图形专业题材相似与几何图形及其圆的综合应用学案文档格式.docx

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本章知识网络图

二、知识讲解

考点1相似三角形的判定方法

（1）定义法：

三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

（2）平行法：

平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．

（3）判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：

两角对应相等，两三角形相似．

（4）判定定理2：

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

（5）判定定理3：

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：

三边对应成比例，两三角形相似．

考点2常见的相似模型

1.如图：

称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）

2.如图：

其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）

3.如图：

称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

4.如图：

∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

5.一线三角模型

考点3常用方法归纳

（1）总体思路:

“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

（2）找相似：

通过“横找”“竖看”寻找三角形

（3）找中间比：

若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：

等线段代换、等比代换、等积代换.

即：

找相似找不到，找中间比。

方法：

将等式左右两边的比表示出来。

①

②

③

（4）添加辅助线：

若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.

注：

添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：

常用处理方法是将“一份”看着k;

对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

三、例题精析

考点一相似三角形与简单几何图形结合问题

例1、如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°

，AE=1．

（1）证明：

△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；

（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；

（4）求线段BD的长．

【规范解答】：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°

．　（1分）

∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°

，

∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°

∴∠BAC+∠CAE=120°

=∠BCA+∠ACD，

即∠BAE=∠BCD．（2分）

在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，

∴△ABE≌△CBD．（3分）

（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．

证明：

∵∠BAN=60°

=∠DCN，∠ANB=∠DNC，

∴△ANB∽△CND．（5分）

其相似比为：

=

=2；

（6分）

（3）由

（2）得

=2，

∴CN=

AN=

AC，（8分）

同理AM=

AC，

∴AM=MN=NC．（9分）

（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，

∵∠BCD=120°

∴∠DCF=60°

．（1O分）

在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°

∴CF=

CD=

∴DF=

；

　（11分）

在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+

，DF=

∴BD=

．（12分）

【分析】：

（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°

，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°

，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；

（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；

（3）由

（2）的结论得

=2，即CN=

AC，同理，得AM=

AC，可证AM=MN=NC；

（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°

，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．

例2、已知：

如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>

AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。

（1）求证：

四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·

AP？

若存在，请说明点P的位置，并予以证明；

若不存在，请说明理由.

由题意可知OA=OC，EF⊥AO，

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；

（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2，

∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），

∴△ABF的周长为14+10=24cm；

（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；

∵∠AEP=∠AOE=90°

，∠EAO=∠EAP，

∴△AOE∽△AEP，∴

，∴AE2=AO•AP，

∵四边形AECF是菱形，∴AO=

AC，∴AE2=

AC•AP，∴2AE2=AC•AP．

（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；

由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；

（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×

BF=48；

变换成完全平方式，即可解答；

（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；

考点二相似三角形与圆有关的综合问题

例3、已知：

如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．

∠PCA=∠PBC；

（2）利用

（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．

（1）证明：

连结OC，OA，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，

∵PC是⊙O的切线，C为切点，

∴PC⊥OC，

∴∠PCO=90°

，∠PCA+∠ACO=90°

在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°

∵∠AOC=2∠PBC，

∴2∠ACO+2∠PBC=180°

∴∠ACO+∠PBC=90°

∵∠PCA+∠ACO=90°

∴∠PCA=∠PBC；

（2）

解：

∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，

∴△PAC∽△PCB，

∴

∴PC2=PA•PB，

∵PA=3，PB=5，

∴PC=

．

（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°

，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°

，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°

，再根据∠PCA+∠ACO=90°

即可得出结论；

（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

例4、如图所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．

（1）求证

（2）计算CD·

CB的值，并指出CB的取值范围．

【规范解答】:

（1）∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAB，∴

.

（2）∵AE＝8，OC＝12，

∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．

又∵

∴CD·

CB＝AC·

CE＝16×

8＝128．

连接OB，在△OBC中，OB＝

AE＝4，OC=12，

∴8＜BC＜16．

【分析】:

利用△CDE∽△CAB，可证明