浙教版数学八年级下册第2章《一元二次方程》单元检测卷 含答案Word文件下载.docx
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7.若m、n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为( )
A.0B.2C.﹣1D.3
8.自从国家实行“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走上了致富道路,据统计某地区2018年6月份有贫困人口2.85万人,通过社会各界的努力,2020年6月份统计贫困人口减少至0.73万人,若设2018年6月份到2020年6月份该地区贫困人口的年平均下降率为x,则根据题意可列方程为( )
A.2.85(1﹣2x)=0.73B.0.73(1+x)2=2.85
C.0.73(1+2x)=2.85D.2.85(1﹣x)2=0.73
9.某商场销售一批衬衣,平均每天可售出30件,每件衬衣盈利50元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衣降价10元,商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利2000元.每件衬衣应降价( )元.
A.10B.15C.20D.25
10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的有( )个.
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程;
②若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,则4m2+5mn+n2=0;
③若p、q满足pq=2,则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程;
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程,则必有2b2=9ac.
A.1B.2C.3D.4
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
11.关于x的方程(m+2)x|m|+2mx+2=0是一元二次方程,则m的值为 .
12.方程(1﹣x)2=9的根是 .
13.关于x的方程kx2﹣2x﹣1=0有实数根,其中k为非正整数,则满足条件的k的代数和为 .
14.代数式﹣x2+2x﹣4有最 值,最值是 .
15.如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,那么这个直角三角形的斜边长为 .
16.2021年元旦联欢会上,某班同学之间互赠新年贺卡,共赠贺卡1190张,设全班有x名同学,则可列方程为 .
17.由于新能源汽车越来越多,为了解决充电难的问题,现对一面积为12000m2的矩形停车场进行改造,将该矩形停车场的长减少20m,减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩,原停车场的剩余部分就变成了正方形,则原停车场的长是 m.
18.已知关于x的一元二次方程:
x2﹣2x﹣a=0,有下列结论:
①当a>﹣1时,方程有两个不相等的实根;
②当a>0时,方程不可能有两个异号的实根;
③当a>﹣1时,方程的两个实根不可能都小于1;
④当a>3时,方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.
以上4个结论中,正确的个数为 .
三.解答题(共6小题,满分46分)
19.(6分)按要求解下列方程:
(1)3x2+6x﹣4=0(配方法);
(2)(2x﹣1)2=x2+6x+9(因式分解法).
20.(6分)如图,长方形绿地长32m、宽20m,要在这块绿地上修建宽度相同且与长方形各边垂直的三条道路,使六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多少?
21.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根为x1,x2,且满足3x1﹣2x2=5,求实数m的值.
22.(8分)若a2+b2=c2,则我们把形如ax2+
cx+b=0(a≠0)的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
(1)当a=3,b=4时,写出相应的“勾系一元二次方程”;
(2)求证:
关于x的“勾系一元二次方程”ax2+
cx+b=0(a≠0)必有实数根.
23.(9分)某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.
(1)求A社区居民人口至少有多少万人?
(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:
A社区有1.2万人知晓,B社区有1万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两个月后,街道居民的知晓率达到76%,求m的值.
24.(9分)阅读下列材料:
(1)关于x的方程x2﹣3x+1=0(x≠0)方程两边同时乘以
得:
即
,
(2)a3+b3=(a+b)(a2﹣ab+b2);
a3﹣b3=(a﹣b)(a2+ab+b2).
根据以上材料,解答下列问题:
(1)x2﹣4x+1=0(x≠0),则
= ,
= ;
(2)2x2﹣7x+2=0(x≠0),求
的值.
参考答案
1.解:
A、方程2x2﹣x﹣y2=0含有2个未知数,所以A选项不符合题意;
B、方程整理为x2﹣2x=0,它为一元二次方程,所以B选项符合题意;
C、当a=0时,方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程,所以C选项不符合题意;
D、方程x﹣
=8含有分式,它不是一元二次方程,所以D选项不符合题意.
故选:
B.
2.解:
∵x2﹣6x﹣5=0,
∴x2﹣6x=5,
则x2﹣6x+9=5+9,即(x﹣3)2=14,
D.
3.解:
一元二次方程(x+2)(3x﹣1)=6化为一般形式后3x2﹣5x﹣8=0,其常数项为﹣8,
4.解:
因为x=2是一元二次方程x2+mx+4=0的一个解,
所以22+2m+4=0,
解得m=﹣4.
A.
5.解:
∵△=12﹣4×
(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等的两个实数根,
即x=
.
6.解:
∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0没有实数根,
∴△<0且k﹣1≠0,即△=4﹣4(k﹣1)<0且k≠1,
∴k>2,
C.
7.解:
∵m、n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,
∴m+n=﹣1,m2+m=1,
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=1﹣1=0.
8.解:
依题意得:
2.85(1﹣x)2=0.73.
9.解:
设每件衬衫应降价x元.
根据题意,得:
(50﹣x)(30+2x)=2000,
整理,得x2﹣35x+250=0,
解得x1=10,x2=25.
∵“增加盈利,减少库存”,
∴x1=10应舍去,
∴x=25.
答:
每件衬衫应降价25元.
10.解:
①解方程x2﹣x﹣2=0得,x1=2,x2=﹣1,得,x1≠2x2,
∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程;
故①不正确;
②若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,x1=2,
因此x2=1或x2=4,
当x2=1时,m+n=0,
当x2=4时,4m+n=0,
∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0,
故②正确;
③∵pq=2,则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0,
∴
,x2=﹣q,
因此是倍根方程,
故③正确;
④方程ax2+bx+c=0的根为:
若x1=2x2,则
∴9(b2﹣4ac)=b2,
∴2b2=9ac.
若2x1=x2时,则
则
∴b2=9(b2﹣4ac),
故④正确,
∴正确的有:
②③④共3个.
11.解:
∵关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程,
∴|m|=2且m+2≠0,
解得m=2.
故答案是:
2.
12.解:
∵(1﹣x)2=9,
∴1﹣x=3或1﹣x=﹣3,
解得x1=﹣2,x2=4,
故答案为:
x1=﹣2,x2=4.
13.解:
①当k=0时,原方程化为:
﹣2x﹣1=0,
解得:
x=﹣
,故k=0符合题意;
②当k≠0时,原方程为关于x的一元二次方程,
∵有实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4k×
(﹣1)=4+4k≥0,
k≥﹣1,
∵k为非正整数,k≠0,
∴k=﹣1.
∴满足条件的k的代数和为﹣1.
﹣1.
14.解:
﹣﹣x2+2x﹣4=﹣(x2﹣2x)﹣4=﹣(x2﹣2x+1)+1﹣4=﹣(x﹣1)2﹣3=﹣3﹣(x﹣1)2,
∵(x﹣1)2≥0,
∴﹣(x﹣1)2≤0,
∴﹣3﹣(x﹣1)2≤﹣3,
∴x=1时,代数式有最大值﹣3.
﹣3.
15.解:
∴x2﹣7x+12=0,
(x﹣3)(x﹣4)=0,
解得x1=3,x2=4,
当4是直角边的长时,则斜边长为
=5,
当4是斜边的长时,则斜边长为4,
4或5.
16.解:
由题意可得,
x(x﹣1)=1190,
x(x﹣1)=1190.
17.解:
设原矩形的长为x米,则宽为(x﹣20)米,根据题意得:
x(x﹣20)=12000,
x=120或x=﹣100(舍去),
120.
18.解:
∵x2﹣2x﹣a=0,
∴△=4+4a,
∴①当a>﹣1时,△>0,方程有两个不相等的实根,故①正确,
②当a>0时,两根之积<0,方程的两根异号,故②错误,
③方程的根为x=
=1±
∵a>﹣1,
∴方程的两个实根不可能都小于1,故③正确,
④当a>3时,由(3)可知,两个实根一个大于3,另一个小于3,故④正确,
故答案为3.
19.解:
(1)∵3x2+6x﹣4=0.
∴x2+2x=
配方得:
x2+2x+1=
+1,
即(x+1)2=
开方得:
x+1=±
∴原方程的解是:
x1=﹣1+
,x2=﹣1﹣
(2)∵(2x﹣1)2=x2+6x+9.
∴(2x﹣1)2﹣(x+3)2=0,
因式分解得(3x+2)(x﹣4)=0,
∴3x+4=0或x﹣4=0,
∴x1=﹣
,x2=4.
20.解:
设道路宽为xm,则六块绿地可合成长为(32﹣2x)m,宽为(20﹣x)m的长方形,
(32﹣2x)(20﹣x)=570,
整理得:
x2﹣36x+35=0,
x1=1,x2=35(不符合题意,舍去).
道路宽为1m.
21.解:
(1)∵方程有实数根,
∴△=25﹣4m≥0,
解得,m≤
;
(2)由一元二次方程根与系数的关系可知,x1+x2=5,x1•x2=m,
∵3x1﹣2x2=5,
∴3x1+3x2﹣5x2=5,
∴﹣5x2=﹣10,
解得,x2=2,
把x=2代入原方程得,m=6.
22.
(1)解:
当a=3,b=4时,c=±
5,相应的勾系一元二次方程为3x2±
5
x+4=0;
(2)证明:
根据题意,得△=(
c)2﹣4ab
=2(a2+b2)﹣4ab
=2(a﹣b)2≥0即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+
23.解:
(1)设A社区居民人口有x万人,则B社区有(7.5﹣x)万人,
7.5﹣x≤2x,
解得x≥2.5.
即A社区居民人口至少有2.5万人;
(2)依题意得:
1.2(1+m%)2+1×
(1+m%)×
(1+2m%)=7.5×
76%
设m%=a,方程可化为:
1.2(1+a)2+(1+a)(1+2a)=5.7
化简得:
32a2+54a﹣35=0
解得a=0.5或a=﹣
(舍)
∴m=50
m的值为50.
24.解;
(1)∵x2﹣4x+1=0,
∴x+
=4,
∴(x+
)2=16,
∴x2+2+
=16,
∴x2+
=14,
∴(x2+
)2=196,
∴x4+
+2=196,
=194.
故答案为4,14,194.
(2)∵2x2﹣7x+2=0,
=
,x2+
=(x+
)(x2﹣1+
)=
×
(
﹣1)=
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