广东省届广州市高中毕业班综合测试一文科数学试题附解析版.docx
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广东省届广州市高中毕业班综合测试一文科数学试题附解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x>0},则( )
A.B.C.D.
2.已知a为实数,若复数(a+i)(1-2i)为纯虚数,则a=( )
A.B.C.D.2
3.已知双曲线的一条渐近线过点(b,4),则C的离心率为( )
A.B.C.D.3
4.,为平面向量,己知=(2,4),-2=(0,8),则,夹角的余弦值等于( )
A.B.C.D.
5.若sinα>sinβ>0,则下列不等式中一定成立的( )
A.B.C.D.
6.刘徽是我因魏晋时期的数学家,在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”,所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法,如图所示,圆内接正十二边形的中心为圆心O,圆O的半径为2,现随机向圆O内段放a粒豆子,其中有b粒豆子落在正十二边形内(a,b∈N*,b<a),则圆固率的近似值为( )
A.B.C.D.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AB,BC的中点,则直线CE与D1F所成角的大小为( )
A.B.C.D.
8.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( )
A.B.C.D.
9.函数最大值是( )
A.2B.C.D.
10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形,则该几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
11.已知F为抛物线C:
y2=6x的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=( )
A.6B.8C.10D.12
12.已知函数f(x)=e|x|-ax2,对任意x1<0,x2<0,都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))<0,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知函数f(x)=x3+alog3x,若f
(2)=6,则=______.
14.已知以点(1.2)为圆心的圆C与直线x+2y=0相切,则圆C的方程为______.
15.已知关于x,y的不等式组,表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是______.
16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=3,C=2B,则△ABC的面积为______.
三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)
17.已知{an}是等差数列,且lga1=0,lga4=1.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,求k的值及数列{an+bn}的前n项和.
18.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P是
AC的中点,连接BP,DP
(1)证明:
平面ACD⊥平面BDP;
(2)若BD=,cos∠BPD=,求三棱锥A-BCD的体积.
19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中,随机抽取了100位客户的数据,并将这100个数据按学时数,客户性别等进行统计,整理得到如表;
学时数
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
男性
18
12
9
9
6
4
2
女性
2
4
8
2
7
13
4
(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留小数点后两位);
(2)从这100位客户中,对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求这2人购买的学时数都不低于15的概率.
(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”,25学时以下者视,为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关?
非十分爱好该课程者
十分爱好该课程者
合计
男性
女性
合计
100
附:
,n=a+b+c+d
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
20.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),点在C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:
y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,问y轴上是否存在点M,使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?
若在在,求点M的坐标:
若不存在,说明理由.
21.已知函数f(x)=ex-1+a,g(x)=lnx,其中a>-2.
(1)讨论函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点个数;
(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象无交点,设直线y=t与的数y=f(x)和y=g(x)的图象分别交于点P,Q.证明:
|PQ|>a+1.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为(a∈R).
(1)写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程;
(2)若直线C2与曲线C1有两个不同交点,求a的取值范围.
23.已知函数f(x)=|x+a|-|2x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若a>0,不等式f(x)<1对x∈R都成立,求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解:
由x2-2x<0,得:
0<x<2,则集合A={x|0<x<2},
A、A∩B=A,故本选项错误.
B、A∪B=B,故本选项错误.
C、A⊆B,故本选项错误.
D、A⊆B,故本选项正确.
故选:
D.
先由二次不等式,得到集合A,再借助数轴,得到集合A,B的关系,以及集合A,B的交集和并集.
本题考查二次不等式的解法,以及集合的交并集和集合之间的包含关系.
2.【答案】A
【解析】
解:
(a+i)(1-2i)=a+2+(1-2a)i,
∵复数是纯虚数,
∴a+2=0且1-2a≠0,
得a=-2且a≠,
即a=-2,
故选:
A.
根据复数的运算法则进行化简,结合复数是纯虚数,进行求解即可.
本题主要考查复数的运算以及复数的概念,根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键.
3.【答案】C
【解析】
解:
双曲线的渐近线方程为y=±bx,
由题意可得4=b2,可得b=2,
则双曲线的离心率为e===.
故选:
C.
求得双曲线的渐近线方程,由题意可得b=2,再由离心率公式,计算可得所求值.
本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】
解:
己知=(2,4),-2=(0,8),∴=[-(-2)]=(1,-2),
∴•=2-8=-6.
设,夹角,又•=||•||•cosθ=2••cosθ=10cosθ,
∴10cosθ=-6,∴cosθ=-,
故选:
B.
由题意利用两个向量的数量积的定义,两个向量的数量积公式,求得,夹角的余弦值.
本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量的数量积公式的应用,属于基础题.
5.【答案】D
【解析】
解:
∵cos2α=1-2sin2α,cos2β=1-2sin2β,
∵sinα>sinβ>0,∴sin2α>sin2β>0,-2sin2α<-2sin2β,
则1-2sin2α<1-2sin2β,
即cos2α<cos2β,
故选:
D.
利用二倍角公式,结合不等式的性质进行判断即可.
本题主要考查不等式大小的半径,结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键.
6.【答案】C
【解析】
解:
由几何概型中的面积型可得:
=,
所以=,
即π=,
故选:
C.
由正十二边形的面积与圆的面积公式,结合几何概型中的面积型得:
=,所以=,即π=,得解
本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型,属中档题
7.【答案】D
【解析】
解:
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z国,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,
则C(0,2,0),E(2,1,0),D1(0,0,2),F(1,2,0),
=(2,-1,0),=(1,2,-2),
设直线CE与D1F所成角的大小为θ,
则cosθ==0,
∴θ=.
∴直线CE与D1F所成角的大小为.
故选:
D.
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z国,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线CE与D1F所成角的大小.
本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题.
8.【答案】B
【解析】
解:
函数h=f(t)是关于t的减函数,故排除C,D,
则一开始,h随着时间的变化,而变化变慢,超过一半时,h随着时间的变化,而变化变快,
故对应的图象为B,
故选:
B.
根据时间和h的对应关系分别进行排除即可.
本题主要考查函数与图象的应用,结合函数的变化规律是解决本题的关键.
9.【答案】C
【解析】
解:
∵sin(x+)=sin(+x-)=cos(x-),
∴f(x)=sin(x+)+cos(x-)
=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=(sin+cos)sinx+(sin+cos)cosx,
∵sin+cos=sin(+)=sin=.
∴f(x)=sinx+cosx=sin(x+).
∴f(x)的最大值为.
故选:
C.
根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f(x)即可得出结论.
本题考查了三角恒等变换,三角函数的最值,属于中档题.
10.【答案】B
【解析】
解:
由题意可知:
几何体是一个圆柱与一个的球的组合体,球的半径为:
1,圆柱的高为2,
可得:
该几何体的表面积为:
+2×π×12+2π×2=7π.
故选:
B.
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解表面积即可.
本题考查三视图求解几何体的表面积,可知转化思想以及计算能力.
11.【答案】B
【解析】
解:
抛物线y2=6x的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∵|AF|=3|BF|,∴x1+=3(x2+),∴x1=3x2+3
∵|y1|=3|y2|,∴x1=9x2,∴x1=,x2=,
∴|AB|=(x1+)+(x2+)=8.
故选:
B.
根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义即条件,求出A,B的中点横坐标,即可求出线段AB的长度..
本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键.
12.【答案】A
【解析】
解:
由题意可知函数f(x)是(-∞,0)上的单调递减函数,
且当x<0时,,
据此可得:
2axex+1≥0,即恒成立,
令g(x)=xex(x<0),则g'(x)=ex(x+1)
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