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10-7J的宇宙射线粒子射入氖管中,氖管中含有氖气,如射线粒子能量全部转变成氖气的内能,氖气温度升高多少?
[解答]氖气是堕性气体,分子式是Ne,只能平动动能,自度为i=t=3. 当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时,公式E?
in0RT可得气体升高的温度为2T?
2E=×
10-6(K).in0R 10.7某些恒星的温度达到108K的数量级,此时原子已不存在,只有质子存在,求:
质子的平均动能是多少?
质子的方均根速率多大?
[解答]质子的平动自度为t=3,平均平动动能为wt?
质子的质量为mp=×
1027(kg),于wt?
10-15(J).2tkTt1kT?
mpv2,所以质子的方均根速率为v2?
=×
106(m·
s-1).22mp 10.8一容器被中间隔板分成体积相等的两半,一半装有氦气,温度为250K;
另一半装有氧气,温度为310K.两种气体的压强均为p0.求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少?
[解答]设氦气和氧气分子各有N1和N2个,氦气是单原子分子,自度为i1=3;
氧气是双原子分子,自度为i2=5. i1iN1kT1,E2?
2N2kT2.22ii隔板抽去后,氦气和氧气分子的总能量为E?
1N1kT?
2N2kT. 22隔板抽去前,氦气和氧气分子的总能量为E1?
这个过程能量守恒,即,E=E1+E2,所以有i1N1T1+i2N2T2=(i1N1+i2N2)T. 于压强p0?
n1kT1?
同理可得N2?
2N1pVkT1,所以N1?
0;
V2kT1p0V.2kT2将N1和N2的公式代入上面公式可得 i1p0Vi2p0VipVipV?
(10?
20)T,2k2k2kT12kT2约去公因子,可得混合气体的温度为 T?
(i1?
i2)TT12=(K). i1T2?
i2T1(N1?
N2)(i?
i)(T?
T)kT?
1(p0V?
p0V)kT?
1212p0=p0.V2(i1T2?
i2T1)V2kT12kT2混合气体的压强为 p?
nkT?
210.9试证明:
N个分子,不论分子速度的分布服从什么规律,总有v?
v. [证明]设第i个分子的速率为vi,则分子的平均速率为v?
速率平方的平均值为v?
21?
vi,Ni1vi2.?
Ni显然,?
1(vi?
v)2?
0,因此?
Ni1111?
(vi2?
2viv?
v2)?
vi2?
2v?
vi?
v2?
1?
v?
v2, NiNiNiNi2于δ≧0,所以v2?
v2,因此不论分子的速度的分布服从什么规律,都有v?
v. 另外也可直接用平均值运算. 于(vi?
0,展开得vi2?
0, 取平均值时得vi2?
0. 2因为vi?
v、v?
v并且v2?
v2,所以vi2?
0,即v?
v.证毕. 10.10将式表示成以理想气体最可几速率vp为单位表示的形式,即令x=v/vp,若已知 ?
10e?
xdx?
,试计算:
2分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少?
分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少?
参照表,写出同一温度下氢气分子对应同一分子数百分比的速率区间.[解答]理想气体分子数占分子总数的比率为dN/N=f(v)dv,其中f(v)是麦克斯韦速率分布函数:
m3/2mv22f(v)?
4?
()exp(?
)v. 2k?
T2kT2kT设x=v/vp,其中vp?
,则dv=vpdx, m42?
x2xe.因此速率分为dN/N=g(x)dx,其中g(x)?
分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为 N14?
g(x)dx?
N0?
111?
xe02?
x21dx,设I?
x2e?
xdx,则 021111221?
x22?
x2I?
xedx?
xde?
(xe?
x?
e?
xdx) 20202001?
1即 I?
(?
e), 2N42I?
1)==%.所以1?
N?
1分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为 N2N?
1==%.NN对于氧气分子,速率在v1~v2之间的分子数占分子总数的比率为 ?
NNvv2?
v1?
m3/2mv22)exp(?
)vdv,f(v)dv?
(2k?
T2kTv1v2其中m表示氧分子的质量.用m`表示氢分子的质量,则m=16m`,对于氢分子的同一比率则有 ?
N216m`3/216m`v22?
)vdv,取v`=4v,可得Nv2k?
T2kT12?
Nm`3/2m`v`22?
)v`dv`,N4?
2k?
T2kTv14v可见:
氧气分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与氢气分子速率从4v1到4v2之间的分子数的比率相同. 2 从这个思路可以证明:
当一种气体的分子的质量是另一种气体的质量的α倍时,这种气体分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与另一种气体分子速率从αv1到αv2之间的分子数的比率相同. 10.11.11.10题结果,求速率在到之间的分子数占分子总数的百分比. ?
x2?
N[解答]分子数比率为xe.?
g(x)dx,其中g(x)?
利用中值定理得 ?
N4?
g
(1)(?
)?
==%.N?
10.12求上升到什么高度时大气压强减到地面大气压强的75%.设空气温度为0℃,空气的平均摩尔质量为9kg·
mol-1. [解答]根据玻尔兹曼分布可得压强随高度变化关系p?
p0exp(?
mgz).kT其中m是一个分子的质量. 用NA表示阿氏常数,则气体的摩尔质量为μ=NAm,气体的普适常数为R=.压强公式可表示为p?
).RTRTp0ln高度为z?
=2304(m).?
gp 10.13已知f(v)是麦克斯韦分子速率分布函数,说明以下各式物理意义.f(v)dv;
nf(v)dv,n为分子数密度;
?
gz?
v2v1vf(v)dv;
vp0?
f(v)dv,vp为最可几速率;
vpv2f(v)dv. [解答]公式dN/N=f(v)dv可知:
f(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数的比率dN/N.于n=N/V,可得ndN/N=dN/V,因此nf(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数密度. ?
v2v1vf(v)dv表示分子在速率区间v1到v2之间的平均速率. ?
f(v)dv表示分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的比率. vpv2f(v)dv表示分子速率大于最可几速率的速率平方的平均值. 10.14质量为×
10-14g的微粒悬浮于27℃的液体中,观察到它的方均根速率为·
s-1.这些结果计算阿佛加德罗常数NA. [解答]当粒子平动时,其平均平动动能为w?
31kT?
mv2,22此得阿氏常数为NA?
R3RT=×
1023(mol-1).?
kmv2 10.15氮分子的有效直径为×
10-10m,求它在标准状态下的平均自程和连续碰撞的平均时间间隔. [解答]在标准状态下,T=273K,p=×
105Pa,氮分子的平均自程为 ?
kT-8 =×
10(m).22?
dp氮分子的摩尔质量为μ=·
mol-1,平均速率为 v?
8kT8RT=(m·
s-1).?
m?
连续碰撞的时间间隔为:
t?
v=×
10-10(s). 10.16在标准状态下CO2气体分子的平均自程?
10-8m,求两次碰撞之间的平均时间和CO2 气体分子的有效直径. [解答]C的原子量是12,O的原子量是16,CO2的分子量是44,摩尔质量为μ=·
mol-1,其平均速率为 v?
两次碰撞之间的平均时间为:
根据公式?
10-10(s). kT,可得CO2气体分子的有效直径为22?
dpd?
kT=×
10-10(m).2?
p 10.17容器贮有O2气,其压强为×
105Pa,温度为27℃,有效直径为d=×
10-10m,求:
单位体积中的分子数n;
氧分子质量m;
气体密度ρ;
分子间平均距离l;
最 2可几速率vp;
平均速率v;
方均根速率v;
分子的平均总动能?
;
分子平均碰撞 频率z;
分子平均自程?
. [解答]p=nkT得单位体积中的分子数为:
n=p/kT=×
10-25(m-3).氧分子的原子质量单位是32,一质量单位是u=×
10-27kg,分子的质量为 m=32u=×
10-26(kg). 根据理想气体状态方程pV?
RT,氧的摩尔质量μ=kg·
mol-1,其密度为 ?
Mp?
=(kg·
m-3).VRT一个分子占有体积为v=1/n,设想分子整齐排列,则分子间的平均距离为l=(1/n)1/3=×
10-9(m). 2kT=(m·
s-1).m8kT平均速率为:
s-1). ?
m最可几速率为:
vp?
3kT=(m·
s-1).mi分子的自度为i=5,平均总动能为:
10-20(J). 22分子平均碰撞频率为:
z?
2?
dnv=×
109(s-1). kT-7 分子平均自程为:
dp方均根速率为:
2 10.18设氢的范德瓦耳斯常量b值为1mol气体体积总和的4倍.将气体分子看作刚球,试计算H2分子的直径.. 23 [解答]1mol气体有NA=×
10个分子,设分子直径为d,将分子当作刚性球体,则有 4d3b1/3b?
4NA?
()3,可解得分子直径为:
d?
2()=×
10-10(m). 3216?
NA 10.191mol气体在0℃时的体积为,试用范德瓦耳斯方程计算它的压强.再将它看作理想气体,压强又为多少?
[解答]气体体积为v=×
10-3m-3.根据范氏方程(p?
可得压强为:
p?
a)(v?
b)?
RT,v2RTa?
2=×
106(Pa).v?
bvRT而理想气体的压强为:
106(Pa). v 第十一章热力学基础 11.1一系统如图所示的状态a沿abc到达c,有350J热量传入系统,而系统对外做功126J.经adc,系统对外做功42J,问系统吸热多少?
当系统状态c沿曲线ac回到状态a时,外界对系统做功为84J,问系统是吸热还是放热,在这一过程中系统与外界之间的传递的热量为多少?
p[解答]当系统状态a沿abc到达c时,根据热力学第一定律,吸收cb的热量Q和对外所做的功A的关系是:
Q=ΔE+A,其中ΔE是内能的增量.Q和A是过程量,也就是与系统经历的过程有关,而ΔEda是状态量,与系统经历的过程无关.VO当系统沿adc路径变化时,可得:
Q1=ΔE1+A1, 图这两个过程的内能的变化是相同的,即:
ΔE1=ΔE, 将两个热量公式相减可得系统吸收的热量为:
Q1=Q+A1-A=266(J). 当系统状态c沿曲线ac回到状态a时,可得:
Q2=ΔE2+A2,其中,ΔE2=-ΔE,A2=-84(J),可得:
Q2=-(Q–A)+A2=-308(J),p/Pa可见:
系统放射热量,传递热量的大小为308J.m2×
1051 11.21mol氧气状态1变化到状态2,所经历的过程如图,一次沿1×
10521→m→2路径,另一次沿1→2直线路径.试分别求出这两个过程中系统3V/mO吸收热量Q、对外界所做的功A以及内能的变化E2-E1.-2-21×
105×
10[解答]根据理想气体状态方程pV=RT,可得气体在状态1和2的温 图 度分别为 T1=p1V1/R和T2=p2V2. 氧气是双原子气体,自度i=5,于内能是状态量,所以其状态从1到2不论从经过什么路径,内能的变化都是 ?
E?
V2iiR(T2?
T1)?
(p2V2?
p1V1)=×
103(J).22系统状态从1→m的变化是等压变化,对外所做的功为 A?
pdV?
p(V2?
V1)=×
103(J). V1系统状态从m→2的变化是等容变化,对外不做功.因此系统状态沿1→m→2路径变化时,对外做功为 ×
103J;
吸收的热量为 Q=ΔE+A=×
104(J). 系统状态直接从1→2的变化时所做的功就是直线下的面积,即 A?
1(p2?
p1)(V2?
103(J).2吸收的热量为 Q=ΔE+A=×
104(J). 11.31mol范氏气体,通过准静态等温过程,体积V1膨胀至V2,求气体在此过程中所做的功?
[解答]1mol范氏气体的方程为 (p?
RT,2vV2通过准静态等温过程,体积V1膨胀至V2时气体所做的功为 A?
pdv?
V1V2V1RTaa(?
2)dv?
RTln(v?
bvvV2?
RTlnV1V2?
b11?
a(?
).V1?
bV2V1 11.41mol氢在压强为×
105Pa,温度为20℃时的体积为V0,今使其经以下两种过程达同一状态:
先保持体积不变,加热使其温度升高到80℃,然后令其作等温膨胀,体积变为原体积的2倍;
先使其作等温膨胀至原体积的2倍,然后保持体积不变,升温至80℃. 试分别计算以上两过程中吸收的热量,气体所做的功和内能增量.将上述两过程画在同一p-V图上并说明所得结果. [解答]氢气是双原子气体,自度i=5,于内能是状态量,所以不论从经过什么路径从初态到终态,内能的增量都是piT2?
R(T2?
T1)=×
103(J). 2气体先做等容变化时,对外不做功,而做等温变化时,对外所做的功为 A2?
RT2?
V1V2V2V11dV?
RT2ln2=×
103(J),VT1OV0V2V0所吸收的热量为 Q2=ΔE+A2=×
103(J). 气体先做等温变化时,对外所做的功为 A1?
RT1?
RT1ln2=×
103(J),V所吸收的热量为 Q1=ΔE+A1=×
103(J). 如图所示,气体在高温下做等温膨胀时,吸收的热量多些,曲线下的面积也大些. 11.5为了测定气体的γ,可用下列方法:
一定量气体,它的初始温度、体积和压强分别为T0,V0和p0.用一根通电铂丝对它加热,设两次加热电流和时间相同,使气体吸收热量保持一样.第一次保持气体体积V0不变,而温度和压强变为T1,p1;
第二次保持压强p0不变,而温度和体积则变为T2,V2,证明:
(p1?
p0)V0. (V2?
V0)p0(dQ)V,dT[证明]定容摩尔热容为CV?
在本题中为CV=ΔQ/(T1–T0);
定压摩尔热容为Cp?
(dQ)pdT,在本题中为Cp=ΔQ/(T2–T0). 对于等容过程有:
p1/T1=p0/T0, 所以:
T1=T0p1/p0;
对于等压过程有:
V2/T2=V0/T0,所以 T2=T0V2/V0. 因此 ?
CpCV?
T1?
T0T0p1/p0?
T0(p1?
p0)V0. 证毕.?
T2?
T0T0V2/V0?
T0(V2?
V0)p0 11.6理想气体的既非等温也非绝热的过程可表示为pVn=常数,这样的过程叫多方过程,n叫多方指数. 说明n=0,1,γ和∞各是什么过程. p1V1?
p2V2. n?
n),证明:
多方过程中理想气体的摩尔热容量为:
C?
CV(1?
n证明:
多方过程中理想气体对外做功:
A?
并就此说明中各过程的值. [解答]当n=0时,p为常数,因此是等压过程;
当n=1时,根据理想气体状态方程pV=RT,温度T为常数,因此是等温过程;
当n=γ时表示绝热过程;
当n=∞时,则有p1/nV=常数,表示等容过程. [证明]对于多方过程有 pVn=p1V1n=p2V2n=C(常数), 理想气体对外所做的功为 V2V2A?
V1?
CV?
ndV?
V1pV?
pVC(V21?
n?
V11?
n)?
1122.证毕.1?
nn?
1[证明]对于一摩尔理想气体有pV=RT,因此气体对外所做的功可表示为:
气体吸收的热量为 RT1?
RT2, n?
1i1R(T2?
T1),21?
nQi1i?
in摩尔热容量为:
)R?
R T2?
T121?
n2(1?
n)(i?
2)/i?
ni?
R?
CV.证毕. 1?
n21?
nQ=ΔE+A= 11.7一气缸内贮有10mol的单原子理想气体,在压缩过程中,外力做功209J,,气体温度升高1℃.试 计算气体内能增量和所吸收的热量,在此过程中气体的摩尔热容是多少?
[解答]单原子分子的自度为i=3,一摩尔理想气体内能的增量为 ?
iR?
T=(J),210mol气体内能的增量为. 气体对外所做的功为A=-209J,所以气体吸收的热量为 Q=ΔE+A=-(J). 1摩尔气体所吸收的热量为热容为-,所以摩尔热容为 C=-(J·
mol-1·
K-1). 11.8一定量的单原子分子理想气体,从初态A出发,沿图示直线过程变到另一状态B,又经过等容、等压过程回到状态A. A→B,B→C,C→A,各过程中系统对外所做的功A,内能的增量ΔE以及所吸收的热量Q.整个循环过程中系统对外所做的总功以及从外界吸收的总热量.[解答]单原子分子的自度i=3. p/105Pa在A→B的过程中,系统对外所做的功为AB直线下的面积,即B3AAB=(pA+pB)(VB–VA)/2=200(J), 2内能的增量为:
EAB?
iMiR(TB?
TA)?
(pBVB?
pAVA)=750(J). 22?
1OA吸收的热量为:
QAB=ΔEAB+AAB=950(J). B→C是等容过程,系统对外不做功.内能的增量为 CV/10-3m321图 ?
EBC?
iMiR(TC?
TB)?
(pCVC?
pBVB)=-600(J). 22?
吸收的热量为:
QBC=ΔEBC+ABC=-600(J),即放出600J的热量. C→A是等压过程,系统对外做的功为 ACA=pA(VA–VC)=-100(J).内能的增量为:
ECA?
iMiR(TA?
TC)?
(pAVA?
pCVC)=-150(J). 22?
吸收的热量为:
QCA=ΔECA+ACA=-250(J),也就是放出250J的热量. 对外做的总功为:
A=AAB+ABC+ACA=100(J).吸收的总热量为:
Q=QAB+QBC+QCA=100(J). 此可见:
当系统循环一周时,内能不变化,从外界所吸收的热量全部转化为对外所做的功.11.91mol单原子分子的理想气体,经历如图所示的的可逆循环,连接ac两点的曲线Ⅲ的方程为p=22 p0V/V0,a点的温度为T0. pbII以T0,R表示Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ过程中气体吸收的热量.c9p0求此循环的效率. I[解答]题可知:
p0V0=RT0. IIII是等容过程,系统不对外做功,内能的变化为 ap0ii?
EI?
R(Tb?
Ta)?
(pbV0?
RT0)VO22V0?
i(9p0V0?
RT0)?
12RT0.2图 吸收的热量为:
QI=ΔEI=12RT0. II是等容过程,根据III的方程,当pc=9p0时,Vc=3V0.系统对外所做的功为AII=pb(Vc-Vb)=9p02V0=18RT0.内能的变化为 ?
EII?
iiiR(Tc?
Tb)?
(pcVc?
pbVb)?
9p02V0?
27RT0. 222吸收的热量为:
QII=ΔEII+AII=45RT0. 在过程III中,系统对外所做的功为 VaAIII?
Vc?
p0a2p26pdV?
VdV?
02(Va3?
Vc3)?
RT0. V0Vc3V03V内能的变化为 ?
EIII?
iiiR(Ta?
Tc)?
(RT0?
pcVc)?
9p03V0)?
39RT0. 222吸收的热量为:
QIII=ΔEIII+AIII=-143RT0/3. 系统对外做的总功为:
A=AI+AII+AIII=28RT0/3,系统从高温热源吸收的热量为:
Q1=QI+QII=57RT0,循环效率为:
A=%.Q111.101mol理想气体在400K和300K之间完成卡诺循环.在400K等温线上,初始体积为1×
10-3m3,最后体积为
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