全国初中数学竞赛试题及参考答案Word文档格式.docx
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c,d)=<
acbd,adbc).如果对于任意实数u,v,都有<
u,v)△<
x,y)=<
u,v),那么<
x,y)为(>
.qfRgF4dw27
A)<
0,1)<
B)<
1,0)<
C)<
﹣1,0)<
D)<
0,-1)
3.若x1,y0,且满足xyxy,xx3y,则xy的值为(>
y
911
A)1<
B)2<
C)<
D)
22
4.点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设S四边形EADFS1,SBDFS2,SBCFS3,SCEFS4,则S1S3与S2S4的大小关系为(>
A)S1S3S2S4<
B)S1S3S2S4<
C)S1S3S2S4<
D)不能确定
1111
5.设S1132133139193,则4S的整数部分等于(>
12399
A)4<
B)5<
C)6<
D)7
二、填空题<
共5小题,每小题7分,共35分)
6.若关于x的方程(x2)(x24xm)0有三个根,且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是.
7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,
4;
另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8.
同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.NW2GT2oy01
8.如图,点A,B为直线y
x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行
线交双曲线y1<
x>
0)于C,D两点.若BD2AC,则4OC2OD2的值x
为.NW2GT2oy01
y1xx21的最大值为a,最小值为b,则a2b2的值为.
10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△
ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为.NW2GT2oy01
三、解答题<
共4题,每题20分,共80分)
11.已知关于x的一元二次方程x2cxa0的两个整数根恰好比方程
x2axb0的两个根都大1,求abc的值.
12.如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆
⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:
点P
为CH的中点.
13.如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对<称第,12题过)点A任
22作直线交抛物线y32x2于P,Q两点.
1)求证:
∠ABP=∠ABQ;
、选择题
u,v都成立.由于实数u,v的任意性,
1.A
解:
由于a71,
a1
7,
2a
6
2a,
所以
3a312a26a12
3(a6
2a)
12(6
6a
6a2
12a
60
(66
24.
2.
B
ux
vy
u,
u(x
1)
依定义的运算法则,
有
即
vx
uy
v,
v(x
得
vy0对任何实数
uy0
x,y)=<
1,0)
3.C
yx3yx4y
5.A
易知x
6.3<
m≤4
2是方程的一个根,设方程的另外两个根为x1,x2,则
x1x24,x1x2m.显然x1x242,所以
x1x22,164m≥0,
即x1x24x1x22,164m≥0,所以
解之得3<
m≤4.
在36对可能出现的结果中,有4对:
1,4),<
2,3),<
2,3),
7.
9
41
4,1)的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是34619.NW2GT2oy01
8.6
如图,设点C的坐标为(a,b),点D的坐标为(c,则点A的坐标为(a,a),点B的坐标为(c,c).由于点C,1
在双曲线y1上,所以ab1,cd1.
x
由于ACab,BDcd,又由于BD2AC,
cd2ab,c22cdd2(4a22abb2),
(4a2b2)(c2d2)8ab2cd6,
即4OC2OD26.
9.
133
由于12<
43<
1,所以当x=43时,y2取到最大值1,故a=1.
当x=12或1时,y2取到最小值21,故b=22.
由①②得
222
(ab)2a2b22ab122524(ab),
解得a+b=49<另一个解-25舍去),所以abc493584.
三、解答题
11.解:
设方程x2axb0的两个根为,,其中,为整数,且
≤,则方程x2cxa0的两根为1,1,由题意得
a,11a,
两式相加得
2
10,
(
2)(
2)3,
1,
或
23,
3;
21.
解得
;
1,或5,
1;
3.
又由于a
(),b,
c
([
1)
(1)],所以
a0,b1,c
或者
<第12题)
a8,b15,c6,故abc3,或29.
12.证明:
如图,延长AP交⊙O2于点Q,连接AH,BD,QB,QC,QH.
由于AB为⊙O1的直径,
所以∠ADB∠BDQ90故BQ为⊙O2的直径.
于是CQBC,BHHQ.
又由于点H为△ABC的垂心,所以AHBC,BHAC.
所以AH∥CQ,AC∥HQ,
四边形ACQH为平行四边形.
所以点P为CH的中点.
13.解:
1)如图,分别过点
P,
设点A的坐标为<
0,t),则点
设直线PQ的函数解读式为ykx
标分别为
xP,yP),(xQ,
yQ).由
kxt,
22,x,
3
Q作y轴的垂线,垂足分别为C, D.
于是
xPxQ
32t
BC
BD
yPyQt
2t3xPxQ.
22txP
3P
222t3xQ3xPxQ
kxt
0,
第
13题)
又由于
由于∠
2xQ
3xPxQ
23xP(xPxQ)
3xQ(xQxP)
xP
xQ
PC
QD
BCP
故∠ABP=∠
2)解法
xP,所以BC
∠BDQ
ABQ.
设PCa
90,
DQ
∠ABP=∠ABQ
AC=3a
30
所以△BCP∽△BDQ,
b,不妨设a≥b>
0,由<
1)可知
,BC=3a,BD=3b,
2,
AD=23b.
由于PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ.
PCACa3a2
于是,即,
DQADb23b
所以ab3ab.
由<1)中xPxQ3t,即ab3,所以ab3,ab33,
2222于是可求得a2b3.
将b3代入y2x2,得到点Q的坐标<3,1).
2322
再将点Q的坐标代入ykx1,求得k3.
所以直线PQ的函数解读式为y3x1.
根据对称性知,所求直线PQ的函数解读式为y3x1,或y3x1.
33解法二设直线PQ的函数解读式为ykxt,其中t1.
由<
1)可知,∠ABP=∠ABQ30,所以BQ2DQ.
故2xQxQ2(yQ1)2.
将yQ32xQ2代入上式,平方并整理得
4xQ415xQ2
0,即
(4xQ2
3)(xQ23)
0.
xQ23或3.
又由(
1>
得xPxQ3t
PQ2
,xPx
Q2k
若xQ
3,代入上式得
3,
从而
k23(xP
xQ)
同理,
若xQ3,可得
3.
所以,直线PQ的函数解读式为y33x1,或y33x1.
14.解:
如图,作△ABQ,使得
QABPAC,ABQACP,则△ABQ∽△ACP.
由于AB2AC,所以相似比为2.于是
<第14题)
AQ2AP23,BQ2CP4.
QAPQABBAPPACBAPBAC60
由AQ:
AP2:
1知,APQ90,于是PQ3AP3.
所以BP225BQ2PQ2,从而BQP90.
AB2PQ2(APBQ)22883.
132673
故SABCABACsin60AB2.
282
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