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TheApplicationofGeometricalModelinOurDailyLife
Abstract:
Geometricalmodelisaveryimportanttoolinmathematicalmodeling.Rationalofitwillsimplifytheoriginalcomplexproblems.Generally,geometricalmodelsareconstructedaccordingtotheconcretematerials,namely,peoplecanfindtheiroriginalmodelsinreallife.Asgeometricalmodelaimsatsolvingtheprogrammaticproblems,ithasbeenwidelyused.Itplaysaveryimportantroleinvariousfields.Thispapermainlyanalysesthemethodsofconstructinggeometricalmodelfromtheperspectivesoftransportation,themovingoftheobject,andtheoptimaldesignofcars,andthenexploresthewayofsolvingtheproblem.Thispaperalsoresearchestheapplyingfieldsofalltheconstructingmodelsandthesolvingofsomecertainproblemswiththesemodels.
Keywords:
Mathematicalmodeling,Mathematicalmodel,Geometricalmodel,Simplify
一、前言……………………………………………………………………………………
(1)
二、几何模型在物体运动问题中的应用…………………………………………………
(2)
(一)步长选择…………………………………………………………………………
(2)
(二)雨中行走…………………………………………………………………………(3)
三、几何模型在运输问题中的应用………………………………………………………(6)
(一)冰山运输…………………………………………………………………………(6)
四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用…………………………………………(10)
(一)驾驶盲区………………………………………………………………………(10)
(二)车灯线光源的优化设计模型…………………………………………………(12)
五、几何模型在其它问题中的应用……………………………………………………(15)
(一)医学中的应用…………………………………………………………………(15)
1.血管分支…………………………………………………………………………(15)
(二)日常生活中的应用……………………………………………………………(16)
1.动物的身长与体重………………………………………………………………(16)
2.拐角问题模型……………………………………………………………………(17)
参考文献…………………………………………………………………………………(19)
一、前言
近年来,数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高.但是,到底什么是数学模型和数学建模呢?
可能许多人还不是很清楚.所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.
当一个数学结构作为某种形式语言(即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合)解释时,这个数学结构就称为数学模型.换言之,数学模型可以描述为:
对于现实世界的一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.也就是说,数学模型是通过抽象简化的过程,用数学语言对实际现象的一个近似的刻画,从而便于人们更深刻地认识所研究的对象.
数学模型模仿了一个现实系统,是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果.它用精确的语言表达了对象的内在特性,是利用函数、方程等变量描述方法以及数学概念创立的模型.但建立数学模型并非以模型为目标,而是为了解决实际问题.当我们建立一个数学模型时,我们从现实世界进入了充满数学概念的抽象世界.在数学世界内,我们用数学方法对数学模型进行推理、演绎、求解,并借助于计算机处理这个模型,得到数学上的解答.最后,我们再回到现实世界,将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”,如给出现实对象的分析、预报、决策、控制的结果.这些结果还必须经实际的检验,即用现实对象的信息检验得到的解答,确认结果的正确性.我们始于现实世界又终结于现实世界,数学模型是一道理想的桥梁.
在实际应用中,数学模型可按不同方式分类.若按建立模型的数学方法分类,则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等.这些模型彼此之间并非绝对孤立,而是互相渗透,互为工具.
在可用数学建模的方法解决的问题中,有些比较简单,只使用其中的一种模型即可.例如,一把梯子斜靠在墙上,如何测得梯子和墙的夹角呢?
首先建立梯子的几何模型,即将其假设为一线段,忽略其余各部分.接下来,测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离.再利用三角函数,便可计算出夹角.但在解决复杂问题时,仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的,往往是两类或多类知识综合起来使用,会达到事半功倍的效果.或者在原有模型的基础上,使用几何模型作为辅助手段,也会为问题的解决带来惊喜.
几何模型不是原型,既简单于原型,又高于原型,它是对原物体简化后的产物.几何模型有一定的适用条件,即在所要解决的问题中需出现具体实物,因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在.若问题中没有出现有具体形状的物体,则几何模型也无从谈起.但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物,所以几何模型的应用范围是很广泛的,地位是举足轻重的.下面我们将从四个方面,介绍几何模型的具体应用.
二、几何模型在物体运动问题中的应用
数学建模过程是由若干个有明显差别的阶段性工作组成的,可以分为问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等过程.但建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,以上只是机理分析方法建模的一般过程.在本文中,受所研究问题及篇幅所限,部分过程有所省略.
物体运动中所涉及到的物体一定是有具体形状的,所以符合几何模型的应用条件.分析运动物体的几何结构,对其进行合理简化,是几何模型的一个重要应用.
(一)步长选择
问题描述:
人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和.在给定速度时,以动作最小(即消耗能量最小)为原则.问走路步长选择多大为合适?
问题分析:
此问题若陷入人体复杂的生理结构之中,将会得出过于复杂的模型而失去使用价值.对人体进行合理的简化,是解决问题的首要步骤.由于此例要解决的是步长问题,则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的.
另外,依靠平时生活经验的积累,可判断影响步长的主要因素有:
(1)身高«
SkipRecordIf...»
(或腿长«
);
(2)体重«
.
为简化问题的研究,做以下假设:
(1)假设人体只由躯体和下肢两部分组成,且下肢看作长为«
、质量为«
的均匀杆;
(2)设躯体以匀速«
前进.
模型建立:
如图1所示,重心升高
«
(当«
较小时).
腿的转动惯量«
,角速度«
,单位时间的步数为«
.所以单位时间行走所需的动能为«
单位时间内使身体重心升高所做的功为«
,所以单位时间行走所需的总功«
.代入«
,得«
.于是当«
一定时,«
可使«
最小.由«
.求解完毕.
(二)雨中行走
一个雨天,你有件急事需要从家中到学校去.学校离家不远,仅一公里,况且事情紧急,你不准备花时间去翻找雨具,决定碰一下运气,顶着雨去学校.假设刚刚出发雨就大了,但你也不再打算回去了.一路上,你将被大雨淋湿.一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走,以减少淋雨的时间.但是如果考虑到降雨方向的变化,在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略.试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度.
对于这个实际问题,它的背景是简单的,人人皆知无需进一步论述.我们的问题是,要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略,使得你被雨水淋湿的程度最低.
分析参与这一问题的因素,主要有:
(1)降雨的大小;
(2)风(降雨)的方向;
(3)路程的远近;
(4)你跑的快慢.为简化问题的研究,我们假设:
(1)降雨的速度(即雨滴下落速度)和降水强度保持不变;
(2)你以定常的速度跑完全程;
(3)风速始终保持不变;
(4)把人体看成是一个长方体的物体(此项为几何方面的假设).
在这些假设下,我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量:
雨中行走的距离«
(米)、时间«
(秒)、速度«
(«
人的身高«
(米)、宽度«
(米)和厚度«
(米);
身上被淋的雨水总量«
(升).关于降雨的大小,在这里用降水强度(单位时间平面上降下雨水的厚度)«
)来描述.
模型求解:
为进一步简化这一问题的研究,首先讨论最简单的情形,即不考虑降雨角度的影响,也就是说在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水.经简单论证可知,这是一个荒谬的假设,所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的.按照建模的程序,需要回到对问题所做的假设,推敲这些假设是否恰当.这时我们发现不考虑降雨角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了.
若考虑降雨角度的影响,则降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了.现给出降雨的速度,即雨滴下落的速度«
),以及降雨的角度(雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角)«
.显然,前面提到的降雨强度将受降雨速度的影响,但它并不完全决定于降雨的速度,它还决定于雨滴下落的密度.我们用«
来度量雨滴的密度,称为降雨强度系数,它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据的空间的比例数.于是有«
.显然,«
,而当«
时意味着大雨倾盆,有如河流向下倾泻一般.
如图2所示,在这种情形下为了估计出你被雨水淋湿的程度,关键是考虑雨滴相对于雨中行走方向的下落方向.
首先考虑«
的情况.这时雨水是从前方迎面而来落下的,由经验可以知道,这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方.因此淋在身上的雨水将分为两部分来计算.
先考虑顶部被淋的雨水.雨滴速度垂直方向的分量是«
,顶部的面积是«
.不难得到,在时间«
内淋在顶部的雨水量应该是:
再考虑前方表面淋雨的情况.雨速水平方向的分量是«
,前方的面积是«
,故前方表面被淋到的雨水的量应该是
因此在整个行程中被淋到的雨水的总量应该是
.
(1)
如果假设落雨的速度是«
,由降雨强度«
可以估算出它的强度系数«
.把这些参数值代入
(1)式可以得到
在这个模型里有关的变量是«
和«
,其中«
是落雨的方向,我们希望在模型研究过程中改变它的数值;
而«
是要选择的雨中行走的速度.由于在我们讨论的情形下有«
,而且«
是«
的减函数,因此当«
增大时淋雨量«
将逐渐减小.
考虑«
的情形.在这种情形下,雨滴将从后面向你身上落下.令«
,则«
.这个情形还要按照你在雨中行走的速度再分成两种情况.
的情形,也就是说行走的速度慢于雨滴的水平运动速度.这时雨滴将淋在后背上.淋在背上的雨水的量是«
,于是淋在全身的雨水的总量应该是
当你以可能的最大速度«
在雨中行进时,雨水的总量的表达式可以化简为
它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了.实际上,这意味着你刚好跟着雨滴向前走,所以身体前后都没有淋到雨.如果你的速度低于«
,则由于雨水落在背上,而使得被淋的雨量增加.因此在这种情形下淋雨量仍然是行走速度的减函数.
第二个情形是«
的情形,这时在雨中的奔跑速度比较快,要快于雨滴的水平运动速度.这时人将不断地追赶雨滴,雨水将淋在你的胸前.被淋的雨量是«
.于是全身被淋的雨水的总量是
综合上面分析的结果,我们可以得到淋雨量的数学模型为:
正如上面分析所得到的,模型中前两个式子都是速度«
的减函数.但是第三个式子的情形就比较复杂了,它的增减性将取决于括号内的式子«
是正还是负,它刚好是关于人的体形的一个指标.
从这个模型我们可以得到如下结论:
(1)如果雨是迎着你前进的方向向你落下,这时的策略很简单,应该以最大的速度向前跑;
(2)如果雨是从你的背后落下,这时你应该控制你在雨中的行走的速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量.这时雨滴不会淋到你的前胸和后背,只淋到了头顶上.
小结:
通过研究前面两个问题,我们作以下三点总结:
(1)在第一个问题中,我们用几何模型结合物理知识,解决了人体行走中的步长问题.建立模型时,把人体只看作由躯干和下肢两部分组成,是对人体的第一次简化;
接着又将下肢看作长为«
的均匀杆,是对人体的第二次简化.两次简化对问题的解决起到了关键作用,既合理简化了问题,又未因过分简化而使模型失去其使用价值.而在第二个问题的模型建立中,将人体直接看成是一个长方体的物体.通过对比我们可以看出,在解决不同的实际问题时,对同一物体可根据实际需要做出不同的模型假设.
(2)通过解决第二个问题我们还可以发现,数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程.虽然建立模型是为了简化问题,但有时这种简化是过度的,即得到的结果与现实情况出入过大.这时就需要返回问题分析这一步骤,对模型原有假设进行修改,使其逐渐向原型靠近,从而得出合理的结论.
(3)除人在行走中的步长选择问题以及雨中行走问题外,还有很多物体运动值得我们研究.例如汽车刹车距离问题,即两车之间保持多长距离能保证司机在发生意外时可以及时刹车.在汽车驾驶中有这样的规则:
正常驾驶条件下车速每增加10«
,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度.有人根据这一规则,推出了所谓的“2秒准则”,即后车司机若能在前车经过某一标志的2秒钟后到达同一标志,则此时两车之间的距离刚好.这个准则的合理性如何,是否有更好的准则?
这些问题都值得研究.如果此准则合理,就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了.
三、几何模型在运输问题中的应用
英国媒体于近日报道,英国最大的供水厂商泰晤士自来水公司正在考虑将北极冰山拖运到伦敦,以化解可能面临的百年来最严重的水荒.该公司在伦敦举行的一次会议上说:
“我们不得不考虑任何可能的方案,包括从北极拖运冰山及人工造雨.尽管许多人可能觉得利用冰山的想法愚蠢荒唐,但不能排除这种可能性.”
那么拖运冰山这一想法可行吗?
用数学建模的方法便可解决这一问题.
(一)冰山运输
在水资源十分贫乏的国家,政府不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水,成本大约是每立方米淡水«
英镑.有些专家提出从南极用拖船运送冰山到本国,以取代淡化海水的办法.这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性.
为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用,我们需要搜集关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据,以此作为建模必须的准备工作.
在此我们只研究冰山几何模型的建立方法,故只给出冰山运输过程中的融化速率的数据表(见表1).所谓融化速率是指在冰山与海水、大气接触处冰山每天融化的速度.融化速率除与船速有关外,还和运输过程中冰山与南极的距离有关.这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故.
表1冰山运输过程中的融化速率
与南极距离(«
)
船速(«
01000«
4000
1
3
5
0«
«
建立模型的目的是选择拖船的船型和船速,使冰山到达目的地后,可得到的每立方米水所花的费用最低,并与海水淡化的费用相比较.
模型假设:
根据建模目的和搜集到的有限的资料,需要作如下的简化假设.
(1)拖船航行过程中船速不变,航行不考虑天气等任何因素的影响.总航行距离为9600«
(2)冰山形状为球形,球面各点的融化速率相同.这是相当无奈的假设,在冰山上各点融化速率相同的条件下,只有球形的形状不变,这样体积的变化才能简单地计算.
(3)冰山到达目的地后,1«
冰可以融化成0.85«
水.
首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况,然后是计算航行中的燃料消耗,由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费.在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式.模型构成可分为以下几步.
(1)冰山融化规律
根据假设
(2)先确定冰山球面半径的减小量,从而得到冰山体积的变化规律.
记冰山球面半径融化速率为«
,船速为«
,拖船与南极距离为«
.根据表1中融化速率的数据,可设«
是船速«
的线性函数,且当«
时«
与«
成正比,而当«
无关,即设
(2)
其中«
,«
为待定参数.这可以解释为«
相当于从南极到赤道以南,海水温度随«
增加而上升,使融化速率«
也随«
的增加而变大.而«
后海水温度变化较小,可以忽略.
利用表1所给数据确定出
.(3)
当拖船从南极出发航行第«
天时,与南极的距离为
.(4)
记第«
天冰山球面半径融化速率为«
,将(3)、(4)式代入
(2)式得
SkipRecordIf...
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