水平宽铅垂高求三角形面积完整版Word格式.docx

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若不存在，请说明理曲.（4）如果点尸是

（2）中的抛物线上的动点，且在X轴的下方，那么△验是否有最大面积？

若有,求出此时尸点的坐标及△別5的最大面积；

若没有，请说明理由・

（2）设抛物线的解析式为尸祗3”，代入点方（1,石），得因此

（3）如图，抛物线的对称轴是直线A—1,当点。

位于对称轴与线段M的交点时，△必疋的周长最小.

设直线月万为尸炽b・所以

J因此直线妙为y=黑亠,

333

3

当沪一1时，尸£

因此点C的坐标为（一1,V3/3）.

（4）

如图，过尸作y轴的平行线交月万于0.

例2.（2014益阳）如图2,抛物线顶点坐标为点«

1,4）,交x轴于点4（3,0）,交y轴于点£

（1）求抛物线和直线初的解析式；

（2）点尸是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结丹1,PB,当尸点运动到顶点。

时，求万的铅垂高Q及

（3）是否存在一点只使若存在，求出尸点的坐标；

若不存

O

在，请说明理由.

解：

（1）设抛物线的解析式为：

y!

=«

（x-l）2+4把A（3,0）代

入解析式求得0=-1所以月=-（•¥

-1）2+4=-x2+2x+3设直

线M的解析式为：

旳=kx+b由儿=-x2+2x+3求得万点的坐标为（0,3）把4（3,0）,3（0,3）代入y2=kx+b中解得:

k=f

（2）因为C点坐标为（1,4）所以当x=l时，y】=4,yz=2所以

CD=4-2=2S1CAB=-x3x2=3（平方单位）

2

（3）假设存在符合条件的点只设尸点的横坐标为弘△別5的铅垂高为怡则

9

h=y}—y2=（一对+2x+3）—（―x+3）=一广+3x山5^3得

8

1QQQ

—x3x（-x2+3x）=—x3化简得：

4亍-12x+9=0解得，x=—x=—KA

2822

比=』+2“3中，解得尸点坐标为（|,乎）

例3.（2015江津）如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（l,0）,B（-3,0）

两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得AQAC的周长最小？

若存在，求出Q点的坐标；

若不存在，请说明理山.（3）在

（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一

点匕使△磁的面积最大？

若存在，求出点P的坐标及△磁的面积最大值•若没有，请说明理山.

•••抛物线解析式为：

y=-x2-2x+3

（2）存在。

理山如下：

山题知A.B两点关于抛物线的对称轴x=_l对称

•••直线BC与兀=-1的交点即为Q点，此时AAQC周长最小•••y=-x2-2x+3

•••C的坐标为：

（0,3）直线BC解析式为：

y=x+3Q点坐标即为＜

Y=—1

AQ（-b2）

y=2

（3）答：

存在。

理由如下:

了9

设F点（Xf—x—2x+3）（一3<

x<

0）.S负。

=S四边形—=S四边形叭。

—牙

若S四边形肿co有最大值，则比叭•就最大…••

S四边形bpco=Sr3pe+悌形peoc=2肚*PE+㊁OE（PE+OC）

1133927

=三（x+3）（—对—2x+3）+—（-x）（-x~—2x+3+3）=—三（x+—Y+—+—

222228

3叭c曰+估_927•c曰+_927927

|X=--llJ,S闷边形BPCO収人值一牙于瓦••人一匸

315315

当X=--W，—疋―2兀+3=上・••点P坐标为（—二，—）

2424

同学们可以做以下练习：

抛物线CP段（不

AAOC沿AC翻折得△APC。

（1）填空：

ZPCB二—度，P点坐标为（,）；

4

（2）若P,A两点在抛物线y二一一x'

+bx+c上，求b,c

此抛物线上;

（3）在

（2）中的

的值，并说明点C在

包括C,F点）

上，是否存在一点M,使得四边形MCAP的面积最大？

若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；

若不存在，请说明理山。

2.（湖北省十堰市2014）如图①，已知抛物线y=川+加+3（#0）与兀

轴交于点J（l,0）和点B（-3,0）,与y轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点"

，问在对称轴上是否存在点只使△C0为等腰三角形？

若存在，请直接写岀所有符合条件的点尸的坐标；

若不存在，请说明理

III-（3）如图②，若点尸为第二象限抛物纯上一动点，连接宓CE.求四边形万血面积的最大值，并求此时疋点的坐标.7

图②

图①

3.（2015年恩施）如图11,在平面直甦棕谕中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于川、B/\

两点，力点在原点的左侧，万点购#标为（3,\卩：

与y轴交于C（0,-3）点，点尸是直线应'

下方的抛物线0\

（1）求这个二次函数的表达式］

（2）连结尸0、PC,并把沿CO翻折，得到四边形POPG那么是否存在点只使四边形POPC为菱形？

若存在，请求岀此时点尸的坐标；

若不存在，请说明理山.

（3）当点尸运动到什么位置时，四边形如0的面积最大并求出此时尸点的坐标

和四边形月肿C的最大面积.

（1）将5C两点的坐标代入得

乙=一2

解得：

所以二次函数的表达式为：

y=x2-2x-3图11

c=一3

（2）存在点只使四边形POPC为菱形.设尸点坐标为（x,

2x-3）,〃交00于疋若四边形POPC是菱形，则有〃=P0.

疗警I（不合题意，舍

连结M则PE丄CO于E/.OE=EO7y=-2.

r.x2-2x-3=-1解得為二2丁9"

22

去）

・・.p点的坐标为（寸‘弓）

（3）过点尸作y轴的平行线与％交于点0,与0B交于点E设Pg

W-2x-3）,易得,直线恭的解析式为y=x-3则0点的坐标为（弘x—3）・

当x=-时，四边形月眈的面积最大

（31SA的最大值为兰

此时尸点的坐标为‘-二，四边形丽％的面积8.

U4丿

25.（2015绵阳）如图，抛物线y二/+bx+4与x轴的两个交点分别为月

（-4,0）、B（2,0）,与y轴交于点G顶点为05（1,2）为线段肚的中

点，恭的垂直平分线与x轴、y轴分别交于只G.

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点。

的坐标；

（2）在直线矿上求一点使△创的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当攵运动到什么位置时，△耐的面

【解析】

（1）山题意，得严一弘+4=0,解得“=_丄，b二一1・4“+2b+4=0,2

所以抛物线的解析式为y=-lx2-A-+4,顶点D的坐标为（一1,?

）.

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点乩使DH+CH最小，即最小为

DH+CH二DH+HB二BD=yiBM2+DM1=-y/\3•而

•••ACDH的周长最小值为CD+DR+CH二、厅护、订3

2所以直线BD的解析式为y二_Jx+3-由于BC二2®

CE二BC/2二$RtA

CEGs/XCOB,

得CE:

CO=CG:

CB,所以CG二，GO=.G（0,）.同理可求得直线EF的解析式为y二丄x+-.

联立直线BD与EF的方程，解得使ACDH的周长最小的点H（?

兰）.

48

（3）如图所示，设K（t,—丄八一/+4）,xFVtVxE.过K作x轴的垂线交EF于

N.

则KN=yK-yN=-1/2-/+4-（丄t+丄）+

222222

所以SAEFK二SAKFN+SAKNE二丄KN（t+3）+丄KN（1-t）二2KN二-f-3t

即当t二送时，8FK的面积最大，最大面积为普，此时K却•

平面直角坐标系中三角形面积的求法

我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题•解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.

1.有一边在坐标轴上：

例1：

如图1,平面直角坐标系中，AABC的顶点坐标分别为（一3,0）,（0,

3）,（0,-1）,求AABC的面积.

分析：

根据三个顶点的坐标特征可以看出，AABC的边BC在y由图形可得BC=4,点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就尾匚耳A点横坐标的绝对值3,然后根据三角形的面积公式求解.

2.有一边与坐标轴平行：

例2：

如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4,1）,B血匚車［匚1,2）,求ZXABC的面积.r

由A（4,1）,B（4,5）两点的横坐标相同，可知边AB_与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD,就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.?

?

3.三边均不与坐标轴平行：

彳列3:

巳知平面内三点A,BtC的坐标如图所示，求△4BC的面积.

由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直邇二n求边长，也无法求高，因此得另想办法.

4.

_

aAABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，I直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a）,中间的这h:

AABC内部线段的长度叫AABC的“铅垂高”（h）•我朮茴理应：

U•丄•丄•农'

一种计算三角形面积的新方法：

SAABc=-ah

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

例4：

已知：

直线Iny=-2x+6与x轴交于点A,直线L：

y二x+3与y轴交于点B,直线］a、b交于点C.

（I）建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标；

（1【）利用阅读材料提供的方法求AABC的面积.

5.巩固练习：

（1）已知：

如图，直线y=kx+b与反比例函数y=-（x<

0）的图象相交于点

A、点B,与兀轴交于点C,其中点A的坐标为

（I）试确定反比例函数的关系式;

（2）如图，在直角坐标平面内，函数y=-

A（l,4）,b）9其中a>

\.过点A作x轴垂线，垂足为C,过点B作y轴垂

线，垂足为£

>

连结AD，DC,CB.

若△ABD的面积为4,求点3的坐标；