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X—8
存在即合理,何况伟大的数学已经存在了许多年。
3.无穷小的定义
当然,有的时候,函数在某点的极限不一定能够求出来,或者求出来之后是
0,那么我们把当函数在某点的极限为o的情况叫做无穷小,在某点极限的绝对值为无穷大时叫做在该点的无穷大。
无穷小量是极限为0的变量而不是数量0,是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0,称一个函数是无穷小量,一定要说明自变量的变化趋势。
例如乂2-4在乂=2时是无穷小量,而不能笼统说、2-4是无穷小量。
也不能说无穷
小是—8,—8是指负无穷大。
另外:
有限个无穷小量之和仍是无穷小量有限个无穷小量之积仍是无穷小量有界函数与无穷小量之积为无穷小量
常数与无穷小量之积为无穷小量
恒不为0的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小
4.无穷小阶的比较
大家都是无穷小,但是收敛速度不同,也就是说,收敛于零的快慢不一样。
那么,如何描述这种差别呢?
聪明的阿基米德想到了把两个无穷小量相除,看结果如何。
(可以理解为一个无穷小占另一个的百分比)
设a与R是两个无穷小
若linifj=0,则称a是比0高阶的无穷小(收敛速度更快)
若linifj=C,则称a是与夕同阶的无穷小
若1加L/*=1,则称a是与0等价的无穷小
当X-0时的同阶无穷小量:
1-COSX与X?
x与x(2+sin-)
当x-0时的等价无穷小量:
sinx~tanx~ln(l+x)~e*一l~x,1-cosx~-x2,(1+x)^—1~
2n
ax—1~xlnx
5.极限存在淮阳
sinxlim——*0x
夹逼准则和极限
单调有界准则和极限单调有界数列必有极限
6.极限的四阳运算
lim/(x)=A,limg(x)=8,则
lim(/(%)+g(x))=limf(x)+limg(x)=4+B(乘法也适用)
1.2.2连续
1.连续的定义.
函数在某个区间上的每一个点都连续,则称函数在该区间上连续。
2.函数连续的条件
fGo)有定义;
lim(f(x)存在;
X^Xq
limfM=/(x0)o
3.雷数的间断点
第一类间断点:
跳跃式:
左右极限存在但不相等可去式:
左右极限存在且不相等
第二类间断点:
左右极限无穷大
4,初等函数的连续联
基本初等函数包括鼎函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数由常数和基本初等函数进过有限次的四则运算和有限次的符合所构成的函数称为初等函数,一切初等函数在定义区间内都是连续的。
5.闭区间上连续函数的II生质
闭区间上连续函数具有
有界性定理、
最大值最小值定理、
零点定理
介值定理。
1.2.3导数
1.导致的概念
若lim加但竽3极限存在,则称函数f(x)在x=x0处可导,对
Ax—*0kAx-*0"
于定义域内所有点的导数的集合就成为导函数,记作y'
、f'
(x)或白。
2.导致的几何蔻义
是切线的斜率,用来描述函数的变化率。
导数的物理意义
速度、加速度、角速度、功率
3.可导性与连续性的关系
可导必连续、连续不一定可导。
例子:
函数y=\/^在整个定义域内都连续,但是在x=0处不可导。
(lim/(x)存在且=/(0)=0,但是lim八。
+々)-八。
)极限不存在,而后者才是导4-0Ax-0
数的定义)
从图像上可以把函数在某点可导理解成在某点处有且仅有一条切线,而上述的
例子切线不唯一,因此不可导。
4.基本末导公式
正切正割平:
余切负的余割平;
正割正割切:
余割负的余割切:
反正余弦1比根号1减平;
反正余切1比1加平;
对数1比真In底
5.未导法出3
1反函数的求导法则:
原函数的导数分之1
2复合函数求导法则:
设y=f(u),u=(p(x)均可导,则复合函数y=f[cp(x)]也可导,且
9靠洪或y'
(x)=f'
(u)y'
(x)
3隐函数的求导法则:
方程两边同时对y求导,解方程即可。
4由参数方程所确定的函数的求导法则
y和x分别对中间参数求导:
J=(dy/dt)/(dx/dt)
5高阶导数
一般形式的与一阶导数相同(uTv)n=unTvn
若是用参数方程表示的,如x=<
p(t),y=巾。
),则:
d2y_d/dy\=dt
dx2dx\dx/dtldxjdx
_d停必dt
dt\cp\t)/dx
巾〃(t)(p《)-U(t)d'
(t)1
=^0)西
W〃(W0--(t)<
p〃(t)
-
1.2.4微分及其应用
1.微分的概念
若函数的增量Ay=f(x0+Ax)-f(%o)=4以+o(Ax),且4是不依赖Ax存在的常数,则称函数在几处可微。
定义中的AZ为线性部分,o(Ax)是比Ax更高阶的无穷小,意味着在Ax很小的时候,后者可以忽略不计。
导数与微分的区别:
两者只是在计算上的数值上相似,两者有本质的区别。
导数实际上就是切线的斜率(是一个数),而微分在现代微积分学中被定义成将口变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。
2,微分法妁
函数的和、差、积、商的微分法则都可以用
dy=f'
(x)-dx的形式表示出来,其中f'
(x)按照导数的求导方式进行求导,注意形式dxo
1.2.5微分中值定理及导数的应用
本节的核心是对一阶导数、二阶导数的理解及图像的参照;
1.中值定理:
罗尔定理:
闭区间连续,开区间可导,端点函数值相等,则区间内必有至少一点导数为
Oo
拉格朗日中值定理
闭区间连续,开区间可导,则区间内必有一点的切线与两端点连线平行。
其实拉格朗口中值定理可以看做罗尔定理的延伸(罗尔定理就是个特殊情况罢了)
2
未定式:
就是指形式为/
.塔义达法阳与未定式
方的极限,无法直接用“商的极限等于极限的商”00
怎么办呢?
洛必达法则
「fWvf'
(x)hm、=hm.、x^aF(X)x^aF(X)
当XT8时同样适用(当然倒数肯定得存在)
换个说法,就是把直接求不出来的比较怪的商的极限转换成求他们的导数的商的极限,变得很容易,好神奇。
其他形式的未定式:
0・8(分数变形)、
8-8(通分变形)、
8。
、。
8、产(对数变形)
通过把这五种未定式转化成前面已知的两种未定式,然后应用洛必达法则,从而求解。
3.逋a/'
(x)、广'
(x)符号转断函数的单调性、凹凸性、极值、
底点和拐戌。
f\x)>
0单调递增
f/(%)<
0单调递减
厂(而)=0、fz/(x)>
0则f(Xo)处取极小值,凹广。
0)=0、ff,W<
0则f(%o)处取极大值,凸r〃Qo)=O则配处为拐点(凹弧凸弧的分界点)fffW>
0曲线为凹弧线r〃(x)<
o曲线为凸弧线
1.2.6偏导数与全微分
1.叶幺是偏导致?
偏在什幺地方?
偏导数是相对于我们之间的(全)导数来说的。
在双元变量函数的导数中,只有4一个自变量,y一个因变量,因此?
也就毫无争议。
但是对于有三个变量的函数,比如空间曲线、平面等的方程同时含有X、y、z三个变量,如果我想知道Z对X的变化关系,那么我就要求g,即Z对X的偏导数。
偏就偏在只关心x,不关心y,这还不叫偏心?
Ozf(x+Ax,y)-f(x,y)
—=lim
dxAx->
oAx
dzf(x,y+Ay)-f(%y)
Ay
—=limoyAy—o
2.编导致的一般公式
1)多元复合函数求导
Z=f(u,v)具有连续偏导数
u=<
p(x,y),v=W(x,y)均具有偏导数
及、&
、Fz指隐函数分别对x,y,z求导
3)高阶偏导数
d/dz\d2z
dy\dx/GyOx)
则复合函数z=f[<
p(x,y),巾(x,y)]dz:
dxdz讨
3全旗分
偏导数每次只考虑一个,而全微分就比较贴心,每次都考虑全面
1)全微分的定义:
与微分的定义一样,全微分的定义也涉及到无穷小。
若Az=f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)=4Ax+BAy+o(p)
且p=J(Ax)2+(Ay)2
则记作
dzdz
dz=—dx+—dy
Oxdy
2)多元函数连续、可偏导、可微分的关系注意:
多元函数可偏导与连续没有必然的联系
3)偏导数的应用
a)求空间曲线的切线和法平面
求出切线向量,然后点法式得切线方程,点法式得法平面方程
x=夕⑹y=山(。
Z=3。
)则切线方程
X-XQ_y-yQ_z_Zo”(to)一”'
(%)—3’《0)法平面方程
w'
Qo)(x-x0)+(y-y0)+a'
(电)(z-z0)=0b)求空间曲面的切平面和法线
曲面X:
F(x,y,z)=0在其上面一点(xo>
yo,zo)的切平面方程:
FKxo,yo,Zo)(%-x0)+Fy(xo,yo,zo)(y-y0)+Fz(x(),yo,Zo)(z-z0)
=0
法线方程:
一一与_y——o_z—o
F》(xo,yo,Zo)-Fy(%o,yo^o)一Fz(xo,yo^o)
c)求多元函数的极值函数z=f(x,y)在点(々J。
)处具有偏导数,则在该点取得极值的必要
条件是&
(%0,、0)=0,勺(%0,'
0)=。
充分条件:
函数z=;
(x,y)在点(xo,y。
)的某邻域内具有二阶连续偏导数,且
&
(Xo,yo)=&
('
oJo)=0,0式々加=4/f秒(XoJo)=B,
fyyQo,为)=C'
则:
AC-B2>
0时有极值fOoJo),且A>
0时极小值,A<
0时极大值
AC-B2<
0时f(%o,y。
)不是极值
d)求多元函数的条件极值
对函数的自变量具有条件约束的极值问题,称为条件极值问题。
此类问题通常利用约束条件将其转化为无条件极值问题,例如拉格朗日乘数法比如要求z=f(x,y)在约束条件(p(x,y)=0下的极值点,可以先做一个拉格朗日函数:
F(x,y)=f(x,y)+A(p(x,y)
其中人为参数;
再解方程组
(x,y)=%(x,y)+A(px(x,y)=0
与(x,y)=&
(x,y)+A(py(x,y)=0
(<
p(x,y)=0
得到x、y及九则这碎的点(x,y)就是函数f(x,y)在约束条件(p(x,y)=0卜可能的极值点
e)求多元函数的最值
按照上述(c)的求法求出驻点的函数值
求出定义域内边界点的函数值
两者比较得出在定义域的最值。
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