高考数学 一轮复习第一章集合与常用逻辑用语质量检测 docWord下载.docx
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A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
a>
0,b>
0时显然有a+b>
0,充分性成立;
反之,若a+b>
0,则a,b同号且同正,即a>
0.必要性成立.
5.(文)设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x|1<x<3},
则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{x|-2≤x<1} B.{x|1<x≤2}
C.{x|-2≤x≤2} D.{x|x<2}
阴影部分表示的集合为N∩∁UM={x|1<x≤2}.
(理)设全集U=R,集合A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},
则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x≥1} B.{x|x≤1}
C.{x|0<x≤1} D.{x|1≤x<2}
由2x(x-2)<1得x(x-2)<0,故集合A={x|0<x<2},由1-x>0得x<1,故B={x|x<1},所以A∩B={x|0<x<1},所以∁A(A∩B)={x|1≤x<2},即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x<2}.
D
6.下列说法错误的是( )
A.命题:
“已知f(x)是R上的增函数,若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”的逆否命题为真命题
B.“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件
C.若p且q为假命题,则p、q均为假命题
D.命题p:
“∃x∈R,使得x2+x+1<0”,则p:
“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”
A中∵a+b≥0,∴a≥-b.
又函数f(x)是R上的增函数,∴f(a)≥f(-b),①
同理可得,f(b)≥f(-a),②
由①+②,得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),即原命题为真命题.
又原命题与其逆否命题是等价命题,
∴逆否命题为真.
若p且q为假命题,则p、q中至少有一个是假命题,所以C错误.
7.同时满足①M⊆{1,2,3,4,5};
②若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有( )
A.16个B.15个C.7个D.6个
∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合M可能为单元素集:
{3};
二元素集:
{1,5},{2,4};
三元素集:
{1,3,5},{2,3,4};
四元素集:
{1,2,4,5};
五元素集:
{1,2,3,4,5}.共7个.
8.(2010·
温州模拟)下列命题中,真命题是( )
A.∃x∈R,使得sinx+cosx=2
B.∀x∈(0,π),有sinx>cosx
C.∃x∈R,使得x2+x=-2
D.∀x∈(0,+∞),有ex>1+x
∵sinx+cosx=sin(x+)≤,故A错;
当0<x<时,cosx>sinx,故B错;
∵方程x2+x+2=0无解,故C错误;
令f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1
又∵x∈(0,+∞),∴f′(x)=ex-x-1在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)>f(0)=0,
即ex>1+x,故D正确.
9.(文)设A,B是非空集合,定义A×
B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤2},B={x|x≥0},则A×
B等于( )
A.(2,+∞)B.[0,1]∪[2,+∞)
C.[0,1)∪(2,+∞)D.[0,1]∪(2,+∞)
由题意知,A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以A×
B=(2,+∞).
A
(理)定义一种集合运算A⊗B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},设M={x||x|<2},N={x|x2-4x+3<0},则M⊗N表示的集合是( )
A.(-∞,-2]∪[1,2)∪(3,+∞)
B.(-2,1]∪[2,3)
C.(-2,1)∪(2,3)
D.(-∞,-2]∪(3,+∞)
M={x|-2<x<2},N={x|1<x<3},所以M∩N={x|1<x<2},M∪N={x|-2<x<3},故M⊗N=(-2,1]∪[2,3).
10.“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当a=1时,函数f(x)=|x-1|在区间[1,+∞)上为增函数,而当函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数时,只要a≤1即可.
11.下列说法正确的是( )
A.函数y=2sin(2x-)的图象的一条对称轴是直线x=
B.若命题p:
“存在x∈R,x2-x-1>0”,则命题p的否定为:
“对任意x∈R,x2-x-1≤0”
C.若x≠0,则x+≥2
D.“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
对于A,令2x-=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z,即函数y=2sin(2x-)的对称轴集合为{x|x=+,k∈Z},x=不适合,故A错;
对于B,特称命题的否定为全称
命题,故B正确;
对于C,当x<0时,有x+≤-2;
对于D,a=-1时,直线x-ay=0与直
线x+ay=0也互相垂直,故a=1是两直线互相垂直的充分而非必要条件.
12.(文)已知P={x|x2-4x+3≤0},Q={x|y=+},则“x∈P”是“x∈Q”的( )
解集合P中的不等式x2-4x+3≤0可得1≤x≤3,集合Q中的x满足,
解之得-1≤x≤3,所以满足集合P的x均满足集合Q,反之,则不成立.
(理)设集合A={x|<0},B={x|x2-4x<0},那么“m∈A”是“m∈B”的( )
∵A={x|0<x<1},B={x|0<x<4},
∴AB,∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上.)
13.令p(x):
ax2+2x+1>0,若对∀x∈R,p(x)是真命题,则实数a的取值范围是 .
对∀x∈R,p(x)是真命题,就是不等式ax2+2x+1>0对一切x∈R恒成立.
(1)若a=0,不等式化为2x+1>0,不能恒成立;
(2)若
解得a>1;
(3)若a<0,不等式显然不能恒成立.
综上所述,实数a的取值范围是a>1.
a>1
14.已知m、n是不同的直线,α、β是不重合的平面.
命题p:
若α∥β,mα,nβ,则m∥n;
命题q:
若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;
下面的命题中,①p或q;
②p且q;
③p或
q;
④p且q.
真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).
∵命题p是假命题,命题q是真命题.
∴p是真命题,q是假命题,
∴p或q是真命题,p且q是假命题,
p或q是假命题,p且q是真命题.
①④
15.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|1-a≤x≤2a-1},若B⊇A,那么a的取值范围是 .
由数轴知,
即
故a≥2.
a≥2
16.(文)下列结论:
①若命题p:
∃x∈R,tanx=1;
∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧q”是假命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为 (把你认为正确结论的序号都填上).
①中命题p为真命题,命题q为真命题,所以p∧q为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确,所以正确结论的序号为①③.
①③
(理)给出下列四个命题:
①∃α>β,使得tanα<tanβ;
②若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ∈(,),则f(sinθ)>f(cosθ);
③在△ABC中,“A>”是“sinA>”的充要条件;
④若函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=x+2,则f
(1)+f′
(1)=3.其中所有正确命题的序号是 .
①存在α=>β=,使tan=tan<tan,①正确;
②f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,则在[0,1]上是减函数,θ∈(,),1>sinθ>cosθ>0,
∴f(sinθ)<f(cosθ),②错误;
③在△ABC中,A>,则0<sinA≤1.
sinA>,则>A>,所以“A>”是“sinA>”的既必要不充分条件,③错误;
④函数y=f(x)在点M(1,f
(1))处的切线斜率为f′
(1)=,M(1,f
(1))是曲线上的点也是切线上的点,x=1时,f
(1)=,∴f
(1)+f′
(1)=3,④正确.
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且A∩B={9},求实数a的值.
解:
因为A∩B={9},所以9∈A.
若2a-1=9,则a=5,
此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},A∩B={-4,9},与已知矛盾(舍去).
若a2=9,则a=±
3.
当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},与集合中元素的互异性矛盾(舍去);
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.
综上所述,a=-3.
18.(本小题满分12分)判断下列命题的真假.
(1)∀x∈R,都有x2-x+1>.
(2)∃α,β使cos(α-β)=cosα-cosβ.
(3)∀x,y∈N,都有x-y∈N.
(4)∃x0,y0∈Z,使得x0+y0=3.
(1)真命题,∵x2-x+1=(x-)2+≥>.
(2)真命题,如α=,β=,符合题意.
(3)假命题,例如x=1,y=5,但x-y=-4∉N.
(4)真命题,例如x0=0,y0=3符合题意.
19.(本小题满分12分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,
故集合A={1,2}.
(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,
得a2+4a+3=0⇒a=-1或a=-3;
当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;
当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;
综上,a的值为-1或-3;
(2)对于集合B,
Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).
∵A∪B=A,∴B⊆A,
①当Δ<
0,即a<
-3时,B=∅满足条件;
②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;
③当Δ>
0,即a>
-3时,B=A={1,2}才能满足条件,
则由根与系数的关系得
矛盾;
综上,a的取值范围是a≤-3.
20.(本小题满分12分)(2010·
盐城模拟)命题p:
实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0,命题q:
实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.
设A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}={x|3a<x<a},
B={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8<0}
={x|x2-x-6<0}∪{x|x2+2x-8>0}
={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}={x|x<-4或x≥-2}.
因为p是q的必要不充分条件,
所以q⇒p,且p推不出q而
∁RB={x|-4≤x<-2},∁RA={x|x≤3a,或x≥a}
所以{x|-4≤x<-2}
{x|x≤3a或x≥a},
或
即-≤a<0或a≤-4.
21.(本小题满分12分)设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},
B={x|x2+a<
0}.
(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;
(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.
(1)∵A={x|≤x≤3},
当a=-4时,B={x|-2<
x<
2},
∴A∩B={x|≤x<
2},A∪B={x|-2<
x≤3}.
(2)∁RA={x|x<
或x>
3},
当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,
①当B=∅,即a≥0时,满足B⊆∁RA;
②当B≠∅,即a<
0时,B={x|-<
},要使B⊆∁RA,需≤,解得-≤a<
0.
综上可得,实数a的取值范围是a≥-.
22.(文)(本小题满分14分)已知m∈R,对p:
x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立;
q:
函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点.求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.
由题设知x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
a∈[1,2]时,的最小值为3,要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只需|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
,综上,要使“p且q”为真命题,只需p真q真,
即解得实数m的取值范围是(4,8].
(理)(本小题满分14分)设命题p:
函数f(x)=lg(ax2-x+a)的定义域为R;
不等式<1+ax对一切正实数均成立,如果命题p或q为真命题,命题p且q为假命题,求实数a的取值范围.
命题p为真命题⇔函数f(x)=lg(ax2-x+a)的定义域为R,
即ax2-x+a>0对任意实数x均成立,
得a=0时,-x>0的解集为R,不可能;
a<0时,ax2-x+解集显然不为R,
所以命题p为真命题⇔a>2.
命题q为真命题⇔-1<ax对一切正实数均成立,即a>=对一切正实数x均成立.
由于x>0,所以>1.
所以+1>2,所以<1.
所以,命题q为真命题⇔a≥1.
∵p或q为真命题,p且q为假命题,
∴p、q一真一假.
若p为真命题,q为假命题,无解;
若p为假命题,q为真命题,则1≤a≤2.
∴a的取值范围是[1,2].
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