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份数=总量
一份数量=份数
【解题思路】先求出总数量,再解决问题。
【例】服装厂原来做一套衣服用布米,改进剪裁方法后,每套衣服用布米。
问原来做791套衣服的布,现在可以做多少套衣服
先求这批布总共多少米——×
791=(米)
再求现在可以做多少套——÷
=904(套)
×
791÷
知识点三:
和差问题
【含义】已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少。
大数=(和+差)÷
2
小数=(和-差)÷
【解题思路】简单题目直接套用上述公式,复杂题目变通后再套用公式。
【例】甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人
直接套用公式——
甲班人数=(98+6)÷
2=52(人)
乙班人数=(98-6)÷
2=46(人)
知识点四:
和倍问题
【含义】已知两个数的和及“大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)”,求这两个数各是多少。
总和÷
(倍数+1)=较小数
总和-较小数=较大数
或较小数×
倍数=较大数
【例】果园里有杏树和桃树共248棵,桃树是杏树的3倍,求杏树和桃树各有多少棵
先求杏树有多少棵——248÷
(3+1)=62(棵)
再求桃树有多少棵——62×
3=186(棵)
知识点五:
差倍问题
【含义】已知两个数的差及“大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)”,求这两个数各是多少。
两个数的差÷
(倍数-1)=较小数
较小数×
【例】果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树度124棵,求杏树和桃树各有多少棵
先求杏树有多少棵——124÷
(3-1)=62(棵)
知识点六:
倍比问题
【含义】有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出倍数,再用倍比方法算出要求的数。
总量A÷
数量A=倍数
数量B×
倍数=总量B
【解题思路】先求出倍数,再利用倍比关系求解。
【例】100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少
先求倍数,
3700千克是100千克的多少倍——3700÷
100=37(倍)
再求可以榨油多少千克——40×
37=1480(千克)
40×
(3700÷
100)=1480(千克)
知识点七:
相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇的问题。
相遇时间=总路程÷
(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)×
相遇时间
【例】南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,问经过几小时两船相遇
直接套用公式392÷
(28+21)=8(小时)
知识点八:
追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点不同时出发,或者在不同地点不同时出发)作相向运动。
在后面的行进速度快,在前面的行进速度慢,在一定时间内,后者追上了前者的问题。
追及时间=追及路程÷
(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×
追及时间
【例】好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马
先求劣马先走了多少千米——75×
12=900(千米)
再求好马几天能追上——900÷
(120-75)=20(天)
75×
12÷
(120-75)=900÷
45=20(天)
知识点九:
植树问题
【含义】按相等的距离,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中两个量,求第三个量的问题。
线性植树
棵数=距离÷
棵距+1
环形植树棵数=距离÷
棵距
方形植树棵数=距离÷
棵距-4
三角形植树棵数=距离÷
棵距-3
面积植树棵数=面积÷
(棵距×
行距)
【解题思路】先弄清是哪种植树问题,再套用公式。
【例】一条河堤136米,每隔2米栽一棵柳树,头尾都栽,一共要栽多少棵柳树
直接套用“线性植树”公式——
136÷
2+1=68+1=69(棵)
知识点十:
年龄问题
【含义】已知一个人的年龄,根据已知条件求另一个人的年龄。
【数量关系】两人年龄差不变。
【解题思路】抓住“年龄差不变”的特点,转化为和差倍比问题求解。
【例】爸爸今年37岁,亮亮今年7岁,几年后爸爸年龄是亮亮的4倍
抓特点,先求年龄差——37-7=30(岁)
转化为和差倍比问题——30÷
(4-1)-7=3(年)
(37-7)÷
知识点十一:
行船问题
【含义】关于船速、水速、逆水、顺水的航行问题。
船速即船只在静水中航行的速度,水速指水流速度,船只顺水航行是船速与水速之和,船只逆水航行是船速与水速只差。
(顺水速度+逆水速度)÷
2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷
2=水速
顺水速度=船速×
2-逆水速度=逆水速度+水速×
逆水速度=船速×
2-顺水速度=顺水速度-水速×
【解题思路】直接套用公式即可。
【例】一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水航行这段路程需用几小时
直接套用公式——船速为320÷
8-15=25(千米/小时)
船在逆水中的速度为25-15=10(千米/小时)
船逆水航行这段路程的时间为320÷
10=32(小时)
知识点十二:
火车过桥问题
【含义】这是与列车行驶有关的问题,解答时注意列车车身的长度。
火车过桥:
过桥时间=(车长+桥长)÷
车速
【解题思路】利用数量关系及其变式求解。
【例】一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。
这列火车长多少米
火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。
先求火车三分钟行多少米——900×
3=2700(米)
再求火车长度——2700-2400=300(米)
900×
3-2400=300(米)
知识点十三:
时钟问题
【含义】研究钟面上时针与分针的关系问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针呈夹角等。
分针的速度是时针的12倍。
二者的速度差为11/12。
【解题思路】变通为“追及问题”或者“差倍问题”求解。
【例】从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合。
根据数量关系,每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。
4点整时,时针在前,分针在后,两针相距20格。
所以分针追上时针的时间为
20÷
(1-1/12)≈22分
知识点十四:
盈亏问题
【含义】根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或者两次都有余,或者两次都不足的问题。
一盈一亏,则有:
参加分配总人数=(盈+亏)÷
分配差
两次都盈或两次都亏,则有:
参加分配总人数=(大盈-小盈)÷
参加分配总人数=(大亏-小亏)÷
【解题思路】分清是哪种盈亏问题,直接套用公式。
【例】给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;
若每人分4个就少1个。
问有多少个小朋友有多少个苹果
一盈一亏问题,直接套用公式——
先求有小朋友多少人:
(11+1)÷
(4-3)=12(人)
有多少个苹果:
3×
12+11=47(个)
知识点十五:
工程问题
【含义】研究工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系。
工作量=工作效率×
工作时间
工作时间=工作量÷
工作效率
(甲的工作效率+乙的工作效率)
【解题思路】解答问题的关键是把工作总量看做“1”,再套用公式。
【例】一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成
把此项工程看作单位“1”,那么甲每天完成1/10,乙每天完成1/15,两队合作每天完成(1/10+1/15),由此可列出算式
1÷
(1/10+1/15)=1÷
1/6=6(天)
知识点十六:
牛吃草问题
【含义】这个问题是大科学家牛顿提出的,这类问题的特点在于要考虑草边吃边长的因素。
【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×
天数
【解题思路】关键是求草每天的生长量。
【例】一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完
设每头牛每天吃草量为1,根据公式分5步解答:
求草每天的生长量:
50÷
(20-10)=5
求草原有草量=10天内总草量-10天内生长量
=1×
15×
10-5×
10=100
求5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×
5=125
求多少头牛5天吃完草:
125÷
(5×
1)=25(头)
知识点十七:
鸡兔同笼问题
【含义】这是古典的算术问题,第一类是已知鸡兔共有多少只和多少只脚,求鸡兔各有多少只的问题;
另一类是已知鸡兔总数和鸡脚与兔脚之差,求鸡兔各有多少只的问题。
第一类问题:
假设全都是鸡,则有
兔数=(实际脚数-2×
鸡兔总数)÷
(4-2)
假设全都是兔,则有
鸡数=(4×
鸡兔总数-实际脚数)÷
第二类问题:
兔数=(2×
鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷
(4+2)
鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷
【解题思路】分清是哪一类鸡兔同笼问题,然后套用公式即可。
【例】鸡兔同笼,共有35只头,94只脚,问鸡兔分别多少只
假设笼子里全是兔子,则根据公式
35-94)÷
(4-2)=23(只)
兔数=94-23=12(只)
知识点十八:
商品利润问题
【含义】关于成本、利润、利润率、亏损、亏损率等方面的问题。
利润=售价-进价
利润率-(售价-进价)÷
进价×
100%
售价=进价×
(1+利润率)
亏损=进货价-售价
亏损率=(进货价-售价)÷
进货价×
【解题思路】利用公式及其变式即可解答。
【例】某商量的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何
设这种商品原价为“1”,则一月份售价为(1+10%),二月份售价为(1+10%)×
(1-10%),所以二月份售价比原价下降了
1-(1+10%)×
(1-10%)=1%
知识点十九:
存款利率问题
【含义】关于本金、利率、存期三个因素的问题。
年(月)利率=利息÷
本金÷
存款年(月)数×
利息=本金×
年(月)利率
本利和=本金+利息=本金×
(1+年(月)利率×
存款年(月)利率)
【例】大强存入银行1200元,月利率%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长
先求总利息是(1488-1200)元,
再求总利率为(1488-1200)÷
1200
则存款月数为(1488-1200)÷
1200÷
%=30(月)
知识点二十:
溶液浓度问题
【含义】关于溶剂(水或其他液体)、溶质、溶液、浓度几个量之间关系的问题。
溶液=溶剂+溶质
浓度=溶质÷
溶液×
【解题思路】利用公式及其变式,进行分析计算,即可解题。
【例】现有16%的糖水50克,要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克
直接根据公式50×
16%÷
10%-50=30(克)
知识点二十一:
列方程问题
【含义】把题目中的未知数用字母X代替,列出等量关系式,解出X的问题。
【数量关系】方程等号左右两边是等量关系。
【解题思路】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
审:
认真审题,找出已知条件和待求问题。
设:
将未知数设为X。
列:
根据已知条件,列出方程。
求解所列方程。
验:
检验方程的等量关系及求解过程是否正确。
答:
写答语,回答题目所问。
【例】甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人
设乙班有X人,则甲班有(90-X)人,
根据等量关系可以列如下方程
90-X=2X-30
解方程得X=40,从而得90-40=50
甲班50人,乙班40人。
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