函数的极值和最值与导数Word文档下载推荐.docx

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C．（－3，＋∞）D．（－∞，－3）

10．已知函数f（x）的导数f′（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值围是（　　）

A．（－∞，－1）　　　　　　B．（0，＋∞）

C．（0,1）D．（－1,0）

11．函数f（x）＝ax2＋bx在x＝

处有极值，则b的值为________．

12．设函数f（x）＝

x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则实数m的取值围是________．

13．已知f（x）＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f（x）的极大值，则m的取值围是________．

二、解答题

1．已知函数f（x）＝ax3＋x2＋bx（其中常数a，b∈R），g（x）＝f（x）＋f′（x）是奇函数．

（1）求f（x）的表达式；

（2）求g（x）在区间[1,2]上的最大值与最小值．

2．设函数f（x）＝ex－

x2－x.

（1）若k＝0，求f（x）的最小值；

（2）若k＝1，讨论函数f（x）的单调性．

3．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f（x）在点P（1，f

（1））处的切线方程为y＝3x＋1.

（1）求a，b的值；

（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值．

4、已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f（x）在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；

若不存在，请说明理由．

5．已知f（x）＝2ln（x＋a）－x2－x在x＝0处取得极值．

（1）数a的值．

（2）若关于x的方程f（x）＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，数b的取值围．

6．已知函数f（x）＝lnx＋

.

（1）当a<

0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是

，求a的值．

7．已知函数f（x）＝－

x2＋2x－aex.

（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程；

（2）若f（x）在R上是增函数，数a的取值围．

1、解析：

选B　根据导数的性质可知，若函数y＝f（x）在这点处取得极值，则f′（x）＝0，即必要性成立；

反之不一定成立，如函数f（x）＝x3在R上是增函数，f′（x）＝3x2，则f′（0）＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f（x）在某点处的导数值为0是函数y＝f（x）在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.

2、解析：

选B　因为函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′（x）＝6x2＋2ax＋36，所以f′

（2）＝0解得a＝－15.令f′（x）＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是（3，＋∞）．

/3、解析：

选C　由题意可得f′（－2）＝0，而且当x∈（－∞，－2）时，f′（x）＜0，此时xf′（x）＞0；

排除B、D，当x∈（－2，＋∞）时，f′（x）＞0，此时若x∈（－2,0），xf′（x）＜0，若x∈（0，＋∞），xf′（x）＞0，所以函数y＝xf′（x）的图象可能是C.

4、解析：

选A　∵f′（x）＝3ax2＋b，由题意知f′

（1）＝0，f

（1）＝－2，∴

∴a＝1，b＝－3.

/5、解析：

选C　f′（x）＝3x2＋2ax＋a＋6，

∵f（x）有极大值与极小值，∴f′（x）＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12（a＋6）>

0，∴a<

－3或a>

6./

6、解析：

选A　y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2（舍去）．

x＝－2时，y＝1；

x＝－1时，y＝12；

x＝1时，y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.

/7、解析：

选A　令y′＝

＝

＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；

当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f（e）＝e－1，在定义域只有一个极值，所以ymax＝e－1.

8、解析：

选B　f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）．由f′（x）＝0，得x＝3或x＝－1.又f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.由f（x）max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f（x）min＝k－76＝－71.

/9、解析：

选B　∵f（x）＝x3＋ax－2在[1，＋∞）上是增函数，∴f′（x）＝3x2＋a≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞）上恒成立，又∵在[1，＋∞）上（－3x2）max＝－3，∴a≥－3./

10、解析：

选D　若a<

－1，∵f′（x）＝a（x＋1）（x－a），

∴f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，∴f（x）在x＝a处取得极小值，与题意不符；

若－1<

a<

0，则f（x）在（－1，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减，从而在x＝a处取得极大值．

若a>

0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，与题意矛盾，∴选D.

11/解析：

f′（x）＝2ax＋b，∵函数f（x）在x＝

处有极值，

∴f′

＝2a·

＋b＝0，即b＝－2.

答案：

－2

12/解析：

f′（x）＝xex＋

x2ex＝

·

x（x＋2），

由f′（x）＝0得x＝0或x＝－2.

当x∈[－2,2]时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x

（－2,0）

（0,2）

2

f′（x）

－

＋

f（x）

递减

递增

∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.

（－∞，0）

13/答案：

（－4，－2）

1.解：

（1）∵f′（x）＝3ax2＋2x＋b，∴g（x）＝f（x）＋f′（x）＝ax3＋（3a＋1）x2＋（b＋2）x＋b.

∵g（x）是奇函数，∴g（－x）＝－g（x），

从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－

，b＝0，因此f（x）的表达式为f（x）＝－

x3＋x2.

（2）由

（1）知g（x）＝－

x3＋2x，∴g′（x）＝－x2＋2，令g′（x）＝0.

解得x1＝－

（舍去），x2＝

，而g

（1）＝

，g（

）＝

，g

（2）＝

，

因此g（x）在区间[1,2]上的最大值为g（

，最小值为g

（2）＝

2解：

（1）k＝0时，f（x）＝ex－x，f′（x）＝ex－1.

当x∈（－∞，0）时，f′（x）<

0；

当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>

0，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）的最小值为f（0）＝1.

（2）若k＝1，则f（x）＝ex－

x2－x，定义域为R.

∴f′（x）＝ex－x－1，令g（x）＝ex－x－1，则g′（x）＝ex－1，

由g′（x）≥0得x≥0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增，

由g′（x）<

0得x<

0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减，

∴g（x）min＝g（0）＝0，即f′（x）min＝0，故f′（x）≥0.

所以f（x）在R上单调递增．

3、解：

（1）依题意可知点P（1，f

（1））为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f

（1）＝3×

1＋1＝4，

∴f

（1）＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，

又由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5得，

又f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′

（1）＝3，

∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，

由

解得

∴a＝2，b＝－4.

（2）由

（1）知f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，f′（x）＝3x2＋4x－4＝（3x－2）（x＋2），

令f′（x）＝0，得x＝

或x＝－2.

当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：

－3

（－3，－2）

1

8

极大值

极小值

4

∴f（x）的极大值为f（－2）＝13，极小值为f

又f（－3）＝8，f

（1）＝4，

∴f（x）在[－3,1]上的最大值为13.

4、解：

存在．显然a≠0.

f′（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4）．令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝4（舍去）．

（1）当a>

0，x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

[－1,0）

（0,2]

单调递增

单调递减

所以当x＝0时，f（x）取得最大值，所以f（0）＝b＝3.

又f

（2）＝－16a＋3，f（－1）＝－7a＋3，f（－1）>

f

（2）．所以当x＝2时，f（x）取得最小值，

即－16a＋3＝－29，解得a＝2.

（2）当a<

0，x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

单调递减

单调递增

所以当x＝0时，f（x）取得最小值，所以b＝－29.

又f

（2）＝－16a－29，f（－1）＝－7a－29，f

（2）>

f（－1）．

所以当x＝2时，f（x）取得最大值，∴f

（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2，

综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

5、解：

（1）f′（x）＝

－2x－1，当x＝0时，f（x）取得极值，

所以f′（0）＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．

（2）令g（x）＝f（x）＋b＝2ln（x＋2）－x2－x＋b，

则g′（x）＝

－2x－1＝－

（x＞－2）．

g（x），g′（x）在（－2，＋∞）上的变化状态如下表：

（0，＋∞）

g′（x）

g（x）

2ln2＋b

由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln2＋b.

要使f（x）＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，

只需

即

所以－2ln2＜b≤2－2ln3.

故实数b的取值围是（－2ln2,2－2ln3]．

6解：

函数f（x）＝lnx＋

的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝

（1）∵a<

0，∴f′（x）>

0，故函数在其定义域（0，＋∞）上单调递增．

（2）x∈[1，e]时，分如下情况讨论：

①当a<

1时，f′（x）>

0，函数f（x）单调递增，其最小值为f

（1）＝a<

1，这与函数在[1，e]上的最小值是

相矛盾；

②当a＝1时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为f

（1）＝1，同样与最小值是

③当1<

e时，函数f（x）在[1，a）上有f′（x）<

0，f（x）单调递减，在（a，e]上有f′（x）>

0，f（x）单调递增，所以，函数f（x）的最小值为f（a）＝lna＋1，由lna＋1＝

，得a＝

④当a＝e时，函数f（x）在[1，e]上有f′（x）<

0，f（x）单调递减，其最小值为f（e）＝2，这与最小值是

⑤当a>

e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为f（e）＝1＋

>

2，仍与最小值是

综上所述，a的值为

7/

解：

（1）当a＝1时，f（x）＝－

x2＋2x－ex，则f

（1）＝－

×

12＋2×

1－e＝

－e，

f′（x）＝－x＋2－ex，f′

（1）＝－1＋2－e＝1－e，

故曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y－

＝（1－e）（x－1），即y＝（1－e）x＋

（2）∵f（x）在R上是增函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，

∵f（x）＝－

x2＋2x－aex，∴f′（x）＝－x＋2－aex，

于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，

即a≤

在R上恒成立，令g（x）＝

，则g′（x）＝

令g′（x）＝0，解得x＝3，列表如下：

（－∞，3）

3

（3，＋∞）

减

极小值－

增

故函数g（x）在x＝3处取得极小值，亦即最小值，

即g（x）min＝－

，所以a≤－

即实数a的取值围是