水平控制网的布设.docx

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水平控制网的布设

第二章水平控制网的布设

§1水平控制网的布设程序

建立水平控制网的程序

一、设计

1.了解任务

弄清用途（涉及精度，密度）、范围（涉及首级等级、分级多少）、然后确定布设规格、等级、精度。

2.收集资料

①测区内已有的控制网成果资料。

②测区小比例尺地形图。

了解地形地貌、图上设计之用。

③有关气象和地质方面的资料，用以考虑作业时间，觇标结构，埋石深度等。

3.测区踏勘

①落实原有控制点的现状，决定是否仍可利用。

②了解测区行政划分、居民、风土人文，以便测绘队进驻后能顺利开展工作。

③了解测区内交通、水源等情况，以便确定水准路线，配置交通工具、施工设备物资等。

4.图上设计

①展绘已知点、网。

②图上选点、组成网形。

一般应顾及：

图形结构良好；便于扩展和加密；顾及旁折光的影响；便于保存；避免造高标；避免在旧点附近另埋标石；离开高压线、公路、铁路一定距离。

③精度估算（另讲）

④拟定水准联测路线，以便控制通过三角高程测量推算三角点高程中的误差积累。

5.实地选点（另讲）

6.编制技术设计书

技术设计书包括：

①任务委托书。

包括委托单位、作业目的、范围、工期等。

②测区概况。

包括自然地理条件、行政区划、人文等。

③已有测量成果及其来源、精度分析、可用性论证。

④坐标系统的选择及处理的论证，起始数据的配置和处理。

⑤水平控制网布设方案。

包括首级网的等级和布网方式；加密网的设计；精度估算过程及结果；精度统计表。

⑥高程网布设方案。

包括水准网等级，路线长度，精度估算简要过程及结果；三角高程网形，精度估算过程及结果等。

⑦技术依据及作业方法。

包括执行何种规范，仪器的选择及检验项目；观测方法及各项限差；概算内容和平差方法等。

⑧各种设计图表。

包括水平、高程控制网略图；标石、觇标构造，规格，埋设方法示意图；工作量综合计算及工作进程计划表；装备，仪器，材料及经费预算表。

⑨作业完成后应上交的资料清单。

⑩领导部门的指示及审核意见。

二、施工

1.造标，埋石

在实地用觇标和标石标出控制点。

2.观测

测角，量边，测高差。

三、数据处理

1.概算

将以大地水准面为基准的观测成果归算到参考椭球上，再投影到高斯平面上。

2.平差及精度评定

平差：

消除几何矛盾，提高精度，得到控制点坐标的最或然值。

精度评定：

确定控制网及网中各推算元素的精度指标。

练习及作业：

阅读：

p49，第二章，§2.7

§2水平控制网的精度估算

一、精度估算的意义和方法

1.精度估算的意义

精度估算即是在控制网的设计阶段，预计控制网推算元素可能达到的精度，以便确定合理的布网方案及作业方法。

使即将建立的控制网，既能达到使用所要求的精度，又避免盲目追求精度造成浪费。

2.精度估算的方法

电算法

根据间接平差原理，有误差方程：

（《平差基础》式5-1-7）

式中：

V——观测值的改正数

B——系数阵

——参数的最或然估计值，坐标平差中的坐标平差值

l—常量

由误差方程组成法方程：

（《平差基础》式5-1-10）

即

解法方程得到平差值：

（《平差基础》式5-1-11）

在控制网的设计阶段，因为尚未进行观测，l是未知的，但设计确定了网形后，可从设计图上量取边长、方位角概值，从而计算出误差方程的系数，即B为已知。

由式5-1-10，N亦为已知。

在间接平差中，协因数阵为法方程系数阵的凯利逆

坐标平差中，参数

为待定点的坐标平差值。

故，协因数阵

主对角线元素为待定点坐标的权倒数（协因数）。

主对角线两侧的元素，即为待定点坐标的相关权倒数（互协因数）。

因此，一旦网形设计出来，与之对应的协因数阵就是已知的，且随单位权中误差的确定（可选定规范规定值或经验值），可根据误差椭圆理论求得：

①各点的：

坐标纵横误差及点位中误差

误差极大值E、极小值F及它们的方向E、F

任意方向上的位差——误差曲线

②待定点之间的相对误差椭圆，进一步求出各边边长相对中误差，各边方位角中误差。

由以上结果可以判断

①设计的网能否达到精度要求。

②最弱部分的元素、位置和精度，以便修改设计方案。

公式法

在控制网设计阶段，应用比较简单、可靠的公式，预计控制网最弱部分推算元素精度的方法。

因推算元素是平差值的函数，故可用求平差值函数权倒数的方法推导出实用估算公式。

设有平差值的函数

则

或：

（《平差基础》式4-3-16）

上式的纯量形式为

※

式中m0——单位权中误差

a，b，…，r——条件式系数

f——平差值函数式的系数

[bf.1]，[bb.1]……——高斯约化符号,其展开规律为

由上式知，公式法精度估算的基本方法为：

①按控制网图形结构列出条件方程（确定ai，bi，…，ri）

②按欲估算目标列出权函数式，非线性化的要线性化（确定fi）

③组成[aa][bb]…[ff]，[af][bf]…，并约化求出[bb.1][bf.1]…。

④代入上式得到平差值函数的权倒数

，进而求出其中误差

上式方法比较繁琐，实用上是根据上述基本方法进一步推导出简单可靠的估算公式。

以下讲述三角网的精度估算方法。

二、用公式法进行边长的精度估算

公式法进行边长的精度估算，一般是估算网的最弱边。

工程控制网也有估算特定边的。

1.单三角锁的估算公式

⑴单三角形的推算边长的中误差

边长D1是观测值∠A，∠B，∠C的函数，函数式如下：

线性化,得权函数式系数

条件式vA＋vB＋vC＋ωa＝0（a1＝a2＝a3＝1）

组成[ff]＝D12（cot2A＋cot2B）

[af]＝D1（cotA－cotB）

[aa]＝3

代入※式，得D1边边长权倒数

D1边的边长中误差

D1边的边长相对中误差

已知边长对数中误差与边长相对中误差的关系

mlgD＝μ．106．mD/D（μ＝lge＝0.43429）

又，角度的正弦对数秒差与其余切的关系

δA＝（μ.106/ρ）cotA

δB＝（μ.106/ρ）cotB

将上述二关系式带入D1边边长相对中误差估算公式，可得

式中R＝δA2＋δB2＋δA.δB——R为图形强度系数，以A、B为引数，由表查得（P25表2-5）

1/PlgD1＝（2/3）R——1/PlgD称为图形权倒数

若单位权中误差为方向观测值中误差r″，因为

，故：

⑵n个三角形组成的三角锁推算边长的中误差

①对于单三角锁，各图形条件独立。

所以第i边的权倒数只要将i个三角形的图形权倒数相加。

即：

②若考虑起始边误差mlgDo对边长精度的影响时：

由上式可知，推算边长的精度：

1）与起始边的精度有关（mlgDo）

2）与测角中误差有关（m）

3）与图形强度有关（R）

4）与传算三角形个数有关（∑R）

③两端有起算边的单三角锁的推算边长的精度

如图单三角锁，最弱边一般在锁的中部，即最弱边为Di。

假设其边长按两条路线推算之加权平均值计算。

即

Di＝（P′Di′＋P″Di″）/（P′＋P″）

按误差传播律

mDi2＝（P′2mDi′2＋P″2mDi″2）/（P′′＋P″）2

将P′＝c/mDi′2，P″＝c/mDi″2代入上式

可得

或

式中

（注：

此估算方法，未考虑基线条件和方位角条件，而只考虑了图形条件，因此只是实用上的近似方法）

2.四边形锁推算边长中误差的估算公式

①矩形大地四边形推算边长中误差（权倒数）

设一矩形大地四边形有两类角度

a=∠1，∠2，∠5，∠6

b=∠3，∠4，∠7，∠8

（a+b=90°）

解算大地四边形条件式

v1+v2-v5-v6+ωa=0

v3+v4-v7-v8+ωb=0

v1+v2+v3+v4+v5+v6+v7+v8+ωc=0

δ1v1+δ2v2+δ3v3+δ4v4+δ5v5+δ6v6+δ7v7+δ8v8+ωd=0

求D边函数式

权函数式F＝lgD＝lgD0＋lgsin∠3－lgsin∠7

线性化dF＝dlgD＝δ3v3－δ7v7

权函数式系数fT＝（00δ3000–δ70）

由

↑↑↑↑↑

2δβ20δβ200

（注：

（[ab]=0）

∵

∴

∵

∴

）

可得

※

（※此矩形大地四边形若按两个三角形推算

R1＝δ902＋δβ2＋δ90δβ＝δβ2（δ90＝（μ.106/ρ）cot90°＝0）

R2＝δβ2＋δ902＋δβδ90＝δβ2

∑R＝R1＋R2＝2δβ2

故

）

②矩形四边形锁推算边长中误差（权倒数）

注意：

1）比较三角锁（1/PlgD＝（2/3）∑R），四边形强度略有提高，但四边形若为菱形，边长长度差异很大，照准误差增大，故长对角线应慎用。

2）在四边形锁中，推算边长的路线应选最佳路线，即∑R最小的路线。

3.中点多边形边长精度

实用上可假设以两条单锁推算最弱边D之边长得D′，D″，然后取其加权平均值做为最后边长。

即

已知

又

故

（设

）

（上式未考虑极条件，圆周条件）

从安全考虑，实用上采用

1/PlgD＝（1/2）∑R

（估算时注意选用最佳推算路线）

4.混合锁推算边长的精度

整个锁段的图形权倒数，为锁段中各图形权倒数之和。

即：

1/PlgD＝∑（1/P）

如图

5.估算需要注意的问题

⑴精度估算时应注意：

①求强度系数R使用的求距角要正确；

②通过比较确定最弱边的位置，即∑R最大的边；

③应按最佳路线推算。

对同一边，∑R最小的路线为最佳路线。

⑵经过估算，精度达不到要求时：

①改变点位，加强图形；

②增加起算数据；

③移动起算数据的位置；

④增加对角线。

6.三角形的最有利形状

推导单三角形精度估算公式时，有

三角形的最有利形状，从精度考虑，即应使Q最小。

由图B＝180°－（A＋C）

为使由D0推算D1和D1′时精度一致，令A＝C

则：

B＝180°－2A，代入Q得

Q＝（3/4）cot2A＋（1/4）tan2A

求极值，令

解得：

tan2A＝3

故：

A＝C＝52°46′，B＝180°－2A＝74°28′

由上可知，角A、B、C满足如上条件的三角形，对推算边长的精度最为有利。

但按如上角度布网，点的密度显然不均匀（P26，图2-9）。

若按正三角形布网，点的密度最均匀，且R值与上述图形的R值很接近。

综合布网的精度和密度两方面的要求，可认为正三角形是布网的理想图形。

（图形强度限制见P17，表2-2）

三、方位角的精度估算

1.单三角锁坐标方位角中误差

如图所示之三角锁，其条件式

va1+vb1+vc1+ω1=0

va2+vb2+vc2+ω2=0

……

van+vbn+vcn+ωn=0

Dn边坐标方位角Tn的函数式

Tn=T0-c1+180°+c2+180°-…±cn

权函数式

即fc1＝-1，fc2＝1，…，fcn＝±1

fa1＝fb1＝fa2＝fb2＝…＝fan＝fbn＝0

组成[aa]＝[bb]＝……＝3

[ff]＝n[af]＝-1[bf]＝1…[nf]＝±1

代入式

得

故，坐标方位角中误差

2.单三角锁考虑起始边时坐标方位角中误差

①一端有起始边时

式中mT0——起始边方位角中误差

m——测角中误差

n——推算方位角所经过的三角形个数

②两端有起始边时

式中mTi——估算边的坐标方位角中误差

mT′（mT″）——由起始边推算至i边的方位角中误差

练习及作业：

阅读：

P21，§2.3

§3导线网的精度估算

导线测量的优点：

通视条件要求低；边长直接观测，精度高且均匀；可不顾及图形，易于选点；不造高标；便于组织观测等。

缺点：

横向误差较大；控制面积较小等。

在建三角网困难地区，建立导线网更灵活方便一些。

一、导线边方位角中误差的估算

1.支导线最弱边方位角中误差

支导线最末一边的方位角为：

n=A+β1+β2+…+βn-n×180°

最末一边（最弱边）的方位角中误差为：

（1）

2.导线节中间边方位角中误差的估算

导线节：

据《规范》：

“两端均有拉普拉斯方位角控制的一节导线称为一个导线节。

导线节是组成整个导线网的基本单元。

”

对于终端也测定已知方位角的导线节（仅有方位附和），设最弱边处于导线节的中间处，其中误差估算式推导如下：

假设由导线两端已知方位角出发，按支导线分别推算中间边（n/2边）的方位角，得n/2′和n/2″，取其加权平均值为n/2。

则该平均值n/2的中误差为：

设：

，则最弱边（中间n/2处边）方位角中误差

（2）

3.附合导线（有坐标、方位附和）平差后各边的方位角中误差

对等边直伸形的附和导线，按精度估算中公式法的基本方法，列出附和导线的三个条件式及权函数式，组成[aa]，[ab]，[bb]及[af]，[bf]，[ff]，代入求权倒数公式※式（讲稿P4）。

可得的第i边方位角i的中误差：

（3）

由上式可知，mi除了是测角中误差mβ的函数，还是导线边数n、方位角所在边的序号i的函数。

若确定mβ为一常数，取不同边数n的导线，计算各边的方位角中误差，统计结果显示：

①导线边数少，方位角精度高；边数多则精度降低。

当n=12～16时，各边的方位角中误差平均值近似等于测角中误差mβ。

②平差后各边方位角的精度相差较小（设mβ=1″、n=16时，导线中各边方位角精度相差最大，仅0.3″）。

③方位角精度最强边，当n<10时在导线中间，当n>10时，在导线两端。

④方位角精度最弱边在距两端点L/5～L/4（L——-导线全长）的边上。

上式推导是在附合导线为等边直伸形的假设下进行的，推导过程详见孔详元，梅是义主编的《控制测量学》P32。

若将i=n/2代入（3）式，可得中间边方位角中误差：

（4）

式中

当n=46810121416时

K=0.300.290.280.270.270.270.26

结论：

①比较

（1）、

（2）式，可知在导线端点加测已知方位角，导线最弱边方位角中误差减小约一半，有效地控制了方位角推算误差的传播，减小了导线点的横向误差。

②比较

（2）、（4）式，可知坐标方位附合导线的方位角精度又高于仅有方位附合的导线节。

二、导线点纵横向位差的估算（本节公式编号参见武测、同济合编《控测》）

1.支导线终点纵横向位差的估算

支导线：

仅一端有起始数据的单一自由导线。

为便于推导纵横向位差公式，取起点P1为坐标原点；P1至终点Pn+1连线方向为y轴，其垂线方向为x轴，故终点坐标公式为

（6-1-1）

式中：

——推算方位角

微分上式

（6-1-2）

上式最后一项展开

将展开结果按dA1和di集项代回dxn+1式，得

（6-1-3）

设：

起算方位角中误差为mA

测角中误差为mβ

测边偶然误差为msi（mΦ、m对中、mn之一部分）

测边的系统误差为μsi（mf、mk、m周、mn之一部分）

按误差传播律，纵坐标xn+1的中误差，即终点的横向位差

（6-1-4）

同理，终点的纵向位差

（6-1-5）

若导线取直伸形状，则

i=90°（cosi=0，sini=1）；xi=0；yn+1-yi=Dn+1.i；yn+1-y1=L；

（6-1-6）

（6-1-7）

若导线取等边直伸形

（6-1-8）

（6-1-9）

由上式知：

①等边直伸导线端点位差随边数n的增大而增大；

②等边直伸导线的横向误差由测角误差引起，纵向误差由测距误差引起；

③导线边长均为直接测定，故mL较小；方位角由转角β推算得出，误差累积较大，故mQ远大于mL。

④n越大，测距系统误差对mL的影响越大。

故应采取措施减弱系统误差的影响。

2.导线节端点纵横向位差的估算

此项讨论也可将“导线节”概念置换为“方位附合导线”

由以上讨论知，n边导线端点纵坐标的微分式为

（6-1-18）

因，此处讨论为方位附合导线，di′是平差值，不是直接观测值（与6-1-3式相比），不能直接运用误差传播律，应将式中di′换以观测值di

i′＝i＋vβi＝i－ω/n＝i－（1＋2＋…＋n＋A1－An－n.180°）/n

di′＝di－（d1＋d2＋…＋dn＋dA1－dAn）/n（6-1-21）

上式展开，按dsi、di、dA1、dAn集项，则得

（6-1-23）

式中各系数为

（6-1-24）

为简化上式，将坐标原点从P1处平移至导线重心点处，重心点坐标

（6-1-25）

各导线点的重心坐标ξi，ηi为

ξi＝xi－x0；ηi＝yi－y0（6-1-26）

将重心坐标ξi，ηi代入f，得

fβi＝-{（yn+1－yi）－∑yn+1/n＋∑yi/n}/ρ

＝-{yn+1－yi－yn+1＋y0}/ρ

＝{yi－y0}/ρ

＝ηi/ρ

fA1＝η1/ρ

fAn＝-ηn＋1/ρ

∴有

（6-1-27）

应用误差传播律，终点xn+1处横向位差mQ为：

（6-1-28）

同理，纵向位差mL为：

（6-1-29）

若导线取等边直伸形（i=90°，Si=S，nS=L），纵横向位差为：

（6-1-30）

（6-1-31）

将此二式与支导线端点纵横向位差相比，纵向位差公式一样，而横向位差减小一半。

可知，支导线终端加测已知方位角，对提高纵向精度不起作用，但可有效控制方位角误差，改善导线端点的横向位差。

3.附合导线中间点（最弱点）的纵横向位差估算

①不考虑起始数据的影响

近似地把导线从中间分成两段，由两个端点分别估算中间点的纵横位差。

考虑到角度已经过方位角条件平差，估算式采用导线节（方位附合导线）估算式，有：

进行了纵横坐标条件平差后，中间点坐标近似地看成

由两端分别推算结果的加权平均值，故

（设mQ1′＝mQ2″）（6-1-38）

同理

（6-1-39）

（边长系统误差在附合导线平差时，已经经过调整，对直伸型导线无影响）

（用严密方法推导，mL′不变，

）

②考虑起始数据误差的影响

起算方位角的误差mA的影响：

从一端对中间点横向位差的影响为

，两端加权平均后的影响为

。

起算边长LAB的误差mAB的影响：

对中间点纵向误差产生的影响为mAB/2。

即

（与6-1-40不同）

故，附合导线中间最弱点纵横位差公式为：

（6-1-41）

4.单导线最弱点纵横向中误差的比例关系探讨

①支导线、导线节、附合导线最弱点纵横向中误差的比例关系

若不计起始数据中误差的影响，导线最弱点的纵横向中误差为：

支导线

导线节

附合导线

三种导线的横向误差之比：

mQ支：

mQ节：

mQ附=1：

1/2：

1/8

纵向误差之比：

mL支：

mL节：

mL附=1：

1：

1/2

②附合导线平差前端点点位中误差与平差后中点点位中误差的关系

附合导线平差前（只进行了方位角配赋）端点点位中误差，可以看成是导线节端点点位中误差，故有：

本次测量引起端点点位误差

起算数据引起端点点位误差

（起算方位角误差mA1、mAn对中间点的影响）

（起始边边长误差mAB对端点的影响）

附合导线平差后中点点位误差为：

本次测量引起中点点位误差

起算数据引起中点点位误差

（起算方位角误差mA1、mAn对中间点的影响）

（起始边边长误差mAB对中间点的影响）

比较上式，可知

mQ（端）＝4mQ（中）

mL（端）＝2mL（中）

mQ（端）″＝2mQ（中）″

mL（端）″＝2mL（中）″

根据以上比值，即可通过控制平差前端点点位中误差（即导线闭合差的中误差）来控制导线中点（最弱点）的点位中误差，使其满足要求。

各种测量规范中有关导线测量的主要技术要求，都是以这一比值关系作为重要依据。

三、导线测量的精度与作业限差的制定

导线测量的精度与作业限差的确定，首先应根据导线的使用目的，确定其中点（最弱点）点位中误差，然后确定相对闭合差的限值及测角、测边精度。

设导线最弱点点位中误差m＝±5cm。

1.导线相对闭合差的容许值

设导线测量误差与起始数据误差引起的导线中点（最弱点）纵横误差等影响，即：

则

即对导线中点mQ（中）＝mL（中）＝mQ（中）″＝mL（中）″＝±25mm

根据上面讨论附和导线中点误差与平差前端点误差比值关系

mQ（端）＝25×4＝±100mm

mL（端）＝25×2＝±50mm

mQ（端）″＝25×2＝±50mm

mL（端）″＝25×2＝±50mm

故端点点位误差为

m（端）=±132.3mm，反映了在导线中点（最弱点）中误差50mm的强制条件下导线端点中误差（导线全长闭合差），用它除以导线的长度，即可算出导线的相对闭合差。

规范取2倍相对闭合差为限值，见下表：

导线等级

总长

（km）

估算相对闭合差

2倍相对闭合差

采用容许相对闭合差

三等

14

1/105800

1/52900

1/55000

四等

9

1/68000

1/34000

1/35000

一级

4

1/30200

1/15100

1/15000

二级

2.4

1/18100

1/9100

1/10000

三级

1.2

1/9100

1/4500

1/5000

2.测边和测角的精度

仍设导线测量引起的纵横误差与起始数据误差引起的纵横误差等影响，因此，令本次测量引起的中点纵横向位差

（m=±5cm）

由上式解得

测角误差

测边误差

由上式，根据各级导线的总长L及边数n，计算出测边测角的精度，并由此作出规定见下表：

等

级

导线

长度

（km）

平均

边长

（m）

边

数

测角中误差

mβ″

测边中误差

mS（mm）

测边相对中误差

计算值

采用值

计算值

采用值

计算值

采用值

三等

14

3000

5

2.28

1.8

22

20

1/136000

1/15000

四等

9

1500

6

3.24

2.5

20

18

1/75000

1/80000

一级

4

500

8

6.32

5

18

15

1/27700

1/30000

二级

2.4

250

10

9.41

8

16

15

1/15600

1/14000

三级

1.2

100

12

17.19

12

14

15

1/7100

1/7000

四、导线网的精度估算

1.用等权替代法估算导线网的点位精度

等权替