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高中数学思想ppt
篇一:
高中数学常用四种数学思想
高中数学常用四种数学思想
一、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类:
一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:
或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过:
“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
华罗庚先生说过:
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:
第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。
如:
锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
Ⅰ、再现性题组:
1.设命题甲:
0 |x-2|<3,那么甲是乙的_____。 (90年全国文) A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.若loga2 (92年全国理) A.0b>1D.b>a>1 3.如果|x|≤π2,那么函数f(x)=cosx+sinx的最小值是_____。 (89年全国文)4 2-12+11-2A.B.-C.-1D.222 4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,那么f(x)的[-7,-3]上是____。 (91年全国) A.增函数且最小值为-5B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-5 5.设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)|y-3=1},N={(x,y)|y≠x+1},x-2 那么M∪N等于_____。 (90年全国) A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+1 6.如果θ是第二象限的角,且满足cosθθθ-sin=-sinθ,那么是_____。 222 A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角,也可能第三象限角D.第二象限角 7.已知集合E={θ|cosθ (93年全国文理)A.(3π3π5πππ3π,π)B.(,)C.(π,)D.(,)442424 8.若复数z的辐角为5π,实部为-2,则z=_____。 6 A.-2-2iB.-2+2iC.-2+2iD.-23-2i 9.如果实数x、y满足等式(x-2)+y=3,那么 理)A. 10.满足方程|z+3-i|=的辐角主值最小的复数z是_____。 22y的最大值是_____。 (90年全国x31B.C.D.322 【注】以上各题是历年的高考客观题,都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题,即借助数轴(①题)、图像(②、③、④、⑤题)、单位圆(⑥、⑦题)、复平面(⑧、⑩题)、方程曲线(⑨题)。 Ⅱ、示范性题组: 2例1.若方程lg(-x+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形,转化为一元二次方程 在某个范围内有实解的问题,再利用二次函数的图像进行解 决。 【注】一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时,可以借助于函数的图像直观解决,简单明了。 此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况,还可用分离参数法来求(也注意结合图像分析只一个x值)。 例2.设|z1|=5,|z2|=2,|z1-2|=,z1求的值。 z2【分析】利用复数模、四则运算的几何意义,将 复数问题用几何图形帮助求解。 【注】本题运用“数形结合法”,把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致,体现了数形结合的生动活泼。 一般地,复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题,也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。 本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是: 本题还可以直接利用复数性质求解,其过程是: 几种解法,各有特点,由于各人的立足点与思维方式不同,所以选择的方法也有别。 一般地,复数问题可以应用于求解的几种方法是: 直接运用复数的性质求解;设复数的三角形式转化为三角问题求解;设复数的代数形式转化为代数问题求解;利用复数的几何意义转化为几何问题求解。 例3.直线L的方程为: x=-pp(p>0),椭圆中心D(2+,0),焦点在x轴上,长半22 轴为2,短半轴为1,它的左顶点为A。 问p在什么范围内取值,椭圆上有四个不同的点,它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离? 【分析】由抛物线定义,可将问题转化成: p为何值时,以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点,再联立方程组转化成代数问题(研究方程组解的情况)。 【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。 一般地,当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”,其中特别要注意解的范围。 另外,“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。 例4.设a、b是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b}(n∈Z),B={(x,y)|x=m,y=3m+15}(m∈Z),C={(x,y)|x+y≤144},讨论是否,使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。 (85年高考) 【分析】集合A、B都是不连续的点集,“存在a、b,使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na+b=3n+15(n∈Z)有解(A∩B时x=n=m)。 再抓住主参数a、b,则此问题的几何意义是: 动点(a,b)在直线L: nx+y=3n+15上,且直线与圆x+y=144有公共点,但原点到直线L的距离≥12。 【注】集合转化为点集(即曲线),而用几何方法进行研究。 此题也属探索性问题用数形结合法解,其中还体现了主元思想、方程思想,并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是: Ⅲ、巩固性题组: 1.已知5x+12y=60,则x2+y2的最小值是_____。 A.60B.13C.13D.1135********2 2.已知集合P={(x,y)|y=9-x2}、Q={(x,y)|y=x+b},若P∩Q≠φ,则b的取值 范围是____。 A.|b|<3B.|b|≤32C.-3≤b≤3D.-3 3.方程2=x+2x+1的实数解的个数是_____。 A.1B.2C.3D.以上都不对 x2 篇二: 高中数学思想方法 浅谈高中数学教学中如何把握数学思想方法的渗透 07级2曾宝林 摘要: 所谓数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动。 所谓数学方法,是指某一数学活动过程的途径、程序、手段,它具有过程性、层次性和可操作性等特点。 数学思想是数学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,因此,人们把它们称为数学思想方法。 数学思想方法是数学的灵魂和精髓,如何在中学数学教材中体现数学思想方法,有意识地向学生渗透数学思想方法是一个十分重要的问题。 并且我们必须重视数学思想方法,深化数学教材改革,让学生学会用数学思想方法分析问题、解决问题,切实实现素质教育的要求。 关键词: 数学思想方法数学教学渗透 数学思想蕴涵于数学知识中,又相对超脱于我们所学的数学知识。 世上没有单纯的知识教学,也没有不包含任何数 学思想的数学知识,这两者在教学过程中,是相辅相成的。 数学知识的学习过程,其实是学生数学基础知识与数学思想逐渐形成的过程。 我们的教学实践也表明: 高中数学教育的现代化,主要不是内容的现代化,而是数学思想、方法及教学手段的现代化,加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键,特别是对能力培养这一问题的探讨与摸索,以及社会对数学价值的要求。 高中数学思想方法对数学教学有着重要的作用 数学思想与数学方法目前尚没有确切的定义,我们通常认为,数学思想就是“人对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。 就中学数学知识体系而言,中学数学思想往往是数学思想中最常见、最基本、比较浅显的内容,例如: 统计思想、化归思想、分类思想等。 数学思想的高层次的理解,还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识,任何一个数学分支理论的建立,都是数学思想的应用与体现。 所谓数学方法,是指人们从事数学活动的程序、途径,是实施数学思想的技术手段,也是数学思想的具体化反映。 所以说,数学思想是内隐的,而数学方法是外显的,数学思想比数学方法更深刻,更抽象地反映了数学对象间的内在联系。 由于数学是逐层抽象的,数学方法在实际运用中往往具有过程性和层次性特点,层次越低操作性越强。 如变换方法包括恒等变换,恒等变换中又分换元法、配方法、待定系数法等等。 可见,数学思想和数学方法有区别也有联系,在解决数学问题时,总的指导思想是把问题化归为能解决的问题,而为实现化归,常用如一般化、特殊化、类比、归纳、恒等变形等方法,这时又常称用化归方法。 一般来说,强调指导思想时称数学思想,强调操作过程时称数学方法。 高中数学教育大纲中明确指出数学基础知识是指: 数学中的的概念、性质、法则、公式、公理、定理及由数学基础内容反映出来的数学思想方法。 可见数学思想方法是数学基础知识的内容,而这些数学思想方法是融合在数学概念、定理、公式、法则、定义之中的。 在高中数学中,主要数学思想有分类思想、集合对应思想、等量思想、函数思想、数形结合思想、统计思想和转化思想。 与之对应的数学方法有理论形成的方法,如观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法,还有解决问题的具体方法,如代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、分析、综合等方法。 这些数学思想与方法,在教材的编写中被突出 的显现出来。 在高中数学教材中,一方面以抽象性更强的高中数学知识为载体,从更高层次延续初中涉及的那些数学思想方法的学习应用,如函数与映射思想、分类思想、集合对应思想、数形结合思想、统计思想和化归思想等。 另一方面,结
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