绝对值的三角不等式.docx
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绝对值的三角不等式.docx
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绝对值的三角不等式绝对值的三角不等式学校:
临清二中学科:
数学编写人:
路云明审稿人:
马英济1.4绝对值三角不等式教学目标:
1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程;2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义;3.理解绝对值三角不等式;4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。
教学重点:
定理1的证明及几何意义。
教学难点:
换元思想的渗透。
教学过程:
一、引入:
证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:
(1)
(2)(3)(4)请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理?
实际上,性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此,只要能够证明对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题:
设为实数,和哪个大?
显然,当且仅当时等号成立(即在时,等号成立。
在时,等号不成立)。
同样,当且仅当时,等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中,常常利用、及绝对值的和的性质。
二、典型例题:
例1、证明
(1),
(2)。
证明
(1)如果那么所以如果那么所以
(2)根据
(1)的结果,有,就是,。
所以,。
例2、证明。
例3、证明。
思考:
如何利用数轴给出例3的几何解释?
(设A,B,C为数轴上的3个点,分别表示数a,b,c,则线段当且仅当C在A,B之间时,等号成立。
这就是上面的例3。
特别的,取c0(即C为原点),就得到例2的后半部分。
)探究:
试利用绝对值的几何意义,给出不等式的几何解释?
定理1如果,那么.在上面不等式中,用向量分别替换实数,则当不共线时,由向量加法三角形法则:
向量构成三角形,因此有a+ba+b其几何意义是什么?
含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。
例4、已知,求证证明
(1),
(2)由
(1),
(2)得:
例5、已知求证:
。
证明,由例1及上式,。
注意:
在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。
四、巩固性练习:
1、已知求证:
。
2、已知求证:
。
作业:
习题1.22、3、5学校:
临清二中学科:
数学编写人:
路云明审稿人:
马英济1.4绝对值三角不等式学案预习目标:
1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程;2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;3.理解绝对值三角不等式。
预习内容:
2.绝对值的几何意义:
10.实数的绝对值,表示数轴上坐标为的点A20.两个实数,它们在数轴上对应的点分别为,那么的几何意义是3.定理1的内容是什么?
其证法有几种?
4.若实数分别换成向量定理1还成立吗?
5、定理2是怎么利用定理1证明的?
探究学习:
1、绝对值的定义的应用例1设函数解不等式;求函数的最值2.绝对值三角不等式:
探究,之间的关系.时,如下图,容易得:
.时,如图,容易得:
.时,显然有:
.综上,得定理1如果,那么.当且仅当时,等号成立.在上面不等式中,用向量分别替换实数,则当不共线时,由向量加法三角形法则:
向量构成三角形,因此有它的几何意义就是:
定理1的证明:
定理2如果,那么.当且仅当时,等号成立.3、定理应用例2
(1)证明,
(2)已知,求证。
课后练习:
当成立的充要条件是ABCD对任意实数,恒成立,则的取值范围是;对任意实数,恒成立,则的取值范围是若关于的不等式的解集不是空集,则的取值范围是方程的解集为,不等式的解集是已知方程有实数解,则a的取值范围为。
画出不等式的图形,并指出其解的范围。
利用不等式的图形解不等式1、;2、解不等式:
1、;2、;3、;4、1、已知求证:
。
2、已知求证:
。
3、已知求证:
1、已知求证:
2、已知求证:
参考答案:
课后练习B.2、a33、a44、a75、-3x=-2或x=0x26、-3=a-17、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。
在第一象限内不等式等价于:
,.其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。
从而得到不等式的图形是以原点O为中心,四个等点分别在坐标轴上的正方形。
不等式解的范围一目了然。
探究:
利用不等式的图形解不等式1.;2答案:
1、-0.5x0.52.为一菱形区域。
8、1、0x-1/23、x04、x-21、已知求证:
。
证明,由例1及上式,。
2、3(解答略)10、(解答略)
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- 关 键 词:
- 绝对值 三角 不等式