反比例函数题型的综合提优题.docx
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反比例函数题型的综合提优题
反比例函数题型的综合提优题(总12页)
第三讲反比例函数典型题、常考题复习2
学习目标:
能够将反比例函数与其它知识进行联系、综合分析解决相关问题,能够用反比例函数来解决实际问题
重点难点:
综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题,分析此类问题的切入点,积累解题经验
合作探究:
典型例题讲解
一、反比例函数的实际应用问题
例1(2010四川达州)近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:
从零时起,井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降.如图11,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时,井下3km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井
【答案】.解:
(1)因为爆炸前浓度呈直线型增加,
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知
过点(0,4)与(7,46)
∴
.解得
∴
此时自变量
的取值范围是0≤
≤7.
(不取
=0不扣分,
=7可放在第二段函数中)
因为爆炸后浓度成反比例下降,
所以可设y与x的函数关系式为
.
由图象知
过点(7,46),
∴
.∴
∴
,此时自变量
的取值范围是
>7.
(2)当
=34时,由
得,6
+4=34,
=5.
∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h).
(3)当
=4时,由
得,
=80.5,80.5-7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.
例2、(反比例函数新颖题)某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:
放满水后,接通电源,则自动开始加热,每分钟水温上升10ºC,待加热到100ºC,饮水机自动停止加热,水温开始下降,水温y(0C)和通电时间x(min)成反比例关系,直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水温和室温为20ºC,接通电源后,水温和时间的关系如下图所示,回答下列问题:
(1)分别求出当0≤x≤8和8<x≤a时,y和x之间的关系式;
(2)求出图中a的值;
(3)下表是该小学的作息时间,若同学们希望在上午第一节下课8:
20时能喝到不超过
40ºC的开水,已知第一节下课前无人接水,请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源.(不可以用上课时间接通饮水机电源)
时间
节次
上
午
7:
20
到校
7:
45~8:
20
第一节
8:
30~9:
05
第二节
……
……
二、反比例函数与翻折结合问题
例1.如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数y=
(x>0)的图象经过点B.
(1)求k的值;
(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC′、NA′BC.设线段MC′、NA′分别与函数y=
(x>0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式.
例2.如图1,在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点C的坐标为(4,3),反比例函数y=
(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上.
(1)求证:
△AOE与△BOF的面积相等;
(2)求反比例函数的解析式;
(3)如图2,P点坐标为(2,-3),在反比例函数y=
的图象上是否存在点M、N(M在N的左侧),使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形若存在,求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.
三、反比例函数中的探究性问题
例1(2010山东省德州)●探究
(1)在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F.
①若A(-1,0),B(3,0),则E点坐标为__________;
②若C(-2,2),D(-2,-1),则F点坐标为__________;
(2)在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d),
求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的
代数式表示),并给出求解过程.
●归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,
当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB中点为D(x,y)时,
x=_________,y=___________.(不必证明)
●运用在图2中,一次函数
与反比例函数
的图象交点为A,B.
①求出交点A,B的坐标;
②若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,
请利用上面的结论求出顶点P的坐标.
【答案】解:
探究
(1)①(1,0);②(-2,
);
(2)过点A,D,B三点分别作x轴的垂线,垂足分别为
,
,
,则
∥
∥
.
∵D为AB中点,由平行线分线段成比例定理得
=
.
∴O
=
.
即D点的横坐标是
同理可得D点的纵坐标是
.
∴AB中点D的坐标为(
,
).
归纳:
,
.
运用①由题意得
解得
或
.
∴即交点的坐标为A(-1,-3),B(3,1).
②以AB为对角线时,
由上面的结论知AB中点M的坐标为(1,-1).
∵平行四边形对角线互相平分,
∴OM=OP,即M为OP的中点.
∴P点坐标为(2,-2).
同理可得分别以OA,OB为对角线时,
点P坐标分别为(4,4),(-4,-4).
∴满足条件的点P有三个,坐标分别是(2,-2),(4,4),(-4,-4).
例2
(1)探究新知:
如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)结论应用:
①如图2,点M,N在反比例函数y=
(k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E,F,试证明:
MN∥EF;
②若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如图3所示,请判断MN与EF是否平行.
【答案】
(1)证明:
分别过点C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,
垂足为G,H,则∠CGA=∠DHB=90°.
∴CG∥DH.
∵△ABC与△ABD的面积相等,∴CG=DH.
∴四边形CGHD为平行四边形.
∴AB∥CD.
(2)①证明:
连结MF,NE.
设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2).
∵点M,N在反比例函数
(k>0)的图象上,
∴
,
.
∵ME⊥y轴,NF⊥x轴,
∴OE=y1,OF=x2.
∴S△EFM=
,
S△EFN=
.
∴S△EFM=S△EFN.
由
(1)中的结论可知:
MN∥EF.
②MN∥EF.
课堂练习
达标训练
1、若一次函数y=2x-1和反比例函数y=
的图象都经过点(1,1).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)已知点A在第三象限,且同时在两个函数的图象上,求点A的坐标;
(3)利用
(2)的结果,若点B的坐标为(2,0),且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点P的坐标.
2、已知:
如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=
的图象交于点A(3,2)
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象信息回答问题:
在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于该正比例函数的值?
(3)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3过点M作直线MN∥x轴,交y轴于点B;过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时,求过点M、A的一次函数解析式和求出线段MA的长.
能力提升
1、(育才二模)⑴“三等分角”是数学史上一个著名问题,但数学家已经证明,仅用尺规不可能“三等分任意角”.但对于特定度数的已知角,如90°角、45°角等,是可以用尺规进行三等分的.如图a,∠AOB=90°,我们在边OB上取一点C,用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD,作射线OD,再用尺规作出∠DOB的角平分线OE,则射线OD、OE将∠AOB三等分.仔细体会一下其中的道理,然后用尺规把图b中的∠MON三等分(已知∠MON=45°).(不需写作法,但需保留作图痕迹,允许适当添加文字的说明)
⑵数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法(如图c):
将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上、边OA与函数
的图象交于点P,以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,则∠MOB=
∠AOB.要明白帕普斯的方法,请研究以下问题:
①设
、
,求直线OM对应的函数关系式(用含a、b的代数式表示).
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上,并据此证明∠MOB=
∠AOB.
2.(2011江苏镇江常州)在平面直角坐标系XOY中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行,直线l2过点B(0,2)且与x轴平行,直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点,反比例函数y=
(k>0)的图象过点E与直线l1相交于点F.
(1)若点E与点P重合,求k的值;
(2)连接OE.OF.EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍,求E点的坐标;
(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M.E.F为顶点的三角形与△PEF全等?
若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
相似三角形的判定与性质;反比例函数综合题;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
专题:
分类讨论.
分析:
(1)根据反比例函数中k=xy进行解答即可;
(2)当k>2时,点E.F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,再求出S△FPE=
k2﹣k+1,根据S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE即可求出k的值,进而求出E点坐标;
(3)①当k<2时,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,由△FHM∽△MBE可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而可得出E点坐标;
②当k>2时,只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得,
=
,可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而可得出E点坐标.
课外练习
1、如图,矩形OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在
轴、
轴上,连结OB,将纸片OABC沿BC折叠,使点A落在点A′处,
A′B与
轴交于点F。
已知OA=1,AB=2。
⑴设CF=
,则OF=__________;
⑵求BF的长;
⑶设过点B的双曲线为
(
≠
),试问双曲线
上是否存在一点M,使得以OB为一边的△OBM的面积等于1?
若存在,试求出点M的横坐标;若不存在,试说明理由。
2、
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- 反比例 函数 题型 综合 提优题