河北省石家庄市高考数学一模考试试题理科含答案.docx
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河北省石家庄市高考数学一模考试试题理科含答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷
数学(理科)B卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.若是复数,,则()
A.B.C.1D.
3.下列说法错误的是()
A.回归直线过样本点的中心
B.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1
C.对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小
D.在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位
4.函数(为自然对数的底数)的图象大致是()
5.函数(,)的最小正周期为,其图象关于直线对称,则的最小值为()
A.B.C.D.
6.已知三个向量,,共面,且均为单位向量,,则的取值范围是()
A.B.C.D.
7.某几何体的三视图如图所示(在如图的网格线中,每个小正方形的边长为1),则该几何体的表面积为()
A.48B.54C.64D.60
8.已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为()
A.B.C.D.
9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.意思是:
夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:
图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
10.已知,满足约束条件若恒成立,则直线被圆截得的弦长的最大值为()
A.B.C.D.
11.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为()
A.B.C.D.
12.已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.或
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知命题:
,,则为.
14.程序框图如图所示,若输入,,,则输出的为.
15.已知、分别为双曲线(,)的左、右焦点,点为双曲线右支上一点,为的内心,满足,若该双曲线的离心率为3,则(注:
、、分别为、、的面积).
16.已知数列中,,,若为递增数列,则实数的取值范围为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在中,内角,,的对边分别是,,,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)点满足,且线段,求的最大值.
18.在四棱锥中,底面为平行四边形,,,,.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测,正常人听力的等级为0-25(分贝),并规定测试值在区间为非常优秀,测试值在区间为优秀.某班50名同学都进行了听力测试,所得测试值制成频率分布直方图:
(Ⅰ)现从听力等级为的同学中任意抽取出4人,记听力非常优秀的同学人数为,求的分布列与数学期望;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试,测试规则如下:
四个音叉的发生情况不同,由强到弱的次序分别为1,2,3,4.测试前将音叉随机排列,被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号,,,(其中,,,为1,2,3,4的一个排列).若为两次排序偏离程度的一种描述,,求的概率.
20.已知椭圆:
的左顶点为,右焦点为,为原点,,是轴上的两个动点,且,直线和分别与椭圆交于,两点.
(Ⅰ)求的面积的最小值;
(Ⅱ)证明:
,,三点共线.
21.已知函数,.
(Ⅰ)若函数为定义域上的单调函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若函数存在两个极值点,,且,证明:
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系,将曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的参数方程;
(Ⅱ)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、,且点在第一象限,当四边形的周长最大时,求直线的普通方程.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,的最小值为1,求实数的值;
(Ⅱ)当时,求的取值范围.
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B卷答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12:
二、填空题
13.,14.102415.16.
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)∵,由正弦定理得,
∴,
即,
又∵,
∴,
∵,∴.
(Ⅱ)在中由余弦定理知:
,
∴,
∵,
∴,即,当且仅当,即,时取等号,
所以的最大值为6.
18.(Ⅰ)证明:
在中,,由已知,,,
解得,所以,即,可求得.
在中,
∵,,,
∴,∴,
∵平面,,∴平面.
(Ⅱ)过作直线垂直于,以为坐标原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立空间直角坐标系.
∵由(Ⅰ)可知,平面平面,∴在平面上的投影一定在上,过作于,则,,则,
易求,,,
则,,,
设平面的法向量,解得.
同理可求得平面的法向量,
∴.
19.解:
(Ⅰ)的可能取值为:
0,1,2,3,4.
,,,,
,
的分布列为:
0
1
2
3
4
.
(Ⅱ)序号,,,的排列总数为种,
当时,,,,.
当时,,,,的取值为
,,,;,,,;,,,.
故.
20.解:
(Ⅰ)设,,∵,可得,
,
∵,当且仅当时等号成立.
∴,
∴,
∴四边形的面积的最小值为1.
(Ⅱ)∵,,∴直线的方程为,
由得,
由,得,①
同理可得,
∵,∵②
故由①②可知:
,
代入椭圆方程可得
∵,故,分别在轴两侧,,
∴,∴,,三点共线.
21.解:
(Ⅰ)函数的定义域为,
由题意,
.
①若,即,则恒成立,
则在上为单调减函数;
②若,即,方程的两根为,,当时,,所以函数单调递减,当时,,所以函数单调递增,不符合题意.
综上,若函数为定义域上的单调函数,则实数的取值范围为.
(Ⅱ)因为函数有两个极值点,所以在上有两个不等的实根,
即在有两个不等的实根,,
于是,且满足,,
,
同理可得.
,
令,.
,,
∵,∴,
又时,,∴,则在上单调递增,
所以,即,得证.
22.解:
(Ⅰ),(为参数).
(Ⅱ)设四边形的周长为,设点,
,
且,,
所以,当()时,取最大值,
此时,
所以,,,
此时,,的普通方程为.
23.解:
(Ⅰ)当时,函数
可知,当时,的最小值为,解得.
(Ⅱ)因为,
当且仅当时,成立,
所以,当时,的取值范围是;
当时,的取值范围是;
当时,的取值范围是.
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