完整版概率论与数理统计知识点总结可编辑修改word版.docx
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第1章随机事件及其概率
(1)随
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果
机试验
不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则
和随机
称这种试验为随机试验。
事件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事
件,它具有如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
(2)基
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
本事
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。
件、样
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。
本空间
一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件)组成的集合。
通常用大
和事件
写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。
Ω为必然事件,Ø为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一
定是必然事件。
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B
(3)事
发生):
A⊂B
件的关
如果同时有A⊂B,B⊃A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
系与运
A=B。
算
A、B中至少有一个发生的事件:
AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,
也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:
AB,或者AB。
AB=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Ω-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。
它表示A
不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:
(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
∞∞
德摩根率:
Ai=Ai,
i=1i=1AB=ABAB=AB
(4)概率的公理化定义
设Ω为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0≤P(A)≤1,
2°P(Ω)=1
3°对于两两互不相容的事件A1,A2,…有
⎛∞⎫∞
PçAi⎪=∑P(Ai)
⎝i=1⎭i=1
则称P(A)为事件A的概率。
(5)古典概型
1°Ω={1,2n},
2°P()=P()=P()=1。
12nn
设任一事件A,它是由1,2m组成的,则有
P(A)={
(1)
(2)(m)}=P
(1)+P
(2)++P(m)
=m=A所包含的基本事件数n基本事件总数
(6)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,
则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,
P(A)=L(A)。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
L(Ω)
(7)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当AB不相容P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
当AB独立,P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
(8)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B⊂A时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时,P(B)=1-P(B)
(9)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条
P(A)
件下,事件B发生的条件概率,记为P(B/A)=P(AB)。
P(A)
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1⇒P(B/A)=1-P(B/A)
(10)乘法公
式
乘法公式:
P(AB)=P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An-1)。
(11)独立性
①两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)>0,则有
P(B|A)=P(AB)=P(A)P(B)=P(B)P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(12)全概公式
设事件B1,B2,,Bn满足
1°B1,B2,,Bn两两互不相容,P(Bi)>0(i=1,2,,n),
n
A⊂Bi
2°i=1,
则有
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)++P(Bn)P(A|Bn)。
全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题,全概率公式的题型:
将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;
(13)贝叶斯公式
设事件B1,B2,…,Bn及A满足
1°B1,B2,…,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i=1,2,…,n,
n
A⊂Bi
2°i=1,P(A)>0,
则
P(B/A)=P(Bi)P(A/Bi),i=1,2,…n。
in
∑P(Bj)P(A/Bj)
j=1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i=1,2,…,n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(i=1,2,…,n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
将试验可看成分为两步做,如果求
在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式。
(14)伯努利概型
我们作了n次试验,且满足
◆每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
◆n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;
◆每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1-p=q,用Pn(k)
表示n重伯努利试验中A出现k(0≤k≤n)次的概率,
Pn(k)=Ckpkqn-kk=0,1,2,,n
n,。
第二章随机变量及其分布
(1)
设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出:
X|x1,x2,,xk,
P(X=xk)p1,p2,,pk,。
显然分布律应满足下列条件:
∞
(1)p,,
(2)∑pk=1。
k≥0k=1,2,k=1
离散
型随
机变
量的
分布
律
(2)
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数
x,有
x
F(x)=⎰-∞f(x)dx,
则称X为连续型随机变量。
f(x)称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
1、f(x)≥0。
+∞
2、⎰-∞f(x)dx=1。
3、P(x 1221⎰x 1 4、P(x=a)=0,a为常数,连续型随机变量取个别值的概率为0 连续 型随 机变 量的 分布 密度 (3)分布函数 设X为随机变量,x是任意实数,则函数F(x)=P(X≤x) 称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。 P(a 分布函数F(x)表示随机变量落入区间(–∞,x]内的概率。 分布函数具有如下性质: 1°0≤F(x)≤1,-∞ 2°F(x)是单调不减的函数,即x1 3°F(-∞)=limF(x)=0,F(+∞)=limF(x)=1; x→-∞x→+∞ 4°F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的; 5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。 对于离散型随机变量,F(x)=∑pk; xk≤x x 对于连续型随机变量,F(x)=⎰f(x)dx。 -∞ (4)六大分布 0-1分 布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。 事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,,n。 P(X=k)=Pn(k)=Ckpkqn-k,其中q=1-p,0 n 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。 记为X~B(n,p)。 当n=1时,P(X=k)=pkq1-k,k=0.1,这就是(0-1)分布,所 以(0-1)分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量X的分布律为 k- P(X=k)=e,>0,k=0,1,2, k! 则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为X~()或者 P()。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。 均匀分布 设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数f(x)在[a,b] 上为常数1,即 b-a ⎧1,a≤x≤b f(x)=⎪b-a ⎨⎪其他, ⎩0, 则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。 分布函数为
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