吉林省吉林大学附属中学届高三上学期第五次摸底考试文理数学Word版含答案.docx
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吉林省吉林大学附属中学届高三上学期第五次摸底考试文理数学Word版含答案
吉林省吉林大学附属中学2018届第五次摸底考试
高三上学期文、理数学
试卷满分:
150分考试时间:
120分钟
注意事项:
1.请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上;
2.客观题的作答:
将正确答案填涂在答题纸指定的位置上;
3.主观题的作答:
必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答,在此区域外书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
第Ⅰ卷(客观题60分)
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)若已知,,则集合的子集个数为
(A)2(B)3
(C)4(D)5
解析:
C
(2)下列函数中能用二分法求零点的是
解析:
(C)
(3)下列函数中,既是偶函数,又在区间上单调递减的是
(A)(B)(C)(D)
解析:
C
(4)圆与直线相切,则正实数的值为(B)
(A)(B)(C)(D)
(5)已知是夹角为的两个单位向量,,,若,则实数的值为(D)
(A)(B)(C)(D)
(6)已知数列满足,且,则=(C)
(A)(B)5(C)-5(D)
(7)以下四个命题中,正确的是
(A)命题“若是周期函数,则是三角函数”的否命题是“若是周期函数,则不是三角函数”
(B)命题“,使得不等式成立”的否定是“使得不等式成立”
(C)在,“”是“”的充要条件
(D)以上皆不对
解析:
C
(8)(理科)在中,分别是角所对的边长,,,.则B
(A)(B)(C)(D)
(8)(文科)在中,分别是角所对的边长,,,.则B
(A)(B)(C)(D)
(9)已知分别是双曲线()的两个焦点,和是以(是平面直角坐标系的原点)为圆心,以为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为D
(A)(B)(C)(D)
(10)(理科)设,且曲线在处的切线与轴平行,且对,恒成立,则的最小值为A
(A)(B)(C)1(D)
解析:
因为曲线在处的切线与轴平行,
∴,即,解得
当时,有
∴当和上,,在上,,所以在和上单调递减,在单调递增.
所以,在上是增函数.
所以当时,,
对于任意的,有恒成立,
因为,所以,且时,所以当
(10)(文科)设,且对,恒成立,则的最小值为A
(A)(B)(C)1(D)
(11)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,则该零件的表面积为(单位:
cm)A
(A)(B)
(C)(D)
解析:
如图所示,三棱锥即为所求
所以
(12)(理科)已知抛物线,倾斜角为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点().过点作抛物线的切线与抛物线的准线交于点,直线交抛物线于两点().直线相交于.则C
(A)(B)(C)(D)
易知,
而:
,
易知直线与关于轴对称
所以与关于轴对称,所以,且点在轴上
所以,
所以:
与联立解得
所以点到直线直线的距离
点到直线的距离
所以
(12)(文科)已知抛物线,倾斜角为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点().过点作抛物线的切线与抛物线的准线交于点,直线交抛物线于两点().直线相交于.则点的横坐标为B
(A)(B)(C)(D)
易知,
而:
,
易知直线与关于轴对称
所以与关于轴对称,所以,且点在轴上
所以,
所以:
与联立解得.
事实上圆锥曲线的过同一焦点的不同的焦点弦的交点必在准线上.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二.填空题:
本大题共4个小题,每小题5分.
(13)函数的定义域为__________.(0,1]
(14)已知直线,直线,且,则的值为 .-1或-2
(15)(理科)设不等式组所表示的平面区域是,平面区域与关于直线对称.对于中的任意点与中的任意点,的最小值为____________4
(15)(文科)已不等式表示的平面区域的面积为.4
(16)(理科)已知三次函数满足其中为实数,的导函数为,以下6
种说法
①函数是中心对称图形;
②对于任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是
③对于任意的非零实数,关于的方程的解集有可能是
④对于任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是
⑤对于任意的非零实数,关于的方程的解集有可能是
正确的是________________.(写出所有正确的代号)
①函数是中心对称图形;
②对于任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是
③对于任意的非零实数,关于的方程的解集有可能是
④对于任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是
⑤对于任意的非零实数,关于的方程的解集有可能是
正确的是________________.(写出所有正确的代号)
解析:
①②③④
①显然对
对于②,由于有对称轴,所以解集应关于对称轴对称,所以②③
同理,④⑤中由于有对称中心,且在对称中心处的函数值为0,所以④⑤方程的解集也应对称出现,所以④对⑤错
(16)(文科)已知函数是二次函数,以下4种说法
①对于任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是
②对于任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是
③对于任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是
④对于任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是
正确的是________________.(写出所有正确的代号)④
三.解答题:
本大题共6个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
设函数的图象过点,且的最大值是,最小值为,其中.
(Ⅰ)求表达式;
(Ⅱ)若射线与图象交点的横坐标,由小到大依次为
,求的值,并求的值.
解析:
(Ⅰ)所以,
所以
所以,且,而.
所以,所以.
(Ⅱ)由题意,知,即,
所以,所以,于是,
(18)(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,若.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足,且数列是递增数列,求的取值范围.
解析:
(Ⅰ),,
作差得,即,………………………………2分
,……………………………………3分
又,,………………………………4分
,
.………………………………………………5分
(Ⅱ),,
数列是递增数列,,
.…………………………………………6分
①当时,恒成立,
,.…………………………………………7分
②当时,恒成立,
,.…………………………………………8分
综上,的取值范围.…………………………………………9分
(19)(本小题满分12分)(文科)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:
PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.
解:
(1)证明:
设BD与AC的交点为O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)V=××PA×AB×AD=AB,由V=,可得AB=.
作AH⊥PB交PB于点H.
由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,
因为PB∩BC=B,所以AH⊥平面PBC.
又AH==,
所以点A到平面PBC的距离为.
(19)(本小题满分12分)(理科)
如图,在四棱锥中,平面,底面是等腰梯形,.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若,直线与平面所成的角为,求四棱锥的体积.
解:
(Ⅰ)证明:
因为平面平面,
所以.又是平面内的两条相交直线,所以平面,
而平面,所以.
(Ⅱ)设和相交于点,连结,由(Ⅰ)知,平面,
所以∠是直线和平面所成的角,从而.
由平面,平面知,.
在Rt△中,由∠得.
因为四边形为等腰梯形,AC⊥BD,
所以△AOD,△BOC均为等腰直角三角形,
从而梯形的高为,
于是梯形的面积.
在等腰直角三角形AOD中,,
所以.
故四棱锥的体积为
(20)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆C:
的离心率,且椭圆C上的点到点的距离的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)在椭圆C上,是否存在点,使得直线与圆O:
相交于不同的两点,且的面积最大?
若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由,
∴,即椭圆C的方程可写为.
设为椭圆C上任意给定的一点,
由题设存在点满足|,则.
当时,由于,此时取得最大值.
∴.
故所求椭圆C的方程为.
(2)存在点M满足要求,使△OAB的面积最大.
假设直线l:
mx+ny=1与圆O:
x2+y2=1相交于不同的两点A、B,则圆心O到l的距离
.
因为点M(m,n)∈C,所以,于是.
∵|AB|=,
∴S△OAB=·|AB|·d==.
上式等号成立当且仅当1=m2⇒m2=,
因此当,时等号成立.
所以满足要求的点恰有四个,其坐标分别为(),(),()和(),此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.
(21)(本小题满分12分)(文科)
已知函数为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数的最小值;
(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数的值;
解析:
(Ⅰ)
令,有,即在上单调递增;
令,有,即在上单调递减.
所以函数的最小值为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有即可.
令,,
当时,;当时,,
∴在上增,在上减,∴在上的最大值为,
若,只能是,注意到,∴只能是.
(21)(本小题满分12分)(理科)
已知函数().
(Ⅰ)若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若,且关于的方程在上恰有两个不等的实根,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设各项为正数的数列满足,(),求证:
.
解:
(Ⅰ)函数的定义域为,
,依题意在时恒成立,
则在时恒成立,即,
当时,取最小值-1,所以的取值范围是4分
(Ⅱ),由得在上有两个不同的实根,
设
,时,,时,
,,
,得
则8分
(Ⅲ)易证当且时,.
由已知条件,
故所以当时,,相乘得又故,即12分
(22)(本小题满分10分)选修4—1;几何证明选讲
如图,是圆的切线,过圆心,与圆相交于两点,为圆的直径,与圆相交于两点,连结.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
.
解析:
(Ⅰ)由是圆的切线,因此,在中,,可得,所以.
(Ⅱ)由切割线定理可知,,得,故只需证,又由得,则,故只需证.而由四点共圆可得,,故与相似,于是,因此.
(23)选修4—4:
极坐标和参数方程
已知在平面直角坐标系内,点在曲线:
为参数,)上运动.以为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线的标准方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于两点,点在曲线上移动,试求面积的最大值.
解:
(Ⅰ)消去参数,得曲线C的标准方程:
由得:
,即直线的直角坐标方程为:
.
(Ⅱ)圆心到直线的距离为,则圆上的点到直线的最大距离为(其中为曲线的半径),.设M点的坐标为,则过且与直线垂直的直线方程为:
,则联立方程,解得,或,经检验舍去.故当点为时,面积的最大值为.
(24)(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲
已知且,若恒成立,
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
解:
(Ⅰ)因为且,若恒成立,只要求解的最大值即可,因为,所以.(当且仅当,即时取等号).又恒成立,所以.故的最小值为
(Ⅱ)由于要使恒成立,须且只须所以或或.所或.
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