八年级数学下册 第1章 直角三角形 12 直角三角形的性质与判定Ⅱ第3课时 勾股定理的逆定理练Word格式.docx
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长沙我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:
“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?
”这道题讲的是:
有一块三角形沙田,三条边长分别为5里、12里、13里,问这块沙田面积有多大?
题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( )
A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米
二、填空题
6.xx·
益阳如图K-5-3,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线.则
CD=________.
图K-5-3
7.如果△ABC的三边长分别为5,12,x,那么当x为______时,△ABC是直角三角形.
三、解答题
8.根据三角形的三边a,b,c的长,判断三角形是不是直角三角形.
(1)a=11,b=60,c=61;
(2)a=
,b=1,c=
.
9.如图K-5-4,在△ABC中,CD是AB边上的高,AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm.
(1)求△ABC的面积;
(2)求CD的长;
(3)若BE是△ABC的边AC上的中线,求△ABE的面积.
图K-5-4
10.如图K-5-5,在△ABC中,AD是BC边上的中线,BC=4,AC=2,AD=2
(1)求∠C的度数;
(2)求AB的长.
图K-5-5
11.如图K-5-6,小明的爸爸在鱼池边开垦了一块四边形土地种植一些蔬菜,爸爸让小明计算这块土地的面积,以便计算产量.小明找来一卷米尺,测得AD=3m,AB=4m,∠BAD=90°
,BC=12m,CD=13m.请你帮小明计算四边形ABCD的面积.
图K-5-6
12.图K-5-7是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC=11m,AD=BC=6m,AC=12m,请你帮他看一下挖的是否合格.
图K-5-7
13.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.
阅读理解题根据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5.后人概括为“勾三、股四、弦五”.
(1)观察:
①3,4,5;
②5,12,13;
③7,24,25;
…;
发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且
×
(9-1)=4,
(9+1)=5,
(25-1)=12,
(25+1)=13.
发现规律:
当勾=n(n≥3,且n为奇数)时,股=
(n2-1),弦=
(n2+1),分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;
(2)根据
(1)的规律,用含n(n为奇数,且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合理猜想它们之间的两种等量关系,并对其中一种猜想加以证明;
(3)继续观察①6,8,10;
②8,15,17;
③10,24,26;
可以发现各组的第一个数都是偶数,且从6起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含m(m为偶数,且m≥6)的代数式来表示它们的股和弦.
详解详析
课堂达标
1.[解析]D ∵12+22≠22,
∴长为1,2,2的线段不能组成直角三角形;
∵22+32≠42,∴长为2,3,4的线段不能组成直角三角形;
∵22+42≠52,
∴长为2,4,5的线段不能组成直角三角形;
∵32+42=52,
∴长为3,4,5的线段能组成直角三角形.故选D.
2.[解析]C ∵(a-c)(a2+b2-c2)=0,
∴a-c=0或a2+b2-c2=0,
则a=c或a2+b2=c2,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形,
故选C.
3.C
4.[解析]A 利用勾股定理求出AC=
,AB=
,BC=
,所以有AC2+AB2=BC2,所以△ABC是直角三角形.
5.[解析]A ∵52+122=132,∴这个三角形为直角三角形.又∵5里=5×
500米=2500米=2.5千米,12里=12×
500米=6000米=6千米,∴S=
6×
2.5=7.5(平方千米).
6.[答案]6.5
[解析]∵AC=5,BC=12,AB=13,∴AC2+BC2=52+122=169,AB2=169,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形.∵CD是AB边上的中线,∴CD=
AB=6.5.
7.[答案]
或13
[解析]若5,12,x中,x最大,
则x2=52+122,
即当x=13时,△ABC为直角三角形;
若5,12,x中,12最大,
则122=x2+52,
即当x=
时,△ABC为直角三角形.
[点评]此题要注意将x分别作为直角边长和斜边长进行分类讨论.
8.解:
(1)∵a<
b<
c,且a2+b2=112+602=3721,c2=3721,∴a2+b2=c2,
∴三角形是直角三角形.
(2)∵a<
c,且a2+b2=
+12=
,c2=
,
∴a2+b2≠c2,∴三角形不是直角三角形.
9.解:
(1)∵AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,
∴AB2=BC2+AC2,∴∠ACB=90°
∴S△ABC=
AC·
BC=
8=24(cm2).
∴△ABC的面积为24cm2.
(2)∵S△ABC=
AB·
CD=24cm2,
∴CD=4.8cm.
(3)∵BE是△ABC的边AC上的中线,
∴AE=CE,
∴S△ABE=S△BCE=
S△ABC=12cm2,
∴△ABE的面积为12cm2.
10.解:
(1)∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD=2.
∵AC=2,AD=2
,22+22=(2
)2,
∴CD2+AC2=AD2,∴∠C=90°
(2)∵∠C=90°
∴△ABC是直角三角形,
∴AB=
即AB=
,∴AB=2
11.解:
连接BD.
在△ABD中,∵AD=3m,AB=4m,
∠BAD=90°
根据勾股定理,得
BD=
=
=5(m).
在△BCD中,∵BD=5m,BC=12m,
CD=13m,
∴BD2+BC2=CD2,
∴△BCD是直角三角形,
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=
3×
4+
5×
12=36(m2).
12.解:
∵AD2+DC2=62+112=157,
AC2=122=144,
∴AD2+DC2≠AC2,
∴△ADC不是直角三角形,
∴∠ADC≠90°
而按标准应为长方形,四个角应都为直角,
∴该农民挖的不合格.
13.[解析]若能求出a,b,c的值,则可判断它是不是特殊的三角形.移项使等式右边为零,左边利用“配方法”可整理为几个非负数的和,即可求出a,b,c的值,从而判定△ABC的形状.
解:
原式变形为
a2+b2+c2-10a-24b-26c+338=0,
即(a2-10a+25)+(b2-24b+144)+(c2-26c+169)=0,
∴(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,
∴a=5,b=12,c=13,
∴c2=a2+b2,
故△ABC为直角三角形,且∠C=90°
素养提升
(1)7,24,25的股的算式是
(49-1)=
(72-1)=24,弦的算式是
(49+1)=
(72+1)=25.
(2)当n为奇数,且n≥3时,勾、股、弦的代数式分别是n,
(n2-1),
(n2+1).
猜想关系式1:
弦-股=1;
关系式2:
勾2+股2=弦2.
例如证明关系式1:
弦-股=
(n2+1)-
(n2-1)=1.
或证明关系式2:
勾2+股2=n2+
n4+
n2+
(n2+1)2=弦2,∴猜想成立.
(3)当m为偶数,且m≥6时,股、弦的代数式分别是
-1,
+1.
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