广东省清远市第三中学学年高三上学期第十次周考数学理试题 Word版含答案.docx
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广东省清远市第三中学学年高三上学期第十次周考数学理试题Word版含答案
广东省清远市清城区三中2017-2018学年高三第一学期第十次周考
数学(理)试题
(本卷满分150分,时间120分钟)
1、选择题(60分,每题5分)
1、已知集合A={0,1,2,3},B={x|x(x-3)<0},则A∩B=()
A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{1,2,3}
2.已知是虚数单位,复数的共轭复数为()
A.B.C.D.
3.已知向量,,若,则实数等于()
A.B.C.D.
4.若,则等于()
A.B.C.D.
5.执行如图所示的程序框图,若,则输出的值为()
A.10B.12C.14D.16
6.若实数满足条件,则的最大值为()
A.B.C.D.
7.“”是“函数的值不小于4”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试,根据平时训练的经验,甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、,若三人中有人达标但没有全部达标的概率为,则等于()
A.B.C.D.
9.已知函数是偶函数,其中,则下列关于函数的正确描述是()
A.在区间上的最小值为
B.的图象可由函数的图象先向上平移2个单位,再向右平移个单位得到
C.的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D.的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
10.已知函数,则不等式的解集为()
A.B.C.D.
11.设双曲线的左焦点为,点、在双曲线上,是坐标原点,若四边形为平行四边形,且四边形的面积为,则双曲线的离心率为()
A.B.2C.D.
12.已知函数,实数,满足,若,,使得成立,则的最大值为()
A.4B.C.D.
2、填空题(20分,每题5分)
13、已知向量a=(2,3),b=(4,-3),则ab=__________
14、若将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的函数解析式为__________
15、已知等比数列{}的各项均为正数,且=2,=8,则=__________
16、已知向量a=(2,4),b=(x,3),且(a+b)⊥a,则x=__________
3、解答题(70分)
17.(本小题满分12分)
在中,角所对的边分别为,且满足.
(Ⅰ)判断的形状;
(Ⅱ)求的取值范围.
18.(本小题满分12分)
为推行“新课堂”教学法,某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:
记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数
甲班频数
5
6
4
4
1
乙班频数
1
3
6
5
(1)由以上统计数据填写下面列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
附:
临界值表:
(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核,在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为,求的分布列及数学期望.
19.(本小题满分12分)
某商场进行有奖促销活动,顾客购物每满500元,可选择返回50元现金或参加一次抽奖,抽奖规则如下:
从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球,摸到红球就可获得100元现金奖励,假设顾客抽奖的结果相互独立.
(Ⅰ)若顾客选择参加一次抽奖,求他获得100元现金奖励的概率;
(Ⅱ)某顾客已购物1500元,作为商场经理,是希望顾客直接选择返回150元现金,还是选择参加3次抽奖?
说明理由;
(Ⅲ)若顾客参加10次抽奖,则最有可能获得多少现金奖励?
20.(本小题满分12分)
如图,在正方形中,点,分别是,的中点,将分别沿,折起,使两点重合于.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知右焦点为的椭圆过点,且椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于,两点,点关于轴的对称点为,证明:
直线与轴的交点为.
22.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设函数.
(1)解不等式;
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
数学(理)答案
一、1-12:
CADABCABCCDA
二、
13、-1
14、
15、63
16、-16
三、
17.本题主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化数学思想。
(Ⅰ)由,
根据正弦定理,得,即,
在中,有,
所以,即,
所以是等腰三角形.…………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ),,则
.
因为,所以,则,
所以,则,
所以的取值范围是.…………………………12分
18.解:
(1)
甲班
乙班
总计
成绩优良
9
16
25
成绩不优良
11
4
15
总计
20
20
40
………………………………………………………………………………………………2分
根据列联表中的数据,得的观测值为,
∴能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………5分
(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为,则的可能取值为.…………6分
;;…………………………………………………………8分
;.…………………………………………………………10分
∴的分布列为:
0
1
2
3
………………………………………………………………………………………………11分
∴.……………………………………12分
19.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识,考查运算
求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力。
(Ⅰ)因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种,摸到红球的结果共有种,所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是
.………………………………………………………………2分
(Ⅱ)设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数,由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的,则
,
所以.
由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的
均值为元.
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元,所以商场经理希望顾客参加抽奖.………………………………………………………………7分
(Ⅲ)设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为.
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的,则.
于是,恰好次中奖的概率为
,.
从而,,
当时,;
当时,,
则最大.
所以,最有可能获得的现金奖励为元.
于是,顾客参加10次抽奖,最有可能获得400元的现金奖励.………………12分
20.本题主要考查空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。
(Ⅰ)证明:
连接交于,连接.
在正方形中,点是中点,点是中点,
所以,
所以,
所以在等腰中,是的中点,且,
因此在等腰中,,
从而,
又,
所以平面,
即平面.……………………………………6分
(Ⅱ)方法一:
在正方形中,连接,交于,设正方形的边长为2,
由于点是中点,点是中点,
所以,
于是,
从而,
所以,
于是,在翻折后的几何体中,为二面角的平面角,
在正方形中,解得,,
所以,在中,,,,
由余弦定理得,
所以,二面角的余弦值为.………………………………12分
方法二:
由题知两两互相垂直,故以为原点,向量方向分别为,,轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系.
设正方形边长为2,则,,,.
所以,.
设为平面的一个法向量,
由得,
令,得,
又由题知是平面的一个法向量,
所以.
所以,二面角的余弦值为.………………………………12分
21.
(1)解:
∵椭圆过点,∴,①………………………………1分
∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点,∴,………………………………2分
∵,∴,②…………………………………………………………3分
由①②得,,……………………………………………………4分
∴椭圆的方程为.………………………………………………5分
(2)证明:
易知直线的斜率必存在,设直线的方程为,
代入得,
由得,.…………………………7分
设,,则
,,……………………………………8分
则直线的方程为,
令得:
,
∴直线过定点,又的右焦点为,∴直线与轴的交点为.…………12分
22.解:
(1)由,得,
则,……………………………………………………2分
即,………………………………………………3分
解得,∴不等式的解集为.…………………………5分
(2)∵,………………7分
又对任意恒成立,即对任意恒成立,……8分
∴,解得或,
∴实数的取值范围是.………………………………10分
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