数值分析习题Word格式文档下载.docx
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算sin0.3367的值并估计截断误差。
(拉格朗口二次插值)
TT7T
5用余弦函数cosx在x0=0,呂=—,X.=-三个节点处的值,写出二次拉格朗口插值4■2
多项式,并近似计算cos兰及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。
(拉格朗
6
口二次插值)
6已知函数值/(0)=6J(l)=10J(3)=46J(4)=82J(6)=212,求函数的四阶均差
/[0,1,3,4,6]和二阶均差/[4丄3]o(均差的计算)
7设/(X)=(x-xQ)(x-xk)-\x-xn)求f[xQxk-xp]之值,其中p<
n+\,而节点兀(心0丄…〃+1)互异。
(均差的计算)
8如卜函数值表
X
2
4
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。
(牛顿插值多项式的构造)
9求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件:
卩
(1)=2,卩
(2)=4,
“'
(2)=3,“(3)=12。
(插值多项式的构造)
10构造一个三次多项式H(X),使它满足条件H(0)=l,H(l)=0,H
(2)=l,H'
(l)=l(埃尔米特插值)。
11设f(x)=x^9x0=1/4,^=l,x2=9/4o⑴试求/(切在[1/4,9/4]上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得H(x;
)=f(x;
),j=0,1,2,//XxJ=/Vi)»
H(x)以升幕形式给出。
(2)写出余项R(x)=f(x)-H(x)的表达式。
(埃尔米特插值及其余项的计算)。
12若f(x)ec2[a,b],f(a)=f(b)=0,试证明:
max|f(x)\<
-(b-a)2max|fn(x)|(插值余项的应用)
13设/(-2)=-l,/(0)=l,/
(2)=2,求p(x)使pU)=/U)(r=0,1,2);
又设|厂(x)卜M,则估计余项r(x)=f(x)-p(x)的大小。
(插值误差的估计)
第三章函数逼近
最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。
1设/(x)=sin加,求/(切于[0,1]±
的线性最佳平方逼近多项式。
(最佳平方逼近)
2令f(x)=ex且设p(x)=aQ+a.x,求兔使得p(x)为/(x)T[-1,1]
上的最佳平方逼近多项式。
3证明:
切比雪夫多项式序列
7}(x)=cos伙aiccosx)
在区间[-1,1]上带权p(x)=1正交。
(正交多项式的证明)
yJl-X2
xk+x2=3
4求矛盾方程组:
<“+2心=4的最小二乘解。
(最小二乘法)
[“-心=2
5已知一组试验数据
19
25
31
38
44
儿
32.3
49
733
97.8
(最小二乘二次逼近)
第四章数值积分
代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造。
1给定求积公式af(-h)+"
(0)+cf(h)试确定ab,c使它的代数精度尽可能高。
(代数精度的应用和计算)
2求积公式jy(x)dx〜A°
/(O)+4/(l)+Bo/'
(O),试确定系数观,人及使该求积公式具有尽町能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。
3数值积分公式J:
/(x)dxQ^[/(l)+/
(2)],是否为插值型求积公式,为什么?
又该公式的代数精确度为多少?
(插值型求积公式特征)
4女U果厂(x)>
0,证明用梯形公式计算积分ff(x)dx所得到的结果比准确值人,并说明其几何意义。
(梯形求积)
5用n=4的复化梯形公式计算积分并估计误差。
(复化梯形求积)
6设/(-I)=1,/(—0.5)=4,/(0)=6,/(0.5)=9,/⑴=2,则用复化辛甫生公式计算
若有常数M使\f(4)\<
M,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。
(复化辛甫生公式)
7已知高斯求积公式J/(x)d.s/(0.57735)+/(—0.57735)将区间[0,1]二等分,用复
-1
化高斯求枳法求定积分Jyf^dx的近似值。
(高斯公式)
8试确定常数A,B,C和使得数值积分公式f(x)dx^Af(-a)+Bf(0)+Cf(a)有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少?
它是否为高斯型的?
(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)
9设{P”(x)}是[0,1]区间上带权p(%)=x的最高次幕项系数为1的正交多项式系
(1)求R(x)o
(2)构造如下的高斯型求积公式^xf{x)dx»
A0/(x0)+o(高斯求积)
第五章线性方程组的直接解法
高斯消去法,LU分解法,平方根法和追赶法解线性方程组。
'
310'
-T
4试用“追赶法”解方程组Ax=b,其中:
4=
241
b=
7
025
(追赶法的应用)
n厶(范数的性质)
HII
7求证:
||班引州•刿L。
(范数的性质)
的计算)
9方程组Ax=b,
其中AgRnxn,A是对称的且非奇异。
设4有误差朋,则原方程组变
化为(4+&
)©
+&
)=b,其中&
为解的误差向量,试证明:
„11112„<
卜+叫
中人和血分别为4的按模最人和最小的特征值。
(范数的性质,误差的分析)
10证明:
若A=(aij)nXll为严格对角占优矩阵,则4非奇异。
(严格对角占优矩阵的性质)
第六章线性方程组的迭代解法
雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组,及其收敛性讨论。
性判断)
2若用雅可比迭代法求解方程组+%疋=?
(①“,丰0)迭代收敛的充要条件是
[ci2lxL+a22x2=b2
3用雅可比、高斯-塞德尔迭代法,求解方程组
+2x2=3
\3xt+2x2=4
是否收敛?
为什么?
若将方程组改变成为
再用上述两种迭代法求解是否收敛?
(雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性)
_410
(雅可比迭代收敛
4证明解线性方程组Ax=b的雅可比迭代收敛,其中4=121
011
121
5已知方程组Ax=b,其中,b=
0.312
(1)试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。
⑵若有迭代公式⑷+b),试确定a的取值范围,使该迭代公式收敛。
(雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论)
(Ia、
6给出矩阵4=a,(幺为实数),试分别求出必的取值范围:
⑵1丿
(1)使得用雅可比迭代法解方程组Ax=b时收敛;
(2)使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Ar=/?
时收敛。
(雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论)
—21,1
7设人=,b=
122
⑴设x⑷是由雅可比迭代求解方程组Ax=b所产生的迭代向量,且xw=(Ll)r,试写
出计算x⑷的精确表达式。
⑵设H是Ax=b的精确解,写出误差卜⑹-x*|L的精确表达式。
⑶如构造如下的迭代公式⑷+忒加⑷-b)解方程组Ax=b,试确定Q的范
围,使迭代收敛。
(雅可比迭代及其收敛判断)
i
x{+2x2-2x3=1
Xl+x2+x.=2
2旺+2x2+x3=3
(1厂讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
(2)对收敛的方法,取初值x⑼=(1,0,0)丁,迭代两次,求出x⑴/⑺,x⑶。
(雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较)
9证明对称矩阵
"
1aa
A=a1a
aa1
当一丄vav1为正定矩阵,且只有当-丄vac丄时,用雅可比迭代法求解方程组Ax=b
222
才收敛。
(雅可比迭代法的收敛性)
第七章非线性方程求根
习题主要考察点:
二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根,迭代法求根的收敛性和收敛速度
的讨论。
1用二分法求方程X2-X-l=0的正根,要求误差小于0.05o(二分法)
2说明方程X2+111X-4=O在区间[1,2]内有惟一根并选用适当的迭代法求T(精
确至3位有效数),并说明所用的迭代格式是收敛的。
(迭代法)
3设有解方程12-3x+2cosx=0的迭代法£
+]=4+yCosx,,
(1)证明eR均有
lim£
=F(F为方程的根)。
(2)此迭代法的收敛阶是多少,证明你的结论。
(3)取x0=4
用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过10一‘,列出各次迭代值。
(和收敛性讨论)
4设=max|0(x)|=^<
1,试证明:
由xll+l=(p{xn)“=0,1,…,得到的序
列{兀}收敛于(收敛性证明)
5设方程3-3a-2shix=0在[0,1]内的根为若采用迭代公式x,t+1=l--smx„,试证明:
V%0eR均有lHnxrf=/(%为方程的根);
此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。
(迭代法和收敛性讨论)
6方程a-3-a-2-1=0在x°
=1.5附近有根,把方程写成3种不同的等价形式:
(1)X=1,对应迭代格式:
=1r
对X;
⑵X3=1+X2,对应迭代格式:
=寸1+兀;
(3)X2=——,对应迭代格式:
£
+1=1—-—
兀-1v-1
讨论这些迭代格式在x0=1.5时的收敛性。
若迭代收敛,试估计其收敛速度,选一种收敛格
式计算出=1.5附近的根到4位有效数字。
(收敛速度的计算和比较)
7设f(x)=(x5-a)2
(1)写出解/(x)=0的牛顿迭代格式;
(2)证明此迭代格式是线性收敛的。
(牛顿迭代的构造与收敛速度)
9用牛顿法求子的近似值,取Ao=10或11为初始值,计算过程保留4位小数。
(牛顿
迭代的构造)
10设F是非线性方程/(X)=0的m重根,试证明:
迭代法
=Xn
m”)
具有至少2阶的收敛速度。
(收敛速度证明)
11设F是非线性方程f(x)=0的m重根,证明:
用牛顿迭代法求”只是线性收敛。
(收敛
速度证明)
12设(p(a)=a,仪x)在d附近有直到〃阶的连续导数,且0‘(d)=...=0i⑷=0,
H0,试证:
迭代法£
+】=强心)在a附近是p阶收敛的。
第九章常微分方程数值解
欧拉方法的构造,单步法的收敛性和稳定性的讨论,线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。
1用改进的欧拉公式,求以下微分方程
2牙
卜(0)=1
的数值解(取步长h=0.2),并与精确解作比较。
(改进的尤拉公式的应用)
yf+v=1
2用四阶龙格一库塔法求解初值问题?
取A=0.2,求x=0.2,0.4时的数值解.
y(o)=0
要求写出由九X”儿直接计算儿十]的迭代公式,计算过程保留3位小数。
(龙格一库塔方
fy'
+y=0
3用梯形方法解初值问题{).,(0)=1
法的应用)
证明其近似解为儿=[斗],并证明当/7—0
12+/?
丿
时,它收敛于原初值问题的准确解y=
=—10y
4对于初值问题丿,证明当/?
<
0.2时,欧拉公式绝对稳定。
(显式和隐式欧拉公b(o)=1
式的稳定性讨论)
5证明梯形公式儿乂=儿+£
[/(£
儿)+/(汕,儿胡无条件稳定。
(稳定性讨论)
6设有常微分方程的初值问题=/(“)‘),试用泰勒展开法,构造线性两步法数值计算
)'
(兀)=儿
公式儿+】=欧儿+儿7)+/?
(0。
九+0』1),使其具有二阶精度,并推导其局部截断误差
主项。
(局部截断误差和主项的计算)
7已知初值问题
=2x
y(0)=0y(0.1)=0.01
取步长力=0.1,利用阿当姆斯公式儿知=儿+2(3/”一九T),求此微分方程在[0,10]
上的数值解,求此公式的局部截断误差的首项。
邙可当姆斯公式的应用)
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- 数值 分析 习题