01背包问题论文Word格式.docx
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则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下:
“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];
如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
3.代码清单
#include<
stdio.h>
intc[10][100];
/*对应每种情况的最大价值*/
intknapsack(intm,intn)
{
inti,j,w[10],p[10];
printf("
请输入每个物品的重量,价值:
\n"
);
for(i=1;
i<
=n;
i++)
scanf("
%d,%d"
&
w[i],&
p[i]);
for(i=0;
10;
for(j=0;
j<
100;
j++)
c[i][j]=0;
/*初始化数组*/
for(j=1;
=m;
{
if(w[i]<
=j)/*如果当前物品的容量小于背包容量*/
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>
c[i-1][j])
/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/
/*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
elsec[i][j]=c[i-1][j];
return(c[n][m]);
}
intmain()
intm,n;
inti,j;
请输入背包的承重量,物品的总个数:
m,&
n);
旅行者背包能装的最大总价值为%d"
knapsack(m,n));
return0;
4运行结果(截图)
5计算复杂性分析(时间、空间)
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。
那么,如果只用一个数组f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?
f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?
事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
伪代码如下:
fori=1..N
forv=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。
如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。
过程ZeroOnePack,表示处理一件01背包中的物品,两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。
procedureZeroOnePack(cost,weight)
forv=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。
前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。
而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。
费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。
有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
三、贪心算法解决0-1背包问题
1.算法思想
将物品按价值和重量的比值从大到小排列,然后将这些值逐一的放到价值中。
判断条件为C<
W总,W总+=w;
在装不进去后,输出装在的是那个的数组,就行。
只是这个方法在有的时候不是最优的。
2.时间复杂度分析
一次sort为log2n,在加上比较和装载不会超过n,所以时间负杂度为n+log2n,也就是n。
3.源代码
#include<
#defineM5
structnode{
floatvalue;
floatweight;
intflag;
}Node[M],temp;
floatValue,curvalue=0;
floatWeight,curweight=0;
//按性价比排序
voidsort(){
inti,j;
M-1;
i++){
for(j=i+1;
M;
j++){
if((Node[i].value/(float)Node[i].weight)<
Node[j].value/(float)Node[j].weight){
temp=Node[i];
Node[i]=Node[j];
Node[j]=temp;
}
//装载主要方法
voidload(){
inti;
if((Node[i].weight+curweight)<
=Weight){
curvalue+=Node[i].value;
curweight+=Node[i].weight;
Node[i].flag=1;
}else{
Node[i].flag=0;
//进行结果的输出
voidputout(){
选中物品的重量分别为:
"
if(Node[i].flag){
%.2f"
Node[i].weight);
\n总价值为:
%.2f"
curvalue);
intmain(){
请输入物品的重量和价值:
请输入第%d个物品的重量和价值"
i+1);
%f%f"
Node[i].weight,&
Node[i].value);
\n请输入背包容积:
%f"
Weight);
sort();
load();
putout();
4.结果截图
6.参考文献
首先鸣谢XX知道的达人给与的错误讲解。
算法设计与分析第二版(王晓东)
算法导论(美)科曼(Cormen,T.H.)等著,潘金贵等译
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