立体几何与直线平行与垂直资料Word格式文档下载.docx
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(1)异面直线所成的角是90°
.
(2)线面垂直,则线线垂直.
10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
(1)MN∥AD1;
(2)M是AB的中点.
11.如图所示,设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧,AA′⊥α于A′,BB′⊥α于B′,CC′⊥α于C′,G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心,求证:
GG′⊥α.
12.如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点,
平面DMN∥平面ABC.
13.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.
(1)求证:
MN⊥平面A1BC;
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小.
1.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理,可以并入平行推导链中,实现平行与垂直的相互转化,即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行.
2.“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题.但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题.
10.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点.
平面BEF⊥平面BGD.
11.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°
,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=
(1)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P的大小.
12.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
13.如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°
,∠BCA=90°
,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.
BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角?
并说明理由.
1.证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.
(2)面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法:
先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;
若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论依据并有利于证明,不能随意添加.
3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的的.
10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
BC⊥AB.
11.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°
且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:
BG⊥平面PAD;
(2)求证:
AD⊥PB.
12.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=120°
,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=
a,E为PA的中点.求证:
平面EDB⊥平面ABCD.
13.如图所示,在多面体P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4
(1)设M是PC上的一点,
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P—ABCD的体积.
1.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理,应用时应注意:
(1)两平面垂直;
(2)直线必须在一个平面内;
(3)直线垂直于交线.
2.此定理另一应用:
由一点向一个平面引垂线,确定垂足位置是求几何体高的依据.
3.1.1 倾斜角与斜率
【课时目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.
1.倾斜角与斜率的概念
定义
表示或记法
倾
斜
角
当直线l与x轴________时,我们取________作为基准,x轴________与直线l________________之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°
α
斜率
直线l的倾斜角α(α≠90°
)的____________
k=tanα
2.倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角
(范围)
α=0°
0°
<
α<
90°
α=____
180°
大于0
斜率不
存在
小于0
一、选择题
1.对于下列命题
①若α是直线l的倾斜角,则0°
≤α<
;
②若k是直线的斜率,则k∈R;
③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率;
④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
2.斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(-1,b)三点,则a、b的值为( )
A.a=4,b=0B.a=-4,b=-3
C.a=4,b=-3D.a=-4,b=3
3.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°
,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°
-α
D.当0°
135°
时,倾斜角为α+45°
当135°
时,倾斜角为α-135°
4.直线l过原点(0,0),且不过第三象限,那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A.[0°
,90°
]B.[90°
,180°
)
C.[90°
)或α=0°
D.[90°
,135°
]
5.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则( )
A.k1<
k2<
k3B.k3<
k1<
k2
C.k3<
k1D.k1<
k3<
6.直线mx+ny-1=0同时过第一、三、四象限的条件是( )
A.mn>
0B.mn<
C.m>
0,n<
0D.m<
二、填空题
7.若直线AB与y轴的夹角为60°
,则直线AB的倾斜角为____________,斜率为____________.
8.如图,已知△ABC为等腰三角形,且底边BC与x轴平行,则△ABC三边所在直线的斜率之和为________.
9.已知直线l的倾斜角为α-20°
,则α的取值范围是________________________.
10.如图所示,菱形ABCD中,∠BAD=60°
,求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
11.一条光线从点A(-1,3)射向x轴,经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1),求P点的坐标.
12.已知实数x,y满足y=-2x+8,当2≤x≤3时,求
的最大值和最小值.
13.已知函数f(x)=log2(x+1),a>
b>
c>
0,则
,
的大小关系是________________.
1.利用直线上两点确定直线的斜率,应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论,斜率不存在的情况在解题中容易忽视,应引起注意.
2.三点共线问题:
(1)已知三点A,B,C,若直线AB,AC的斜率相同,则三点共线;
(2)三点共线问题也可利用线段相等来求,若|AB|+|BC|=|AC|,也可断定A,B,C三点共线.
3.斜率公式的几何意义:
在解题过程中,要注意开发“数形”的转化功能,直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征,利用这种特征来处理问题更直观形象,会起到意想不到的效果.
两条直线平行与垂直的判定
【课时目标】 1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.
1.两条直线平行与斜率的关系
(1)对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1、k2,有l1∥l2⇔________.
(2)如果直线l1、l2的斜率都不存在,并且l1与l2不重合,那么它们都与________垂直,故l1________l2.
2.两条直线垂直与斜率的关系
(1)如果直线l1、l2的斜率都存在,并且分别为k1、k2,那么l1⊥l2⇔__________.
(2)如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在,另一个斜率是零,那么l1与l2的位置关系是________.
1.有以下几种说法:
(l1、l2不重合)
①若直线l1,l2都有斜率且斜率相等,则l1∥l2;
②若直线l1⊥l2,则它们的斜率互为负倒数;
③两条直线的倾斜角相等,则这两条直线平行;
④只有斜率相等的两条直线才一定平行.
以上说法中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.0
2.以A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
3.已知A(1,2),B(m,1),直线AB与直线y=0垂直,则m的值( )
A.2B.1C.0D.-1
4.已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则m的值为( )
A.1B.0C.0或2D.0或1
5.若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2,且l1⊥l2,则有( )
A.α1-α2=90°
B.α2-α1=90°
C.|α2-α1|=90°
D.α1+α2=180°
6.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)所构成的图形是( )
A.平行四边形B.直角梯形
C.等腰梯形D.以上都不对
7.如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为________.
8.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b=________;
若l1∥l2,则b=________.
9.已知直线l1的倾斜角为60°
,直线l2经过点A(1,
),B(-2,-2
),则直线l1,l2的位置关系是____________.
10.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.
11.已知△ABC的顶点坐标为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,试求m的值.
12.已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则其顶点A的坐标为________.
13.已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使四边形ABCD为直角梯形.
判定两条直线是平行还是垂直要“三看”:
一看斜率是否存在,若两直线的斜率都不存在,则两直线平行,若一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,则两直线垂直;
斜率都存在时,二看斜率是否相等或斜率乘积是否为-1;
两直线斜率相等时,三看两直线是否重合,若不重合,则两直线平行.
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