九年级二次函数题型总结.docx
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九年级二次函数题型总结
一、二次函数的定义
1.下列函数中属于一次函数的是(),属于反比例函数的是(),属于二次函数的是()
A.y=x(x+1)B.xy=1C.y=2x2-2(x+1)2D.
2.当m时,函数y=(m-2)x2+4x-5(m是常数)是二次函数.
3.若是二次函数,则m=.
4.若函数y=3x2的图象与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=,b=.
5.已知二次函数y=―4x2-2mx+m2与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2,则m的值是.
配方
二、二次函数的图象与性质
1.对于抛物线y=ax2,下列说法中正确的是()
A.a越大,抛物线开口越大B.a越小,抛物线开口越大
C.|a|越大,抛物线开口越大D.|a|越小,抛物线开口越大
2.下列说法中错误的是()
A.在函数y=-x2中,当x=0时,y有最大值0
B.在函数y=2x2中,当x>0时,y随x的增大而增大
C.抛物线y=2x2,y=-x2,中,抛物线y=2x2的开口最小,抛物线
y=-x2的开口最大
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
3.二次函数y=2(x-3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为()
A.开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(3,5)
B.开口向上,对称轴x=3,顶点坐标为(3,5)
C.开口向上,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,5)
D.开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,-5)
4.已知抛物线的解析式为y=(x-2)2+1,则抛物线的顶点坐标是()
A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,2)
5.已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为( )
A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,1)
6.抛物线y=x2+2x-1的对称轴是,当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小.
7.抛物线的顶点坐标为,则b=,c=.
8.函数y=x2―2x-l的最小值是;函数y=-x2+4x的最大值是.
9.已知抛物线的顶点在坐标轴上,则a=.
二次函数的对称性
二次函数:
(1)此函数的对称轴为直线;
(2)若函数与x轴相交于点,则对称轴可表示为;
(3)若函数与x轴相交于点(特点是纵坐标相同),则对称轴可表示为.
10.抛物线的一部分图象如图所示,该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点坐标是.
11.如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,B点坐标为,则点A的坐标是.
12.抛物线与x轴交于两点,则线段AB的长.
13.已知二次函数,若点在此函数的图象上,且,则的大小关系是.
14.已知二次函数的对称轴是直线,若点在此函数的图象上,则的大小关系是
15.已知二次函数中,其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表:
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
4
0
1
0
4
……
点在函数的图象上,则当,时,与的大小关系正确的是( )
三、二次函数的平移、旋转与对称
1.把抛物线向左平移一个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式()
2.抛物线经过平移得到抛物线,平移的方法是
A.向左平移1个单位,再向下平移2个单位
B.向右平移1个单位,再向下平移2个单位
C.向左平移1个单位,再向上平移2个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移2个单位
3.在平面直角坐标系中,如果的图象不动,而把坐标轴分别向上平移2个单位,向右平移3个单位,那么新坐标系中此抛物线的解析式为.
4.将抛物线的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,平移后的解析式为.
5.将抛物线的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位,所得图象的关系式为,则b=,c=.
6.已知抛物线,
(1)将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是.
(2)关于y轴对称的抛物线关系式是;
(3)关于x轴对称的抛物线关系式是;
(4)关于原点对称的抛物线关系式是.
4、确定二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的解析式:
(1)一般式:
.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:
.已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式.
1.顶点为(—1,—3),与y轴交点为(0,—5).
2.与x轴交于A(—1,0)、B(1,0),并经过点M(0,1).
3.图像经过点A(0,1)、B(1,2)、C(2,1).
4.顶点坐标为(1,3)且在x轴上截得的线段长为4.
5.图象经过点(1,0)、(0,-3),且对称轴是直线x=1.
6.已知抛物线如图所示,求它对应的表达式.
5、二次函数的应用
知识铺垫:
最值问题
(1)开口向上
1.当对称轴在所给范围内,必在顶点处取得最小值,在离对称轴较远端点处取得最大值;
2.当对称轴不在所给范围内,在离对称轴较远端点处取得最大值,离对称轴较近端点处取得最小值.
(2)开口向下
30m
1.当对称轴在所给范围内,必在顶点处取得最大值,在离对称轴较远端点处取得最小值;
2.当对称轴不在所给范围内,在离对称轴较远端点处取得最小值,离对称轴较近端点处取得最大值.
1.当时,求函数的最大值和最小值.
2.当时,求函数的最大值和最小值.
3.当时,求函数的最大值和最小值.
几何问题
4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
(3)若将矩形改为图2所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少?
5.用长为80m的栅栏,再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙长50m,设矩形ABCD的边AB=xm,面积为Sm2.
(1)写出S与x之间的关系式,并指出x的取值范围;
(2)当AB,BC分别为多少米时,羊圈的面积最大?
最大面积是多少?
6.有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面宽AB=20m,当水位上升3m时,水面宽CD=10m.
(1)按如图所示的直角坐标系,求此抛物线的函数表达式;
(2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直行来,当船距离此桥35km时,桥下水位正好在AB处,之后水位每小时上涨0.25m,当水位达到CD处时,将禁止船只通行.如果该船的速度不变,那么它能否安全通过此桥?
最大利润问题
7.某旅馆有客房120间,每间客房的日租金为160元,每天都客满,经市场调查,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间。
不考虑其他因素,旅馆将每天的日租金提高多少元时,客房日租金的总收入最高?
8.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?
最大利润是多少?
9.某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费100元时,包房便可全部租出;若每间包房收费提高20元,则减少10间包房租出.
(1)设每间包房收费提高x(元),则每间包房的收入为y1(元),但会减少y2间包房租出,请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.
(2)为了投资少而利润大,每间包房提高x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元),请写出y与x之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由.
6、二次函数与一元二次方程
二次函数的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程的根的关系:
1.当∆>0时,抛物线与x轴有两个交点,这两个交点的横坐标是方程的两个不相等的实数根;
2.当∆=0时,抛物线与x轴有一个交点,这个交点的横坐标是方程的两个相等的实数根,并且这一个交点即为抛物线的顶点;
3.当∆<0时,抛物线与x轴没有交点,这时方程没有实数根.
4.当∆>0时,图象与x轴有两个交点,两点距离.
当a>0时,当或时,;当时,.
当a<0时,当或时,;当时,.
5.当∆=0时,图象与x轴只有一个交点.
当a>0时,x为任何实数时,函数值;
当a<0时,x为任何实数时,函数值;
6.当∆<0时,图象与x轴没有交点.
当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;
当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
1.抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为.
2.抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b=.
3.二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴()
A.没有交点B.只有一个交点C.只有两个交点D.至少有一个交点
4.二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围是.
5.已知二次函数的与的部分对应值如下表:
…
0
1
3
…
…
1
3
1
…
则下列判断中正确的是( )
A.抛物线开口向上 B.抛物线与轴交于负半轴、
C.当=4时,>0D.方程的正根在3与4之间
6.抛物线的部分图象如图所示,若y>0,则x的
取值范围是()
A.-4
7、二次函数中的意义
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:
开口方向向上,则a>0;否则a<0.
(2)b由对称轴和a的符号确定:
由对称轴公式判断符号,左同右异.
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:
交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;过
原点,c=0.
(4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:
2个交点,b2-4ac>0;1个交
点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0.
(5)当x=1时,可确定a+b+c的符号;当x=-1时,可确定a-b+c的符号;
当x=2时,可确定4a+2b+c的符号,当x=-2时,可确定4a-2b+c的符号.
(6)由对称轴公式与x=1和x=-1比较,可确定2a+b,2a-b的符号.
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①a+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.其中所有正确结论的序号是( )
A.③④B.②③C.①④D.①②③
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:
①a<0;②c>0;③b2﹣4ac>0;④<0中,正确的结论有( )
A.1B.2C.3D.4
3.如图,二次函数y=x2+(2﹣m)x+m﹣3的图象交y轴于负半轴,对称轴在y轴的右侧,则m的取值范围是( )
A.m>2B.m<3C.m>3D.2<m<3
4.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中正确的说法有.
①ac<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3③a+b+c>0
④当x>1时,y随x的增大而增大.
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.有以下结论:
(1)abc>0;
(2)4ac
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