届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学文试题解析版Word文件下载.docx
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【解析】由函数f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)0,求出函数f(x)的解析式,再求出f'
(x),从而可求出切线方程.
•••函数f(x)是定义在R上的奇函数,
•f(0)1a0,得a1,
•f(x)exex,
•f'
(x)exex,
第2页共20页
•••f(0)0,f'
(0)2,
•••曲线yf(x)在点0,f(0)处的切线方程为y2x,
D.
本题主要考查奇函数的定义及性质,考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程,
属于基础题.
5.已知OO的半径为
1,A
B为圆上两点,
且劣弧
AB的长为
1,则弦AB与劣弧AB所
围成图形的面积为(
)
11
A.—-sin1
B.—
COS1
C.—
-sin—
D.-
cos-
22
【答案】A
【解析】由题意先求出圆心角,再求出扇形的面积和厶OAB的面积,从而得出结论.
设eO的半径为r,劣弧所对的圆心角为,弧长为I,
I1
由弧长公式Ir得二丄1,
r1
1111
•••弦AB与劣弧AB所围成图形的面积S-lr-r2sin--sin1,
2222
A.
本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式,考查三角形的面积公式,属于基础题.
6.某校为提高学生的身体素质,实施“每天一节体育课”,并定期对学生进行体能测
验在一次体能测验中,某班甲、乙、丙三位同学的成绩(单位:
分)及班内排名如表(假定成绩均为整数)现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位,这两位同学成绩相同的概率是()
成绩/分
班内排名
甲
95
9
乙
94
11
丙
93
14
A.0.2
B.0.4
C.0.5
D.0.6
【答案】B
【解析】由题意可得出成绩为95分的有
2人,94分的有3人,本题是古典概型,求出
事件包含的基本事件数以及基本事件的总数,
从而求出答案.
由表格可知,该班成绩为
95分的有
2人,94分的有3人,
•••从这5名同学中随机抽取
2名同学,
254
10
基本事件总数为C;
匕上
这两位同学成绩相同包含的基本事件数是
4
-0.4,
5
•这两位同学成绩相同的概率p—
B.
本题主要考查古典概型的概率计算,考查排列、组合问题,属于基础题.
7.已知双曲线
C:
务
a
y21a
b2
0,b0的左,右焦点分别为
F1,F2,若以F1F2为直
径的圆和曲线
C在第
象限交于点
戸,且厶POF恰好为正三角形,
则双曲线C的离心率
为()
A1亦
B15
C.13
D.15
【解析】先设厅店2丨2c,由题意知△F^P是直角三角形,利用且POF2恰好为正
三角形,求出|PR|、IPF2I,根据双曲线的定义求得a,c之间的关系,则双曲线的离
心率可得.
连接PF,,设IRF2|2c,
则由题意可得PF1F2是直角三角形,
由POF2恰好为正三角形得,PF2F160,
•••IPF2IC,「.\PFi|,4c2c23c,
|PR|IPF2I、.3cc2a,
本题主要考查双曲线的简单性质.考查数形结合的思想的运用,属于基础题.
8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动,每班从“农耕”“采摘““酿酒”野
炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践,且各班的选择互不相同.已知1班不选
“农耕”“采摘”;
2班不选“农耕”“酿酒”;
如果1班不选“酿酒”,那么4班不
选“农耕”;
3班既不选“野炊”,也不选“农耕”;
5班选择“采摘”或“酿酒”则
选择“饲养”的班级是()
A.2班B.3班C.4班D.5班
【解析】本题的关键是找出1,2,3,5班都不选农耕,则只有4班选农耕,再根据逆否命题的真假性,可得1班选酿酒,所以5班只有选采摘,逐一选择可得出结果.
由题意,1,2,3,5班都不选农耕,则只有4班选农耕,
根据逆否命题,1班选酿酒,所以5班只有选采摘,
只剩下“野炊”和“饲养”,
因3班既不选“野炊”,
故选择“饲养”的班级是3班.
【点睛】本题主要考查合情推理能力,以及逆否命题的真假性的判断能力,属于基础题.
9•下列关于函数fx2cos2x、_3sin2x1的说法,正确的是()
A.X是函数f(x)的一个极值点
3
B.f(x)在区间[0,—]上是增函数
C.函数f(X)在区间(0,n)上有且只有一个零点——
12
D.函数f(X)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移一个单位长度得到
【解析】先化简函数解析式,然后再逐一判断选项即可.
函数f(x)2cos2x、.3sin2x1cos2x、、3sin2x2sin(2x),
6
当X—时,2sin(2x),所以X一不是函数f(x)的一个极值点,所以A不正
3623
确;
确;
时,函数f(X)取得最大值,
所以函数在区间[0,]上不是增函数,
所以B不正
由2sin(2x)
0得2xk
kZ,则x
祛k乙所以在区间(0,)
511
上有两个零点,,所以C不正确;
1212
由函数y2sin2x的图象向左平移/个单位长度得到
y2血(2(X石))2sin(2x6),所以D正确.
【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用,属于基础题.
10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体(即多面体内任意两点的连线都被完
全包含在该多面体中,直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数V棱数E及
面数F满足等式V-E+F=2,这个等式称为欧拉多面体公式,被认为是数学领域最漂亮、
简洁的公式之一,现实生活中存在很多奇妙的几何体,现代足球的外观即取自一种不完
全正多面体,它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的.20世
纪80年代,化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构,排列出全世界最小的一
颗"
足球”,称为"
巴克球(Buckyball)"
.则"
巴克球”的顶点个数为()
A.180B.120C.60D.30
【解析】设巴克球顶点数V、棱数E及面数F,计算出面数和棱数即可求出顶点数.
依题意,设巴克球顶点数
V、棱数E及面数F,
则F201232,
每条棱被两个面公用,故棱数E51262090,
所以由VEF2得:
V90322,解得V60.
本题为阅读型题目计算出棱数是解决问题的关键,属于基础题.
11.已知正方体ABCDA1B1CD,E,F是线段AC上的点,且AE=EF=FC,分别过点E,
F作与直线AG垂直的平面
a,卩,则正方体夹在平面a与卩之间的部分占整个正方
体体积的
A.-
【答案】
C,
【解析】
构造平面
ABD,
平面CB1D1,
设正方体边长为1,根据等体积法计算A到平
面ABD
的距离h
y,从而可得出E,
F分别为AC1与平面A1BD和平面CB1D1的交
点,计算中间几何体的体积得出答案.
【详解】解:
DI
B
构造平面A1BD,平面CB1D1,则AC1
平面A^BD,ACi平面CB1D1,
设正方体边长为i,贝UabadbdJ2,AC1J3,
AEEF
FCi
VAABDVCB’CD
设A到平面ABD的距离为h,则VaAB1D
F1,F2,点P在椭圆上且异于长轴端
uuuuuuu
0,NPNF20,则IMN
的最大值为()
A.6B.8
C.12D.14
E平面ABD,同理可得f平面CBiDi,
正方体夹在平面与之间的部分体积为1-2-
63
•••体积之比是一,
本题考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,
考查运算求解能力,属于中档题.
12.已知椭圆C:
—1的左、右焦点分别为
612
ujiruuju
点•点MN在厶PF1F2所围区域之外,且始终满足MPMF1
【解析】设PF1,PF2的中点分别为C,D,则M,N在分别以C,D为圆心的圆
上,直线CD与两圆的交点(△PF1F2所围区域之外)分别为M,N时,|MN丨的最
大,可得|MN|的最大值为
PF1PF2
CD
ac即可.
设PFi,PF2的中点分别为C,D,
QMPgMh0,NPgNF20,则M,N在分别以C,D为圆心的圆上,
•••直线CD与两圆的交点(△PF1F2所围区域之外)分别为M,N时,|MN|最大,
PFpf
•|MN|的最大值为-2CDac426,
2,
本题考查了椭圆的性质,考查了转化思想,属于中档题.
二、填空题
13.已知非零向量a,b满足|a||b|,abJ3”,则:
与b的夹角为.
【答案】120
vJvv匕1v2vvV2;
rr1
【解析】由题意,vb2ab3b,得2bcosv,bb,所以cos〈a,b)-,
所以夹角是120。
14.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为.
【答案】4.
【解析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥PABCD,其中,PO底面
ABCD,ABCD是正方形,边长为3,PO2,由此能求出该四棱锥中最长棱的棱
长.
由题意几何体的直观图如图,
ABCD是正方形,
边长为3,PO2,AO
iAC,
所以PC4(2-2)24,
PBPD•2222123,
所以最长的棱长为4,
故答案为:
4.
本题主要考查由三视图还原几何体的直观图,考查四棱锥中最长棱的求法,属于基础题.
15•已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,且
2a—bcosBbc,则b+c的取值范围为.
(42,)
【解析】根据已知等式和余弦定理,可推出cosBcosC,即BC,bc,又知a4,所以bc4;
因为三角形ABC是锐角三角形,所以角A为锐角,cosA(0,1);
由a2b2c22bccosA,设bcx,用cosA表示出x,并求出x的取值范围,进
而得bc2x的取值范围.
Qa4,且2a(-abcosB)b2c2,
222222
a2abcosBbc,即卩abc2abcosB,
又Q由余弦定理可得a2b2c22abcosC,
可得2abcosB2abcosC,即cosBcosC,
BC,bc,又A为锐角,cosA(0,1),
Qa
4,bc4,
设b
cx,由余弦定理知ab2c22bccosA,
i6
222
2x2xcosA2xg(1cosA),
x2
8
1cosA8,X厶2,2x42,
故b
c4J2,
(4.2,).
本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想,转化思想,属于中档题.
16.已知曲线y=|lnx|与直线y=m有两个不同的交点Pi(xi,yi),F2(X2,y)(Xiv
X2),设直线11,I2分别是曲线y=|lnx|在点Pi,P2处的切线,且li,丨2分别与y轴相交于点A,B△F2AB为等边三角形,则实数m的值为.
【答案】In.3
【解析】由对数的运算性质可得X|X2i,0为ix2,分别求得yInx和yInx的导数,可得切线的斜率和切线的方程,以及A,B的坐标,可得等边三角形的边长,
可得X2,进而得到m的值.
由曲线y|lnx|与直线ym有两个不同的交点,可得-Inxi=Inx2,即有xix2i,0XiiX2,
ii
由yInx的导数为y—,可得切线li的斜率为,切线的方程为
xXi
InJ3.
本题主要考查利用导数求切线方程,考查直线方程的运用,属于中档题.
三、解答题
17.端午节是中国传统节日之一节日期间,各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打
响.某记者走访市场发现,各大商场粽子种类繁多,价格不一根据数据统计分析,得到
了某商场不同种类的粽子销售价格(单位:
元/千克)的频数分布表,如表一所示.
表
价格/(元/千克)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
种类数
16
在调查中,记者还发现,各大品牌在馅料方面还做足了功课,满足了市民多样化的需求
除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽,很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内,记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查,结果如表二.
表二:
喜欢传统馅料粽
喜欢特色馅料粽
总计
40岁以下
30
15
45
40岁及以上
50
55
80
20
100
(1)根据表一估计该商场粽子的平均销售价(同一组中的数据用该组区间的中点值代
表);
(2)根据表二信息能否有95%勺把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关?
参考公式和数据:
K2
nadbe
abedaeb
abed为样本
容量)
P(k。
0.050
0.010
0.001
ko
3.841
6.635
10.828
(1)该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克
(2)有95%勺把握认为顾客的
粽子口味偏好与年龄有关
(1)根据表一的数据计算平均数即可;
(2)根据表二信息计算观测值,对照临界值即可得出结论.
(1)根据表一的数据,
X(12.5417.51222.51627.5632.52)21.25
40'
估计该商场粽子的平均销售价为21.25;
(2)根据表二信息,
K21°
°
(3°
55015)21009.0913.841,
8020455511
所以有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关.
【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题,属于基础题.
18•已知{刘是等比数列,a3,且a1,a2,a3成等差数列.
816
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设b
..,求数列{bn}的前n项和Tn.
log1a2n1log1a2n1
12n
(1)an=(-)n
(2)上一
22n1
(1)设等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,
可得首项和公比q的方程,解方程可得首项和公比,进而得到所求通项公式;
(2)求得匕(2n1)(2n1)
2n1
,再由数列的裂项相消求和.
(1)设{an}是公比为q的等比数列,as
8,
1左
且a「a2亦忌成等差数列,
可得qq21
a1a3
2危16,即a1
2(a1q材,
解得4q
2,
贝Uana1qn1
(1)n
(2);
(2)
bn
(log1a2n1)(log1a2n1)
log1(!
)2n1^og1
(2n1)(2n1)
2n12n1,
111
■-Tn1335
2n12n12n1
2n
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,
考查数列的裂项相消求和,
以及
化简运算能力,属于中档题.
2的菱形,/ABC=60°
AC与BD
19•如图,四棱锥P-ABC呼,底面ABC[是边长为
交于点O,POL平面ABCDE为CD勺中点连接AE交BD于G,点F在侧棱PD上,且DFPD
(1)求证:
PB//平面AEF
(2)若
COS
BPA辽,求三棱锥E-PAD的体积.
(1)
证明见解析(
以O为原点,
OB为X轴,OC为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标
系,利用向量法证明PB//平面AEF;
(2)求出
uuffuuu2
PA(0,1,a),PB(.3,0,a),由cosBPA2,求出PO1,三棱锥
EPAD
的体积VPADVpADE,由此能求出结果.
(1)证明:
四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,
ABC60,AC
与BD交于点O,PO平面ABCD,
E为CD的中点连接AE交BD于G,点F在侧棱PD上,且DF
以O为原点,OB为x轴,oc为y轴,OP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设POa,则P(0,0,a),A(0,1,0),BG,3,0,0),C(0,1,0),D(.3,0,0),
E(
i3,?
0),
UUU-
PB(3,0,
a)
F(3
UUT
AE
朋0旦)
0,3),
33UUJ
—,0),AF22
(*),
设平面AEF
的法向量
(x,y,z),
ruuv
n•E
则
nAF
.3
x
,取x
/3,得
uuur
QPBgn3
PB//平面
AEF
uua
(2)解:
PA
(0,
1,
Qcos
BPA
0,解得a
三棱锥
VEPAD
iz0
nc3,1,i),
PB平面AEF,
uur-
a),PB(..3,0,a),
UUDUJU
|PAgPBI
-UUrUuuF
|PAgPB|
PO
a2
.a21g3a2
EPAD的体积:
VpADE
3Sade
1CDAEAO
13
2~6
【点睛】本题主要考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
20.已知函数f(x)aexxa(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)问:
是否存在实数a,使得f(x)有两个相异零点?
若存在,求出a的取值范围;
若不存在,请说明理由
(1)①当a0时,函数f(x)无极值.②当a0时,函数f(x)有极小值为
f(lna)lnaa1,无极大值;
⑵存在,a(0,1)U(1,)
(1)对函数f(x)求导,根据a的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数f(x)的极值;
⑵根据a的不同取值范围,进行分类讨论,结合f(0)0、函数的极值
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