普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅱ卷数学试题文科解析版文档格式.docx
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2
D.
【答案解析】A.
∵数列{an}是等差数列,公差等于2
∴a2=a1+2,a4=a1+6,a8=a1+14
∵a2,a4,a8
成等比数列
∴a2=a⋅a⇒(a+6)2=(a+2)(a
+14)
428111
解得a1=2⇒an=2+(n-1)⋅2=2n(2+2n)⋅n
∴Sn=2=n(n+1)
考查等差数列的通项公式与求和公式,中等题.
6.如图,网格纸上正方形小格子的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛胚切削而得到,则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为()
175
A.B.
279
101
C.D.
273
毛胚的体积V=π⋅32⋅6=54π
制成品的体积
V=π⋅32⋅2+π⋅22⋅4=34π
1
∴切削掉的体积与毛胚体积之比为:
1-V1=1-34π=10
,故选C.
V54π27
考查三视图于空间几何体的体积,中等题.7.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为
的体积为()
,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1
3
A.3B.
C.1D.
∵正三棱柱的底面边长为2,D为BC中点
∴AD==
∵B1C1=2,CC1=
11
∴SBDC
=2⋅B1C1⋅CC1=2⋅2⋅=
∴VABC
=3⋅SBDC
⋅AD=⋅
3⋅=1
.故选C.
1111
考查空间点,线,面关系和棱锥体积公式,中等题.
8.执行右图的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.7
【答案解析】D.解析:
第1次循环M=2,S=5,k=1第2次循环,M=2,S=7,k=2
第3次循环k=3>
2,故输出S=7,故选D.考点:
考查算法的基本知识,简单题.
⎧x+y-1≥0
⎪
9.设x,y满足约束条件⎨x-y-1≤0
⎩
⎪x-3y+3≥0
,则z=2x+y的最大值为()
A.8B.7C.2D.1
作图即可.
考查二元一次不等式组的应用,中等题.
10.设F为抛物线C:
y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°
的直线交C于A,B两点,则|AB|=
()
A.B.6C.12D.73
【答案解析】C.解析:
∵y2=3x
∴抛物线C的焦点的坐标为:
F(3
4
0)
所以直线AB的方程为:
y=tan30︒(x-)
⎧
⎪y=
故⎨
3(x-3)
34
⎪y2=3x
12
从而16x2-168x+9=0⇒x+x
=21
∴弦长|AB|=x1+x2+2=12
考查抛物线的几何性质,弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力,难度为中等题.
11.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
【答案解析】D.
f(x)=kx-lnx
∴f'
(x)=k-1(x>
0)
x
f(x)在区间(1,+∞)上递增
∴f(x)在区间(1,+∞)上恒大于等于0,
(x)=k-1≥0⇒k≥1(∀x∈(1,+∞))
xx
∴k≥1
故选D.
考查导数与函数单调性的关系.中等题.
00
12.设点M(x,1),若在园O:
x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°
,则x的取值范围是
A.[-1,1]
B.[-
1,1]
22
C.[-
2,2]
D.[-,]22
设N点的坐标为(cosθ,sinθ)
(1)当x0≠0,±
1时
∵M点的坐标为(x0,1)
1-sinθ
∴OM,MN的斜率分别为:
kOM=x
kMN=x
-
cosθ
∵∠OMN=45︒
∴tan45︒=±
kMN-kOM
⇒±
(k
-k)=1+kk
1+kMNkOM
MNOMMNOM
即±
(
1-sinθ-1)=1+1-sinθ⋅1
(*)
x0-cosθx0x0-cosθx0
000
取正号时,化简(*)式得:
(1+x)cosθ+(1-x)sinθ=1+x2
取负号化简(*)式得:
(x-1)cosθ+(1+x)sinθ=1+x2
∴
故|x0|<
且x0≠0
sin(θ+ϕ)=1+x2
≥1+x2⇒x4≤1⇒|x|≤1
(2)当x0=0时,取N(1,0),此时满足题设.
(3)当x0=±
1时,取N(0,1),此时也满足题设.
综上所述,-1≤x0≤1
,故选A.
从上面解法可以看到选择N的几个特殊位置观察,即可以猜出答案,这样就可以简化解法.考点:
考查应用斜率与倾斜角的概念,直线方程,园的方程,分析问题的能力.困难题.
第II卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.甲乙两名运动员各自从红,白,蓝3种颜色的运动服从选择1种,则他们选择相同颜色的运动服的概率为.
【答案解析】.
P==1.
3⋅33
考查古典概型的概念.简单题.
14.函数f(x)=sin(x+ϕ)-2sinϕcosx的最大值为.
【答案解析】1
因为f(x)=sinxcosϕ+cosxsinϕ-2sinϕcosx
=sinxcosϕ-sinϕcosx=sin(x-ϕ)
所以最大值为1.
考查和差角公式,简单题.
15.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.
【答案解析】3
解析:
因
f(x)
是偶函数,所以
f(-1)=f
(1)
,因f(x)关于
x=2
,所以
f
(1)=f(2⋅2-1)=f(3)=3.
考查偶函数的概念,轴对称的概念.简单题.
n
16.数列{an}满足an+1=1-a,a2=2,则a1=.
【答案解析】
∵an+1=1-a
,a2=2
111
∴a2=1-a
⇒2=
1-a1
⇒a1=2
考查递推数列的概念,简单题.三、解答题(本大题共8小题)
17.(12分)
四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(I)求C和BD;
(II)求四边形ABCD的面积.
【答案解析】解析:
(I)
AB=1,BC=3,CD=DA=2,A+C=180︒
∴BD2=BC2+CD2-2BC⋅CDcosC
BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcos(180︒-C)
∴22+32-2⋅3⋅2cosC=12+22+2⋅1⋅2cosC
∴cosC=1⇒C=60︒2
∴BD2=22+32-2⋅3⋅2cos60︒=7⇒BD=
(II)由(I)得,四边形ABCD的面积S=
=1⋅1⋅2sin(180︒-60︒)+1⋅2⋅3sin60︒=222
考查余弦定理的应用,中等题.
18.(12分)
AB⋅ADsinA+
BC⋅DC⋅sinC
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD中点.
(I)证明:
PB||平面AEC;
(II)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.
(I)连接EF,因为四边形ABCD是矩形,故F为AC中点,又因为E为PD
中点,故EF是△PBD的中位线,从而EF||PB,故PB||面AEC.
(II)设AB=a,因AD=3,PA=1
1111
则VP-ABD=
所以a=3
⋅(AB⋅AD)⋅PA=⋅(a⋅3)⋅1=
32324
过A作AG垂直PB于G.
因为PA⊥面ABCD,BC⊂面ABCD⇒PA⊥BC,
又因为AB⊥BC
所以BC⊥面PAB,又BC⊂面PBC
故面PBC⊥面PAB⇒AG⊥面PBC
所以AG为点A到面PBC的距离.
因PB===
所以1PB⋅AG=122
PA⋅AB⇒AG=PA⋅AB=
PB
313
13
故点A到面PBC的距离为.
考查空间点线面的位置关系与空间距离.中等题.
19.(12分)
某市为了考核甲乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民,根据这50为市民对这两部门的平分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
(I)分别估计该市的市民对甲,乙两部门评分的中位数;
(II)分别估计该市的市民对对甲,乙两部门的评分高于90的概率;
(III)根据茎叶图分析该市的市民对甲,乙两部门的评价.
(I)甲部门的得分共50个,50个数字从小到大排列起来位于中间位置的数为第25,第26个数,它们分别是:
75,75,故甲部门得分的中位数是75.
乙部门的得分也是50个数,它们从小到大排列起来的第25,26个数字分别是:
66,68,
66+68
故乙部门的中为数为
=67.
(II)市民对甲,乙两部门的评分各有n=50个,对甲部门评分高于90分的分数有m=5个,
m
对乙部门的评分高于90分的s=8个,故对甲部门评分高于90分的概率为
=5=0.1,50
s
对乙部门的评分高于90的概率为
=8=0.16.
50
34
(III)观察茎叶图的形状,甲的分数在茎6,7处形成单峰,出现在这里面的数据频率为,
29
其中位数为75,乙的分数在茎5,6,7处形成单峰,出现在这个单峰里面的数据频率为,
3429
中位数为67.因为>
5050
75>
67,这说明市民对甲部门的评价基本在75分附近,对乙部门
的评价基本在67分左右.整体看市民对甲部门的评价更好.
考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力,中等题.
20.(12分)
x2y2
设F1,F2分别是椭圆C:
a2+b2
=1(a>
b>
0)的左右焦点,M是C上一点且MF2与x
轴垂直,直线MF1与C的另一个交点是N.
(I)若直线MN的斜率为
,求C的离心率;
(II)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
(I)∵MF2⊥x轴(不妨设M在x轴的上方)
⎧x2
⎨
∴M的坐标满足方程组⎪a2
y2
+=
b21
⇒
b2
M(c,)
∵MN的斜率为
⎪⎩x=ca
∴=a
42c
⇒2b2=3ac
∵c2=a2-b2⇒2(a2-c2)=3ac
又∵e=c⇒2(1-e2)=3e⇒2e2+3e-2=0
a
∴椭圆离心率为e=.
(II)∵MN在y轴上的截距为2,O为F1,F2的中点
∴M的坐标为(c,4)(不妨设M在x轴的上方)
b2=
由(I)得
4(*)
∵|MN|=5|NF1|
∴|MF1|=4|NF1|
作NF⊥x轴于T,由于△NTF∽△MFF,故有yM
=4,2c=4
1112
133
-yN-c-xN
∴yN=-4yM
=-1,
xN=-2c
,即N(-c,-1)
9c2
把N点的坐标代人椭圆方程得:
4a2
1=1
9(a2-b2)+1=⇒9b2-1=5
4a2
b214a2b2
(**)
⎧⎪a=7
把(*)与(**)联立得:
⎨
⎪⎩b=2
考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系,难题.
21.(12分)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(I)a;
(II)证明:
当k<
1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
(I)f(x)=x3-3x2+ax+2⇒f'
(x)=3x2-6x+a
∵切点为(0,2),切线过点(-2,0)
0-2
∴切线的斜率为-2-0=1
(0)=a=1
(II)由(I)知,a=1,故f(x)=x3-3x2+x+2
记g(x)=f(x)-(kx-2)=x3-3x2+(1-k)x+4,
∴g'
(x)=3x2-6x+(1-k)
∴∆=36+12(1-k)=24+12k
(1)当∆≥0即-2≤k<
1时
由g'
(x)=0⇒x1=3
-2≤k<
1
∴0<
x1≤1,1≤x2<
2
,x2=3
(x)≥0⇔x<
x1或x>
x2
g'
(x)≤0⇔x1<
x<
∴g(x)在区间(-∞,x1),(x2,+∞)
上递增,在区间
(x1,x2)上递减
∴g(x)的极小值为g(x2)=x23-3x22+(1-k)x2+4
∵g'
(x2)=3x2
2-6x+1-k=0⇒x2
-2x2=
k-13
222222
∴g(x)=x(x2-2x)-x2+(1-k)x+4
=x⋅k-1-x2+(1-k)x+4=-x2-2(k-1)x+4(1≤x
<
2)
23222322
记h(x)=-x2-2(k-1)x+4(1≤x<
2)⇒h'
(x)=-2x-2(k-1)33
由-2≤k<
1⇒0<
-
(k-1)≤2,由1≤x<
2⇒-4<
-2x≤-2
∴-4<
-2x-
(k-1)≤0⇒h'
(x)≤0
∴h(x)在区间[1,2)递减⇒h(x)≥h
(2)=-2(k-1)>
0
∴g(x2)=h(x2)>
0⇒g(x1)≥g(x2)>
0(∵(x1,x2)是减区间)
∴当-2≤k<
1时,方程g(x)=0只有一根.
(2)当∆<
0即k<
-2时,
有g'
(x)=3x2-6x+(1-k)>
0,从而g(x)在R上递增
∴当k<
-2时,方程g(x)=0只有一根.
综上所述,方程g(x)=0在R上只有一根,即曲线f(x)直线y=kx-2只有唯一交点.考点:
考查利用导数综合研究函数性质的能力,难度压轴题.
22.(10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,
D为PC中点,AD的延长线交O于点E,证明:
(I)BE=EC
(II)AD⋅DE=2PB2
(I)连接OA,OD交BC于F,设
∠PAD=α,因PA是O的切线,则
∠EAO=∠OEA=90︒-α
∵PC=2PA,PC=2PD
∴PA=PD⇒PAD是等腰三角形
∴∠PDA=∠EDF=α
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∵∠EDF+∠OEA=α+(90︒-α)=90︒
∴OE⊥BC故OE平分弧BC,从而BE=EC.(II)∵PA2=PB⋅PC,PC=2PD
∴PA2=PB⋅2PD
由(I)知PD=PA
∴PA2=PB⋅2PA⇒PA=2PB
∴AD⋅DE=BD⋅DC=BD⋅PA=(PD-PB)⋅PA=(PA-PB)⋅PA
=PA2-PB⋅PA=PB⋅PC-PB⋅PA=PB⋅(PC-PA)
=PB⋅(PC-PD)=PB⋅DC=PB⋅PA
把PA=2PB代人上式,得PB⋅PA=PB⋅2PB=2PB2
∴AD⋅DE=2PB2
考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.
23.(10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为
ρ=2cosθ,θ∈
π
[0,].
(I)求C的参数方程
(II)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:
y=
3x+2垂直,根据(I)中你得到的参
数方程,确定
D的坐标.
(I)∵极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,]
∴ρ2=2ρcosθ
∴对应的普通方程为:
x2+y2-2x=0(y≥0)
⎧x=1+cosϕ
,即(x-1)2+y2=1(y≥0)
版+微信
∴对应的参数方程为⎨y=sinϕ,ϕ∈[0,π]
(II)设半圆的圆心为A,则A(1,0),又由(I)知,可以设D点坐标为(1+cosϕ,sinϕ)
∴直线DA的斜率k=tanϕ
∵切线与直线y=
3x+2垂直
p
∴tanϕ=⇒ϕ=
(ϕ∈[0,π])
∴1+cosϕ=
sinϕ=
即D点坐标为(,)
本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用,难度中等题.
24.(1
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