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2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。
3.面面垂直的性质。
4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面,那么另一直线也与此平面垂直。
5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个,那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直:
1.面面所成二面角为直二面角。
2.一个平面过另一平面的垂线,那么这两个平面垂直
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑):
。
第二篇:
证明垂直习题
线面、面面垂直的判定及性质
一、选择题
1、已知两个平面垂直,下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是()a.3b.2c.1
d.0
2、已知直线l平面,有以下几个判断:
①若ml,则m//;
②若m,则m//l;
③若m//,则ml;
④若m//l,则m.上述判断中正确的是()
a.①②③b.②③④c.①③④d.①②④
3、直线a不垂直于平面,则内与a垂直的直线有()
a.0条b.1条c.无数条d.内所有直线
4、在空间四边形abcd中,若abbc,adcd,e为对角线ac的中点,下列判断正确的是()
a.平面abd平面bdcb.平面abc平面abdc.平面abc平面adc
d.平面abc平面bed
二、填空题
1、已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是.
2、,是两个不同的平面,m,n是平面及之外的两条不同的直线,给出四个论断:
①mn;
②;
③n;
④m.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作
为结论,写出你认为正确的一个命题.
3、设o为平行四边形abcd对角线的交点,p为平面ac外一点且有papc,pbpd,则po与平面abcd的关系是.
第1页(共6页三、解答题
1、如图所示,abcd为正方形,sa平面abcd,过a且垂直于sc的平面分别交sb,sc,sd于e,f,g.
求证:
aesb,agsd.
s
2、如图所示,四棱锥pabcd的底面是正方形,pa底面abcd,aepd,ef//cd,amef.
mf⊥ab,mf⊥pc
p
a
)第1页(共6页)
3、如图,直角△abc所在平面外一点s,且sasbsc,点d为斜边ac的中点.
(1)求证:
sd平面abc;
(2)若abbc,求证:
bd面sac.
4、如图,在正方体abcd—a1b1c1d1中,ef⊥a1d,ef⊥ac,求证:
ef∥bd1.
c1
ac
5、已知:
如图所示,平面平面,l,在l上取线段ab4,ac,
bd分别在平面和平面内,且acab,dbab,ac3,bd12,求cd长.
6、如图,在四棱锥pabcd中平面pad⊥平面abcd,abad,dab60,e,f分别是ap,ab的中点,
(1)ef∥平面pcd,
(2)平面bef⊥平面pad
7、如图,四棱锥pabcd中,底面abcd是矩形,m,n分别为pa,bc的中点,
pd平面abcd,pdab
2,cd1
(1)求证:
mn∥平面pcd
(2)求证:
mcbd
8、如图,已知ab面acd,de面acd,acad,de2ab,f为cd中点
(1)求证:
af∥面bce
(2)求证:
面bce
面cde
9、如图,在四面体abcd中,cdcb,adbd,e,f分别是ab,bd的中点,求证:
(1)ef∥面acd
(2)面efc
面bcd
10、如图,在正方体abcd—a1b1c1d1中,e是dd1的中点,
(1)求be和面abb1a1所成角的正弦值
(2)在棱c1d1是否存在一点f,使得b1f∥面a1be?
并证明你的结论
第三篇:
利用全等证明垂直问题
1.如图,ad⊥bc于d,ad=bd,de=dc。
猜想并证明be和ac有何关系?
图19
2.如图:
在△abc中,be、cf分别是ac、ab两边上的高,在be上截取bd=ac,在cf的延长线上截取cg=ab,连结ad、ag。
猜想ad与ag的关系,并证明。
ag
fe
b
c
作业:
1.如图,ad是△abc的角平分线,de⊥ab,df⊥ac,垂足分别为e、f,连接ef,ef与ad交于g,ad与eg垂直吗?
证明你的结论。
(6分)
2.如图,已知:
等腰rt△oab中,∠aob=900,等腰rt△eof中,∠eof=900,连结ae、bf.求证:
(1)ae=bf;
(2)ae⊥bf.
3.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,b,c,e在同一条直线上,连结dc.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
dc⊥be.
图1
图2
利用全等证明线段的相等以及和、差、倍、分问题
1.如图,△abc中,ab=ac,d是ab上一个动点,df⊥bc于点f,交ca延长线于点e,
(1)试判断ad、ae的大小关系,并说明理由;
(2)当点d在ba的延长线上时,其他条件不变,
(1)中的结论是否还成立?
请说明理由。
f
备用图
2.在△abc中,∠c=90°
,ac=bc,过点c在△abc的外部作直线mn(如图
(1)),am⊥mn于m,bn⊥mn于n。
mn=am+bn。
(2)若将条件改为“过点c在△abc内作直线mn”,其它条件不变,问结论
(1)是否仍然成立?
如不成立,它们之间又满足怎么的关系,请画出图形并证明。
m
n
3.如图23,△abc中,d是bc的中点,过d点的直线gf交ac于f,交ac的平行线bg于g点,de⊥df,交ab于点e,连结eg、ef.⑴求证:
bg=cf⑵请你判断be+cf与ef的大小关系,并说明理由。
4.如图,ad⊥bc,bd=dc,点c在ae的垂直平分线上,ab+bd与de的长度有什么关系
并加以证明。
(10分)a
bdce5.已知:
三角形abc中,∠a=90°
,ab=ac,d为bc的中点,
(1)如图,e,
f分为ab,ac上的点,且be=af,求证:
△def为等腰直角三角形.
(2)若e,f分别为ab,ca延长线上的点,仍有be=af,其他条件不变,那么,△def是否仍为等腰直角三角形?
证明你的结论.
4.如图在afd和ceb中,点a,e,f,c在同一条直线上
d
有下面四个论断:
(1)ad=cb,
(2)ae=cf,(3)b
一道数学问题,并写出解答过程.
利用全等证明角的相等以及和、差、倍、分问题
1.如图22⑴,ab=cd,ad=bc,o为ac中点,过o点的直线分别与ad、bc相
交于点m、n,那么∠1与∠2有什么关系?
若过o点的直线旋转至图⑵、⑶的情况,其余条件不变,那么图⑴中的∠1与∠2的关系成立吗?
,
(4)ad//bc.请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编
2.(20__年绵阳市)如图,△abc中,e、f①ad平分∠bac,②de⊥ab,df⊥ac,
③ad⊥ef.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,
即:
①②③,①③②,②③①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题.
22.如图,给出五个等量关系:
①adbc②acbd③cede④dc⑤dabcba.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个
正确
的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
证明:
①adbc②acbd③c
edeam④dc
17.本题9分,工人师傅要检查人字梁的∠b和∠c是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:
①分别在ba和ca上取becg;
②在bc上取bdcf;
③量出de的长a米,fg的长b米.
如果ab,则说明∠b和∠c是相等的.他的这种做法合理吗?
为什么?
⑤dabcba.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.8
分onb
e
16.如图9所示,△abc是等腰直角三角形,∠acb=90°
,ad是bc边上的中线,过c作ad的垂线,交ab于点e,交ad于点f,求证:
∠adc=∠.
ab
22.如图,有一池塘,要测池塘两端a、b的距离,可先在平地上取一个可以直接到达e
和b的点c,连结ac并延长到d,使cd=ca.连结bc并延长到e,使ec=cb,图9
连结de,量出de的长,就是a、b的距离.写出你的证明.
第四篇:
证明垂直位置关系
第五课时学案垂直的证明方法
命题预测
从近几年的高考试题来看,线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质等是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏高.客观题突出“小而巧”,主要考查垂直的判定及性质;
主观题考查较全面,在考查上述知识的同时,还注重考查空间想象、逻辑推理以及分析问题、解决问题的能力.
预测20__年高考仍将以线面垂直、面面垂直为主要考查点,重点考查学生的空间想象以及逻辑推理能力.
考点1直线与平面垂直的判定与性质
例1、(08天津)如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd是矩形.已知ab3,ad2,pa2,pd22,pab60.(ⅰ)证明ad平面pab;
(ⅱ)求异面直线pc与ad所成的角的大小;
(ⅲ)求二面角pbda的大小.
变式1:
如图,已知三棱锥a-bpc中,ap⊥pc,ac⊥bc,m为ab中点,d为pb中点,且△pmb为正三角形.求证:
(1)md∥平面apc;
(2)bc⊥平面apc.
变式2:
(12全国理)如图,四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形,pa⊥底面abcd,
ac=2pa=2,e是pc上的一点,pe=2ec.
(ⅰ)证明:
pc⊥平面bed;
(ⅱ)设二面角a-pb-c为90°
,求pd与平面pbc所成角的大小.
变式3:
(06福建)如图,四面体abcd中,o、e分别是bd、bc的中点
cacbcdbd2,abad
(i)求证:
ao平面bcd;
(ii)求异面直线ab与cd所成角的大小;
(iii)求点e到平面acd的距离。
e
变式4:
(11大纲理)如图,四棱锥sabcd中,abcd,bccd,侧面sab为等边三角形,abbc2,cdsd1.
sd平面sab;
(ⅱ)求ab与平面sbc所成角的大小.
例2、(08二)如图,正四棱柱abcda1b1c1d1中,aa12ab4,点e在cc1上
ac1
且c1e3ec.(ⅰ)证明:
a1c平面bed;
(ⅱ)求二面角a1deb的大小.ec
例3、(04湖北)在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,e是棱bc的中点,点f是棱cd上的动点。
(1)试确定点f的位置,使得d1e⊥平面ab1f;
(2)当d1e⊥平面ab1f时,求二面角c1―ef―a的大小。
例4、(12北京理)如图1,在rt△abc中,∠c=90°
,bc=3,ac=6,d,e分别是ac,ab上的点,且de∥bc,de=2,将△ade沿de折起到△a1de的位置,使a1c⊥cd,如图2.(i)求证:
a1c⊥平面bcde;
(ii)若m是a1d的中点,求cm与平面a1be所成角的大小;
(iii)线段bc上是否存在点p,使平面a1dp与平面a1be垂直?
说明理由
面pad⊥面pcd;
考点2平面与平面垂直的判定与性质
例1、(20__〃高考江苏卷)如图,在四棱锥p-abcd中,平面pad⊥平面abcd,ab=ad,∠bad=60°
,e,f分别是ap,ad的中点.求证:
(1)直线ef∥平面pcd;
(2)平面bef⊥平面pad
如图,在直三棱柱:
abc-a1b1c1中,aa1=ab=bc=3,ac=2,d是ac的中点.
(1)求证:
b1c∥平面a1bd;
(2)求证:
平面a1bd⊥平面acc1a1;
(3)求三棱锥a-a1bd的体积.
(08湖南)如图,四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为1的菱形,∠bcd=60°
,e是cd的中点,pa⊥底面abcd,pa=2.
平面pbe⊥平面pab;
(ⅱ)求平面pad和平面pbe所成二面角(锐角)的大小.
(09北京)如图,四棱锥pabcd的底面是正方形,
pd底面abcd,点e在棱pb上.
(ⅰ)求证:
平面aec平面pdb;
(ⅱ)当pd
且e为pb的中点时,求ae与平面pdb所成
的角的大小.
(05)已知四棱锥p-abcd的底面为直角梯形,ab∥dc,dab90
pa底面abcd,
且pa=ad=dc=
12
ab=1,m是pb的中点。
(ⅱ)求ac与pb所成的角;
(ⅲ)求面amc与面bmc所成二面角的大小。
例2、(12高考江苏)如图,在直三棱柱abca1b1c1中,a1b1a1c1,d,e分别是棱bc,cc1上的点(点d不同于点c),且adde,f为b1c1的中点.求证:
(1)平面ade平面bcc1b1;
(2)直线a1f//平面ade.
变式:
(11辽宁理)如图,四边形abcd为正方形,pd⊥平面abcd,pd∥qa,qa=ab=2pd.(i)证明:
平面pqc⊥平面dcq;
(ii)求二面角q—bp—c的余弦值.
例3、如图,四棱锥p-abcd中,底面abcd是∠dab=60°
的菱形,侧面pad为正三角形,其所在平面垂直于底面abcd.
(1)求证:
ad⊥pb;
(2)若e为bc边的中点,能否在棱pc上找到一点f,使平面def⊥平面abcd?
并证明你的结论.
第五篇:
高中立体几何证明垂直的专题训练
深圳龙岗区东升学校——罗虎胜
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法:
(1)通过“平移”。
(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质。
(3)利用勾股定理。
(4)利用三角形全等或三角行相似。
(5)利用直径所对的圆周角是直角,等等。
(1)通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面
1.在四棱锥p-abcd中,△pbc为正三角形,ab⊥平面pbc,ab∥cd,ab=
dc,2
e为pd中点.求证:
ae⊥平面pdc.
分析:
取pc的中点f,易证ae//bf,易证
bf⊥平面pdc
2.如图,四棱锥p-abcdabcd,∠pda=45°
,点e为棱ab的中点.求证:
平面pce⊥平面pcd;
取pc的中点g,易证eg//af,又易证af于是eg⊥平面pcd,则平面pce⊥平面pcd
(第2题图)
3、如图所示,在四棱锥pab中,
ab平面,pab//cd,pdad,e是pb的中点,f是cd上的点,且
df
ab,ph为pad中ad边上的高。
2
(1)证明:
ph平面abcd;
(2
)若ph1,adfc1,求三棱锥ebcf的体积;
(3)证明:
ef平面pab.
要证ef平面pab,只要把fe平移到dg,也即是取ap的中点g,易证ef//gd,易证dg⊥平面pab
4.如图所示,四棱锥pabcd底面是直角梯形
baad,cdad,cd2ab,pa底面abcd,
e为pc的中点,pa=ad。
证明:
be平面pdc;
取pd的中点f,易证af//be,易证af⊥平面pdc
(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质
5、在三棱锥pabc中,acbc2,acb90,pcac.apbpab,(ⅰ)求证:
pcab;
(ⅱ)求二面角bapc的大小;
6、如图,在三棱锥pabc中,⊿pab是等边三角形,∠pac=∠pbc=90o证明:
ab⊥pc
因为pab是等边三角形,pacpbc90,所以rtpbcrtpac,可得acbc。
如图,取ab中点d,连结pd,cd,则pdab,cdab,所以ab平面pdc,所以abpc。
(3)利用勾股定理
7、如图,四棱锥pabcd的底面是边长为1
的正方形,pacd,pa1,pd求证:
pa平面abcd;
_b
_a
_d
_c
8、如图1,在直角梯形abcd中,ab//cd,abad,且abad
cd1.2
现以ad为一边向形外作正方形adef,然后沿边ad将正方形adef翻折,使平面
adef与平面abcd垂直,m为ed的中点,如图2.
(1)求证:
am∥平面bec;
bc平面bde;
mc
9、如图,四面体abcd中,o、
e分别是bd、bc的中点,
cacbcdbd2,abad
(1)求证:
(2)求异面直线ab与cd所成角的大小;
连结ocbodo,abad,aobd.
bodo,bccd,
cobd.
在aoc中,由已知可得ao1,co而ac2,
ao2co2ac2,aoc90o,即aooc.
bdoco,ao平面bcd
bccd,侧面sab为等边三角形,
10、如图,四棱锥sabcd中,abbc
abbc2,cdsd1.
解法一:
(i)取ab中点e,连结de,则四边形
bcde为
矩形,de=cb=2,连结se,则seab,se又sd=1,故edsesd,所以dse为直角。
由abde,abse,desee,得ab平面sde,所以absd。
sd与两条相交直线ab、se都垂直。
所以sd平面sab。
(4)利用三角形全等或三角行相似
11.正方体abcd—a1b1c1d1中o为正方形abcd的中心,m为bb1的中点,求证:
d1o⊥平面mac.
法一:
取ab的中点e,连a1e,oe,易证△abm≌a1ae,于是am⊥a1e,又∵oe⊥平面abb1a1∴oe⊥am,∴am⊥平面oea1d1∴am⊥d1o
法二:
连om,易证△d1do∽obm,于是d1o⊥om
12.如图,正三棱柱abc—a1b1c1的所有棱长都为2,d为cc1中点.求证:
ab1⊥平面a1bd;
取bc的中点e,连ae,b1e,易证△dcb≌△ebb1,
从而bd⊥eb1
13、.如图,已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1中,过点b作b1c的垂线交侧棱cc1于点e,交b1c于点f,求证:
a1c⊥平面bde;
(5)利用直径所对的圆周角是直角
ab是圆o的直径,c是圆周上一点,pa⊥平面abc.)求证:
平面pac⊥平面pbc;
(2)若d也是圆周上一点,且与c分居直径ab的两侧,试写出图中所有互
相垂直的各对平面.
15、如图,在圆锥po中,已知poo的直径ab2,c是狐ab的中点,d为
ac的中点.证明:
平面pod平面pac;
16、如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd是矩形,pa平面abcd.以bd的中点o为球心、bd为直径的球面交pd于点m.
平面abm⊥平面pcd;
.
证:
依题设,m在以bd为直径的球面上,则bm⊥pd.因为pa⊥平面abcd,则pa⊥ab,又ab⊥ad,所以ab⊥平面pad,则ab⊥pd,因此有pd⊥平面abm,所以平面abm⊥平面pcd.
6
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