第15讲四年级数学还原问题 彭仁鑫 教案Word文档下载推荐.docx
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21-1=19(人)
一、同步知识梳理
有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果,要想求出未知量,可以从这最后结果出发,运用加与减,乘与除之间的互逆关系,从后往前一步一步地推算,这种方法叫做逆推法。
如7大于5,也可以说成5小于7。
这种思维方法我们称作逆向思维,在处理一些问题时经常要用到。
有些应用题按顺向处理比较困难,或者会出现繁杂的运算,如果根据题目的条件,运用逆推法去解则方便得多。
二、同步题型分析
例1、某数乘以3,再加2,减去5,差是12,这个数是多少?
分析:
差是12,是减去5之后得到的,那么被减数就是12+5=17,这个被减数是加2之后得到的,另一个加数就是17-2=15,这一个加数是有某数乘3得到的,那么这个数就是15÷
3
解:
(12+5-2)÷
=15÷
=5;
答:
这个数是5.
例2、一个数减去5,乘以5,加上5,除以5,最后的结果还是5,那么这个数是多少?
从后向前来推算,①“除以5,结果还是5”,则前一个数是5×
5=25;
②“加上5等于25”,则前一个数是25-5=20;
③“乘以5等于20”,则前一个数是20÷
5=4;
④“减去5,等于4”,则原来的数是4+5=9.
(5×
5-5)÷
5+5,
=(25-5)÷
=20÷
=4+5,
=9,
这个数是9.
例3、一桶油,每次倒掉油的一半,倒了三次后连桶重10千克,已知桶重2.5千克,原来桶里有油多少千克?
由题意,倒了三次后连桶重10千克,已知桶重2.5千克,则油重(10-2.5)千克,每次倒掉油的一半,则第三次没倒前油重(10-2.5)×
2,以此类推。
(10-2.5)×
2×
2
=7.5×
=15×
=60(千克)
例4、甲、乙两人有若干本书,如果甲拿出和乙同样多的书给乙,乙再拿出同样多的书给甲,这时两人都是48本,那么甲、乙两人原来有图书多少本?
方法一【搭架子,倒推还原】:
甲-乙+(甲-乙)=48,
48-(甲-乙)+乙=甲
即:
甲=乙+24①
乙+乙-(甲-乙)=48
48+(甲-乙)-乙=乙
甲=3乙-48②
综合①,②
甲=60
乙=36
方法二【列表比较】:
原来
甲
乙
第一次
甲-乙
2乙
第二次
2(甲-乙)=48
2乙-(甲-乙)=48
所以,甲-乙=24,乙=36甲=60.
三、课堂达标检测
1、一个数除以3后再加6,减7,再乘以5,积是10,这个数是多少?
(10÷
5+7-6)×
=(2+7-6)×
=3×
=9
这个数是9。
2、篮子里原有苹果若干个,拿出一半送给奶奶,又拿出剩下的一半送给妈妈,这时还剩5个,原来这篮苹果有多少个?
5×
=10×
=20(个)
原来这篮苹果有20个。
3、有一种昆虫,由幼虫长到成虫,体长每天增长一倍,20天后正好长到20厘米,请问长到5厘米时用了几天?
第19天:
20÷
2=10(厘米),
第18天:
10÷
2=5(厘米)
它长到5厘米用了18天。
一、专题精讲
例1、农机店出售一批新型的农用拖拉机,上午售出总数的一半多20台,下午售出剩下的一半多15台,这时只剩75台.这批农用拖拉机共有多少台?
此题抓住剩下的75台,往前推算,75台再加上15台就是上午卖完剩下的一半,据此乘2,即可得出上午卖完剩下的是90×
2=180台,180台,再加上20台,就是这批拖拉机的一半,据此乘2,就是拖拉机的总台数.
[(75+15)×
2+20]×
2,
=[90×
=200×
=400(台),
这批拖拉机共有400台。
例2、小红看一本故事书,第一天看了这本书的一半又10页,第二天看了余下的一半又10页,第三天看了10页正好看完,这本书有多少页?
此题抓住最后第三天看的页数是10页正好看完,向前逆推。
[(10+10)×
2+10]×
=[40+10]×
=50×
=100(页),
这本书有100页.
例3、粮库里存一批大米,第一次运出库存大米的一半多20包,第二次运出剩下大米的一半少10包,这时还剩28包,求粮库原有大米多少包?
本题需要从问题出发,一步步向前推,最后剩下了28包,它是运出剩下的一半少10包后剩下的,那么剩下的一半就是28-10包,就可以求出剩下的一共多少包;
同样的方法就可以求出原来有多少包.
[(28-10)×
=(18×
2+20)×
=56×
=112(包)
粮库原有大米112包.
例4、四个小朋友共有课外读物120本,甲给乙3本,乙给丙4本,丙给丁5本,丁给甲6本,这时四个人的课外读物的本数相等,他们原来各有几本课外读物?
120÷
4=30(本)
甲-3+6=30甲:
30-6+3=27(本)
乙-4+3=30乙:
30-3+4=31(本)
丙-5+4=30丙:
30-4+5=31(本)
丁-6+5=30丁:
30-5+6=31(本)
甲原来有27本,乙、丙、丁原来各有31本.
例5、袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球。
问:
袋中原有多少个球?
分析与解:
利用逆推法从第5次操作后向前逆推。
第5次操作后有3个,第4次操作后有(3—1)×
2=4(个),第3次……为了简洁清楚,可以列表逆推如下:
所以原来袋中有34个球。
例6、三堆苹果共48个。
先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆;
再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆;
最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。
这时,三堆苹果数恰好相等。
三堆苹果原来各有多少个?
由题意知,最后每堆苹果都是48÷
3=16(个),由此向前逆推如下表:
原来第一、二、三堆依次有22,14,12个苹果。
例7、兄弟三人分24个桔子,每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。
如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二,接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大,最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三,这时每人的桔子数恰好相同。
兄弟三人的年龄各多少岁?
由于总共有24个桔子,最后三人所得到的桔子数相等,因此每人最后都有24÷
3=8(个)桔子。
由此列表逆推如下表:
由上表看出,老大、老二、老三原来分别有桔子13,7,4个,现在的年龄依次为16,10,7岁。
二、专题过关
1、某数加上6,乘以6,减去6,除以6,最后结果等于6,求某数。
解答:
(6×
6+6)÷
6-6=1
2、一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?
[(7+15-10)×
2+3]=54(米)
3、小明在计算一道加法计算时,把一个加数个位上的1看作7,把一个加数十位上的8看作3,这样所得的和是1955,原来两数相加的正确答案是多少?
1995+50-6=1999
4、袋子里装着若干个乒乓球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共拿了5次,袋子里还有5个球。
袋中原有多少个乒乓球?
操作次数,袋中球个数初始
第一步:
(50-1)×
2=98;
第二步:
(26-1)×
2=50;
第三步:
(14-1)×
2=26;
第四步:
(8-1)×
2=14;
第五步:
(5-1)×
2=8
5、甲、乙、丙三人各有小球若干个,甲先拿出自己的小球的一部分给乙和丙,使乙、丙每人的小球数增加一倍;
然后乙也把自己的小球的一部分分给甲丙,使甲和丙每人的小球数增加一倍;
最后丙也把自己小球的一部分分给甲和乙,使甲和乙每人的小球数增加一倍。
这时甲乙丙都有48个小球。
原来甲乙丙各有小球多少个?
变动情况
甲初始状态:
12+42+24=78→24÷
2=12→48÷
2=24→48
乙初始状态:
84÷
2=42→24+12+48=84→48÷
丙初始状态:
48÷
2=24→96÷
2=48→48+24+24=96→48
三、学法提炼
1、专题特点:
还原问题的解法。
2、解题方法:
1、运用倒推法(还原法)解题的相应的“逆运算”是指:
加法用减法还原,减法用加法还原,乘法用除法还原,除法用乘法还原,并且原来是加(减)几,还原时应为减(加)几,原来是乘(除)以几,还原时应为除(乘)以几。
对于一些比较复杂的还原问题,要学会列表,借助表格倒推,既能理清数量关系,又便于验算。
2、列表法解还原问题,一步一步从后面往前推。
3、注意事项:
逆推时注意,每次变化中,有一堆未动;
有一堆增加了一倍,逆推时应除以2;
另一堆减少了增加一倍那堆增加的数,逆推时应使用加法。
一、能力培养
综合题1:
某校初一有A,B,C三个班,A班比B班多4个女生,B班比C班多1个女生,如果将A班的第一组同学调入B班,同时将B班第一组调入C班,同时将C班的第一组同学调入A班,则三个班的女同学人数恰好相等.已知C班第一组有2名女生,问A、B两个班第一组各有多少女生?
由“A班比B班多4个女生,B班比C班多1个女生”,可知A班比C班多5个女同学,即A、B、C三个班是C班开始人数的3倍,也就是A多5个女生,B多1个,C一个也不多为0.想让三者平衡,就是A2人,B2人,C2人.即C给了A2人,A够了,所以A第一组5女全送出,B得到5个人加上原来的一个为6个,所以B第一组4人送出,并正好是4-2=2(人).
三个班的女同学人数恰好相等时,各有女生:
(5+1)÷
3=2(人);
B班第一组有女生人数为:
2+2=4(人);
A班第一组有女生人数为:
4+1=5(人);
A班第一组有女生5人,B班第一组有女生4人.
综合题2:
有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说:
“你只要走过这座桥再回来,你身上的钱就会增加一倍,但作为报酬,你每走一个来回要给我32个铜板.”财迷算了算挺合算,就同意了.他走过桥去又走回来,身上的钱果然增加了一倍,他很高兴地给了老人32个铜板.这样走完第五个来回,身上的最后32个铜板都给了老人,一个铜板也没剩下.问:
财迷身上原有多少个铜板?
第五次后有:
32÷
2=16(个);
第四次后有:
(32+16)÷
2=24(个);
第三次后有:
(32+24)÷
2=28(个);
第二次后有:
(32+28)÷
2=30(个);
第一次原有:
(32+30)÷
2=31(个);
财迷身上原有31个铜板.
二、能力点评
在分析应用题的过程中,倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发,利用已知条件一步一步倒着分析、推理,直到解决问题.
学法升华
一、知识收获
1、计算类的还原问题
2、还原问题的应用
二、方法总结
用倒推法解题时要注意:
①从结果出发,逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中,每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序,正确使用括号.
三、技巧提炼
解决还原问题的关键是抓住最后得到的数量,从后先前进行推理,根据加减乘除的逆运算思维进行解答
课后作业
1、美红商店出售洗衣机,上午出售总数的一半多20台,下午售出剩下的一半少20台,结果还剩105台,美红商店原有多少台洗衣机?
[(105-20)×
=[85×
=190×
=380(台),
这批洗衣机共有380台.
2、一次数学考试后,李军问于昆数学考试得多少分.于昆说:
“用我得的分数减去8加上10,再除以7,最后乘
以4,得56.”小朋友,你知道于昆得多少分吗?
【分析】这道题如果顺推思考,比较麻烦,很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析,就像剥卷心菜一样层层深入,直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题:
一个数减去8,加上10,再除以7,乘以4,结果是56.求这个数是多少?
把一个数用□来表示,根据题目已知条件可得到这样的等式:
{[(□-8)+10]÷
7}×
4=56
[(□-8)+10〕÷
7=56÷
4
于昆这次数学考试成绩是96分.
3、马小虎做一道整数减法题时,把减数个位上的1看成7,把减数十位上的7看成1,结果得出差是111.问正确答案应是几?
111-(70—10)+(7—1)=57
正确的答案是57.
4、树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上;
从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上,这时三棵树上鸟的只数相等.问:
原来每棵树上各落多少只鸟?
【分析】倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析,可得出现在每棵树上鸟的只数48÷
3=16(只).
第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的,所以第三棵树上原落鸟16—6=10(只).
同理,第二棵树上原有鸟16+6—8=14(只).
第一棵树上原落鸟16+8=24(只)。
5、三筐苹果共重120斤,如果从第一筐中取出15斤放入第二筐,从第二中取出8斤放入第三筐,从第三筐中取出2斤放入第一筐,这时三筐苹果的重量相等,问原来第二筐中有苹果多少斤?
后来每筐各有苹果:
3=40(斤);
原来第二框有:
40-(15-8),
=40-7,
=33(斤);
原来第二筐中有苹果33斤.
6、冰箱里的鸡蛋,第一天拿走了一半少3个,第二天拿走了余下的一半多2个,第三天拿走余下的一半后,最后还剩2个.冰箱里原来有鸡蛋多少个?
[(2×
2+2)×
2-3]×
=[(4+2)×
=[6×
=[12-3]×
=9×
=18(个);
原来有鸡蛋18个.
7、有甲、乙、丙三个书架,共有图书450本,如果从甲架拿出60本放入乙架,再从乙架拿出120本放入丙架,最后再从丙架拿出50本放入甲架,则三个书架图书本数一样多.原来三个书架各有图书多少本?
①丙架有150-(120-50)=80(本);
②乙架有150-60+120=210(本);
③甲架有书:
450-210-80=160(本).
甲乙丙三个书架各有图书160、210、80本.
8、一棵桃树长满了成熟的桃,已知小猴去偷吃.第一天偷吃了一半多2个,第二天偷吃了剩下的一半少2个,这时树上还有20个桃,这棵桃树原有多少个桃?
[(20-2)×
2+2]×
=[36+2]×
=38×
=76(个);
这棵桃树原有76个桃.
如果你现在有四个不同的任务,要在规定时间内完成。
每个任务的时间不相同,而这些任务的总时间超过了规定的时间,你会怎么安排时间在规定时间内完成这些任务呢?
请用简短的几句话将你的想法写下来。
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