度远大于牛顿迭代和弦
截法的收敛速度。
二分法和简单迭代法的公式易于构造和计算,牛顿迭代法虽然
收敛高,但要求导数,计算的复杂度高!
双点弦法随稍慢于牛顿跌代法,可以用
差商代替牛顿迭代法中的导数,降低了计算的复杂度!
附录:
源程序清单
#include<
iostream>
math.h>
usingnamespacestd;
doublefoot=0.3;
inta=-8,b=8;
double*rn=newdouble[5];
double*r=newdouble[5];
intm=0;
intx_count;
doubleprecision=0.000001;
〃定义寻根步长
〃解的区间
//方程近似解
//根的个数
//精度要求
//函数的表达式(xA5-3xA3+x-1)doublef(doublex){
return(pow(x,5)-3*pow(x,3)+x-1);
}
voidinit(){
r[0]=-1.5;
//根据函数图像确定根的区间和迭代初值
r[1]=-1;
r[2]=1.6;
rn[0]=-1.6;
rn[1]=-1.2;
rn[2]=1.5;
}
//寻找根的区间
voidsearch(){〃若没有给出区间和初值,进行逐步搜索有根区间
for(inti=0;
i*foot-8<
8;
i++){
if(f(i*foot-8)*f((i+1)*foot-8)v0){
rn[m]=i*foot-8;
m++;
//=====================二分法==========================doubleDichotomy(doublea,doubleb){
doublemid=0;
inti=0;
while(fabs(b-a)>
precision){
mid=(a+b)/2;
if(f⑻*f(mid)<
=0)b=mid;
//判断与端点函数值得符号
elsea=mid;
cout<
<
mid<
endl;
r[x_count++]=mid;
returnmid;
//返回最终结果
//================简单迭代法=========================
//构造迭代公式doublefitera(doublex){
doubleresult=0;
doublexx=3*pow(x,3)-x+1;
if(xx<
=0){
XX=-xx;
returnpow(xx,1.0/5.0)*(-1);
else
returnpow(xx,1.0/5.0);
//简单迭代
doubleitera(doublex0){
x0<
endl;
doublex1=fitera(x0);
while(fabs(x1-x0)>
x0=x1;
x1=fitera(x0);
//没有到达精度要求继续迭代
x1vvendl;
returnx1;
//===============牛顿迭代法==================//计算函数的一阶导数fderivatives(doublex)doublefderivatives(doublex){
return5*pow(x,4)-9*(x,2)+1;
//构造牛顿迭代公式newtonitera(doublex)doublenewtonitera(doublex){
if(fderivatives(x)==0)return-1;
returnx-(f(x)/fderivatives(x));
//牛顿迭代
doublenewton(doublex0){
doublex1=newtonitera(x0);
if(newtonitera(x0)==-1)break;
x1=newtonitera(x0);
//若导数为0则停止迭代
//继续迭代
//返回最终结果
//==================双点弦法迭代======================
//构造弦截法的迭代公式
doubletwopointchord_f(doublex0,doublex1){returnx1-(f(x1)/(f(x1)-f(x0)))*(x1-x0);
//测试
voidmain(){
init();
//初始化区间和迭代初值
/*测试代码输出每次的迭代结果和最终结果
cout<
"
二分法"
endl;
for(inti=0;
i<
3;
有根区间为["
rn[i]<
"
rn[i]+foot<
]"
endl;
result=Dichotomy(rn[i],rn[i]+foot);
//将区间端点带入公式
求得近似解为"
result<
迭代法"
for(i=0;
doublex0=r[i];
〃取得初值
result=itera(xO);
//带入公式
牛顿迭代"
//取得初值
result=newton(x0);
弦截法"
result=twopointchord(rn[i],rn[i]+foot);
//将区间端点带入公式
/*
在这次实验中,通过编程将二分法、简单迭代法、Newton迭代法、
弦截法(割线法、双点弦法)以代码的方式实现,这不仅是一次实践过程,更是对这些求解方程的方法的深入理解,体会们各自的算法思想。
也提高的我对数值计算中的经典方法其中蕴藏的算法思想的兴趣,这
些思想方法对以后的问题的解决以及编程思想都是很有帮助的。
学生
实验
心得
虽然在实验过程中遇到了一些问题,但是通过查询资料以及不断的调试程序都得以解决。
这也让我认识到只要深入理解,坚持不懈,就一定能够成功的。
我会将这次的实验的宝贵经验实践到以后的学习中,希望能在不断的锻炼中提升自己!
学生(签名):
年月日
指导
教师
评语
成绩评定:
指导教师(签名):
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