混沌优化算法算例要点Word格式.docx
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(1)内在随机性
混沌的定常状态不是通常概念下确定运动的三种状态:
静止、周期运动和准周期运动,而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的,形势复杂的运动。
第一,混沌是固有的,系统所表现出来的复杂性是系统自身的,内在因素决定的,并不是在外界干扰下产生的,是系统的内在随机性的表现。
第二,混沌的随机性是具有确定性的。
混沌的确定性分为两个方面,首先,混沌系统是确定的系统;
其次,混沌的表现是貌似随机,而并不是真正的随机,系统的每一时刻状态都受到前一状态的影响是确定出现的,而不是像随机系统那样随意出现,混沌系统的状态是可以完全重现的,这和随机系统不同。
第三,混沌系统的表现具有复杂性。
混沌系统的表现是貌似随机的,它不是周期运动,也不是准周期运动,而是具有良好的自相关性和低频宽带的特点。
(2)长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度,而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响,因此不可长期预测将来某一时刻之外的动力学特性。
即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
在此以经典的logistic映射为例:
x(n+1)=μx(n)(1-x(n))
n=0,1,2,3…
0<x0<1
0<μ≤4(1-1)
对于初值为0.6,在参数μ取值由2.6开始,间隔3e-4到4结束,迭代200次的结果实验仿真如图1-1所示,发现随着参数μ的增加,迭代序列经历了2周期、4周期、8周期、…无穷周期的过程,,从仿真的结果验证了系统状态长期的不可预测性。
图1-1
附Matlab仿真程序:
mu=2.6:
3e-4:
4;
k=length(mu);
x=linspace(0.6,0,k);
forn=1:
k
x(n+1)=mu(n)*x(n)*(1-x(n));
plot(mu,x(1,:
),'
k.'
);
xlabel('
\mu'
ylabel('
x(n)'
end
(3)对初值的敏感依赖性
随着时间的推移,任意靠近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化,即对初始条件的敏感依赖性。
及时初始数据又很小的偏差,在迭代几次后其差距会很大。
(4)普适性
当系统趋于混沌时,所表现出的特性具有普适性,其系统不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而改变,即使是不同的混沌映射,其混沌状态从外表上是类似的。
(5)分形性
分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特((B.B.Mandelbrot)在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质,它们具有无限精细的结构,在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质,具有小于所在空间维数n的非整数维数,这种点集叫分形体。
分维就是用非整数维—分数维来定量的描述分形的基本特性。
(6)遍历性
遍历性也称为混杂性。
由于混沌是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。
所以,随着时间的推移,混沌运动的轨迹决不逗留于某一状态而是遍历区域空间中的每一点,即只要时间充分长,混沌会不重复的能走过每一点。
(7)有界性
它的运动轨线始终局限于一个确定的区域内,这个区域称为混沌吸引域。
因此总体上讲混沌系统是稳定的。
(8)分维性
混沌系统的运行状态具有多叶、多层结构,且叶层越分越细,表现为无限层次的自相似结构。
(9)统计特性
对于混沌系统而一言,正的Lyapunov指数表明轨线在每个局部都是不稳定的,相邻轨道按指数分离。
但是由于吸引子的有界性,轨道只能在一个局限区域内反复折叠,但又永远不相交,形成了混沌吸引子的特殊结构。
第二章最优化理论
最优化理论是应用相当广泛的理论,它具有讨论决策问题的最佳选择问题的特性,是构造寻求最佳解的计算方法,研究这些计算方法的理论性质及实际计算就显得十分重要。
同时最优化问题广泛见于工程设计,经济规划,生产管理,交通运输,国防等重要领域。
例如,在工程设计中,怎样选择设计参数,使得设计方案既满足设计要求,又能降低成本。
在资源分配中,怎样分配有限资源,使得分配方案既能满足各方面的基本要求,又能获得好的经济效益。
在生产计划安排中,确定怎样的比例才能提高质量,降低成本。
在城建规划中,怎样安排布局才能有利于城市发展。
在区域经济规划中,如何发挥地区优势,挖掘潜力,发展生产力。
在作战指挥中,如何合理运用火力,制订作战方案,使之有效地消灭敌人,保存自己等等。
混沌优化理论
在某种程度上,优化算法就是运筹学,即讨论决策问题的最佳选择问题。
通过适当的数学建模,决策问题可以等价于研究在状态空间中寻求全局最小值或者最大值(当然最大值可以通过转化化为最小值来处理),即:
Minf(x)
S.t.g(x)≤0
x∈Ω(2-1)
其中,x是决策变量,是一个矢量,其维数等于决策问题的参量个数。
f(x)是决策问题的数学模型,也是决策问题的目标函数。
g(x)≤0是决策问题的约束条件,Ω是问题的可行域。
对于Maxf(x),可取Minh(x)=c-Maxf(x),转化为最小值处理。
第三章混沌优化应用
本章用Matlab仿真了三个3变量的最优化函数问题。
测试函数1:
Maxf(x)=
s.t.
(3-1)
Matlab仿真程序主程序M文件,main:
fork=1:
10
fora=1:
3
X(a,1)=rand
(1);
TempX(a)=2*X(a,1);
end
ifmyjudge(TempX
(1),TempX
(2),TempX(3))==1
else
return;
end
forg=1:
3
MaxX(g)=TempX(g);
MaxF=myfunction(MaxX
(1),MaxX
(2),MaxX(3));
fori=2:
5000
forj=1:
X(j,i)=4*X(j,i-1)*(1-X(j,i-1));
TempX(j)=2*X(j,i);
ifmyjudge(TempX
(1),TempX
(2),TempX(3))==1
TempF=myFunction(TempX
(1),TempX
(2),TempX(3));
ifTempF>
MaxF
MaxX(j)=TempX(j);
MaxF=TempF;
%二次载波
fori=1:
X(i,1)=rand
(1);
forj=1:
TempX(j)=MaxX(j)+0.001*X(j,i);
ifmyjudge(TempX
(1),TempX
(2),TempX(3))==1
TempF=myfunction(TempX
(1),TempX
(2),TempX(3));
MaxF
MaxF=vpa(MaxF,4);
MaxX(i)=vpa(MaxX(i),4);
subplot(2,2,1)
plot(k,MaxX
(1));
subplot(2,2,2)
plot(k,MaxX
(2));
subplot(2,2,3)
subplot(2,2,4)
plot(k,MaxF);
k'
)
Max'
Matlab仿真程序,函数程序M文件,myjudge:
functionmyjudge=myjudge(x1,x2,x3)
a=x1^2+x2^2+x3^2;
ifx1>
0&
&
x2>
x3>
a>
=1&
a<
=4
myjudge=1;
myjudge=0;
Matlab仿真程序,函数程序M文件,myfunction:
functionmyfunction=myfunction(x1,x2,x3)
myfunction=(x1^2*x2*x3^2)/(2*x1^3*x3^2+3*x1^2*x2^2+2*x2^2*x3^3+x1^3*x2^2*x3^2)
仿真结果:
如图3-1,图3-2,图3-3所示,MaxF=0.1537;
MaxX
(1)=0.7380;
MaxX
(2)=0.4167;
MaxX(1.3390)。
与标准值一致。
图3-1
图3-2
图3-3
测试函数2:
Minf(x)=
s.t.
(3-2)
已知其最优解为;
=4/3,
=7/9,
=4/9.
最优值为:
Minf(x)=1/9
Matlab仿真程序主程序,M文件,main:
fork=1:
100
forz=1:
ifmyjudge(TempX
(1),TempX
(2),TempX(3))==1
break
TempX(j)=MaxX(j)+0.0001*X(j,i);
Max(k)=MaxF;
MaxX1(k)=MaxX
(1);
MaxX2(k)=MaxX
(2);
MaxX3(k)=MaxX(3);
plot(MaxX1(1,:
));
plot(MaxX2(1,:
plot(MaxX3(1,:
plot(Max(1,:
gridon
sz=subs(Max)
[m,n]=max(sz);
B=Max(n);
B1=MaxX1(n);
B2=MaxX2(n);
B3=MaxX3(n);
a=-x1-x2-2*x3+3;
=0
myfunction=1-(2*x1^2+2*x2^2+x3^2+2*x1*x2+2*x1*x3-8*x1-6*x2-4*x3+9)
由于取myfunction=1-f(x),故仿真结果为myfucntion的最大值。
如图3-4,图3-5,图3-6所示
图3-4上图依次为X1,X2,X3,Max随k变化曲线。
图3-5myfunction最大值
图3-5各参量值
见表3-1
表3-1
仿真结果
仿真值
参考值
Minf(x)
0.8883
0.8889
X1
1.3100
1.3333
X2
0.7885
0.7778
X3
0.4507
0.4444
可见经过100次运算,得到了较为精确的仿真值,该混沌优化方法较好的满足了最优值求解。
测试函数3:
无约束最优化问题----Rosenbrock函数
Minf(x)=100
(3-3)
Matlab仿真程序,主函数M文件,main:
20
2
2
MinX(g)=TempX(g);
MinF=myfunction(MinX
(1),MinX
(2));
TempX(j)=2*X(j,i);
TempF=myfunction(TempX
(1),TempX
(2));
ifTempF<
MinF
MinX(j)=TempX(j);
MinF=TempF;
%二次载波
TempX(j)=MinX(j)+0.0001*X(j,i);
MinF
MinF=vpa(MinF,4);
MinX(i)=vpa(MinX(i),4);
Min(k)=MinF;
MinX1(k)=MinX
(1);
MinX2(k)=MinX
(2);
plot(MinX1(1,:
plot(MinX2(1,:
plot(Min(1,:
Min'
sz=subs(Min)
[m,n]=min(sz);
B=Min(n);
B1=MinX1(n);
B2=MinX2(n);
Matlab仿真程序,myfunction:
functionmyfunction=myfunction(x1,x2)
myfunction=100*(x2-x1^2)^2+(1-x1)^2;
如图3-6,图3-7,图3-8所示。
函数最小值为0.0002889。
最优解为X1=1.0290,X2=0.9853。
图3-6B参数值,即函数最小值
图3-7
图3-8依次为X1,X2,Min随k变化曲线。
仿真结果分析:
见表3-2
表3-2
0.0002889
1.0290
1
0.9853
可见该混沌优化算法达到了较高的精度。
通过了测试函数的验证。
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