电大高数基础形考14答案可编辑修改word版Word文档下载推荐.docx

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lim

f（x）=lim

x→x-

f（x）

（二）填空题

⒈函数f（x）=

x-3

+ln（1+x）的定义域是{x|x>

3}．

⒉已知函数f（x+1）=x2+x，则f（x）=x2-x．

⒊lim（1+

x→∞

1）x=．

2x

lim（1+

1）x=lim（1+1

2x⨯11

）2=e2

x→∞2xx→∞2x

⎧1

⒋若函数f（x）=⎪（1+x）x,

0，在x=0处连续，则k=e．

⎪⎩

⎧x+1,

⒌函数y=⎨

⎩sinx,

x+k,

x>

x≤0

的间断点是x=0．

⒍若limf（x）=A，则当x→x0时，f（x）-A称为x→x0时的无穷小量．

（二）计算题

⒈设函数

求：

f（-2）,

f（0）,

f

（1）．

⎧ex,

f（x）=⎨

⎩x,

解：

f（-2）=-2，f（0）=0，f

（1）=e1=e

2x-1

⒉求函数y=lg

的定义域．

⎧2x-1>

0⎧

⎪

2x-1⎪1

y=lg

有意义，要求⎨

x⎪x≠0

⎩

解得⎨x>

或x<

⎪⎩x≠0

则定义域为⎧x|x<

0或x>

1⎫

⎨2⎬

⎩⎭

⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

D

A

R

OhE

B

C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE==

则上底＝2AE=2

故S=h（2R+2sin3x

R2-h2）=h（R+R2-h2）

⒋求lim．

x→0sin2x

sin3x⨯3xsin3x

sin3x

limlim

=lim3x

⨯3＝1⨯3=3

⒌求lim

x→0sin2x⨯2x

．

x→0sin2x2

122

x→-1sin（x+1）

x2-1（x-1）（x+1）

x-1

-1-1

lim

x→-1sin（x+1）

tan3x

=lim

x→-1

sin（x+1）

x+1

==-2

⒍求lim

1=limsin3x

⨯1⨯3=1⨯1⨯3=3

⒎求lim

x→0x

cos3x

x→03x

cos3x1

x2

+1）sinx

=（1+1）⨯1

=0

⒏求lim（

x-1）x．

x+3

1-1

（1-1）x

[（1+

1）-x]-1-1

-

lim（）=lim（

x）x=lim

x=lim-x

=e=e-4

x→∞3

3xx→∞

1xe3

1+（1+

）[（1+

）3]3

x2-6x+8

⒐求lim2．

xxx

x→4x

-5x+4

x2-6x+8（x-4）（x-2）x-24-22

-5x+4=lim（x-4）（x-1）=limx-1=4-1=3

x→4x2

⒑设函数

x→4

⎧（x-2）2,

f（x）=⎪x,

⎪x+1,

1

-1≤x≤1

-1

讨论f（x）的连续性，并写出其连续区间．解：

分别对分段点x=-1,x=1处讨论连续性

（1）

x→-1+

x→-1-

f（x）=

limx=-1

（）

limx+1=-1+1=0

（2）

所以lim

f（x）≠

f（x），即f（x）在x=-1处不连续

limf（x）=lim（x-2）2=（1-2）2=1

x→1+x→1+

limf（x）=limx=1

x→1-x→1-

f

（1）=1

所以limf（x）=limf（x）=f

（1）即f（x）在x=1处连续

x→1+x→1-

由

（1）

（2）得f（x）在除点x=-1外均连续故f（x）的连续区间为（-∞,-1）（-1,+∞）

《高等数学基础》作业二

（一）单项选择题

第3章导数与微分

f（x）f（x）

⒈设f（0）=0且极限lim

存在，则lim

xx→0x

=（C）．

A.f（0）

C.f'

（x）

B.f'

（0）

D.0cvx

⒉设f（x）在x

可导，则limf（x0-2h）-f（x0）=（D）．

A.-2f'

（x0）

C.2f'

h→0

2h

D.-f'

⒊设f（x）=ex

，则lim

∆x→0

f（1+∆x）-f

（1）

∆x

=（A）．

A.e

C.e

B.2e

D.1e4

⒋设f（x）=x（x-1）（x-2）（x-99），则f'

（0）=（D）．

A.99

C.99!

B.-99

D.-99!

⒌下列结论中正确的是（C）．

A.若f（x）在点x0有极限，则在点x0可导．

B.若f（x）在点x0连续，则在点x0可导．

C.若f（x）在点x0可导，则在点x0有极限．

D.若f（x）在点x0有极限，则在点x0连续．

⎧x2

⒈设函数f（x）=⎨

sin,

x≠0，则f'

（0）=0．

⎪⎩0,

x=0

⒉设f（ex）=e2x+5ex，则df（lnx）=

2lnx+5．

dxxx

⒊曲线f（x）=+1在（1,2）处的切线斜率是k=

π

⒋曲线f（x）=sinx在（

4

1）处的切线方程是y=x=

（1-）

24

⒌设y=x2x，则y'

=2x2x（1+lnx）

⒍设y=xlnx，则y'

=1

（三）计算题

⒈求下列函数的导数y'

：

331

⑴y=（x

+

3）ex

y'

=（x2+3）ex+

x2ex

⑵y=cotx+x2lnxy'

=-csc2x+x+2xlnx

⑶y=

lnx

=

2xlnx+x

ln2x

⑷y=

cosx+2x

x3

lnx-x2

'

x（-sinx+2xln2）-3（cosx+2x）

x4

sinx（1-2x）-（lnx-x2）cosx

⑸y=

y=

sin2x

⑹y=x4-sinxlnx

sinx+x2

⑺y=

3x

=4x3-sinx-cosxlnxx

=3x（cosx+2x）-（sinx+x2）3xln332x

⑻y=extanx+lnx

=ex

tanx+

ex+1cos2xx

⒉求下列函数的导数y'

⑴y=e

=ex

⑵y=lncosx3

sinx3

cosx3

3x2

=-3x2

tanx3

7

7-1

y=x8

y=x8

8

11-21-1

（x+x2）3（1+

x2）

⑸y=cos2ex

=-exsin（2ex）

⑹

y=cosex2

=-2xex2sinex2

⑺y=sinnxcosnx

=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsin（nx）

⑻

y=5sinx2

=2xln5cosx25sinx2

⑼

y=esin2x

=sin2xesin2x

⑽y=

xx2

ex2

=xx2（x+2xlnx）+2xex2

⑾y=

xex

eex

=xex（e+exlnx）+eexex

⒊在下列方程中，是由方程确定的函数，求：

⑴ycosx=e2y

cosx-ysinx=2e2yy'

ysinx

cosx-2e2y

⑵y=cosylnx

=siny.y'

lnx+cosy.1

cosy

x（1+sinylnx）

⑶2xsiny=

2xcosy.y'

+

y

2siny=

2yx-x2y'

y2

（2xcosy+

x）=

2yx

-2siny

2xy-2ysiny

2xy2cosy+x2

⑷y=x+lny

+1

y-1

⑸lnx+ey=y2

1+eyy'

=2yy'

x

x（2y-ey）

⑹y2+1=exsiny

2yy'

=excosy.y'

+siny.ex

exsiny

2y-excosy

⑺ey=ex-y3

eyy'

=ex-3y2y'

=e

ey

+3y2

⑻y=5x+2y

=5xln5+y'

2yln2

5xln5

1-2yln2

⒋求下列函数的微分dy：

⑴y=cotx+cscx

dy=（

⑵y=

-1

cos2x

-x）dxsin2x

1sinx-lnxcosxdy=xdx

1-x

⑶y=arcsin

1+x

dy=

1-（1+x）-（1-x）

dx=-dx

两边对数得：

lny=1[ln（1-x）-ln（1+x）]

=1（-1-1）

y31-x1+x

=-

11-x

3（

31+x

+1）1+x

⑸y=sin2ex

dy=2sinexex3exdx=sin（2ex）exdx

⑹y=tanex3

dy=sec2ex33x2dx=3x2ex3sec2xdx

⒌求下列函数的二阶导数：

⑴y=xlnxy'

=1=lnx

⑵y=xsinx

=xcosx+sinx

=-xsinx+2cosx

⑶y=arctanx

1+x2

（1+x2）2

⑷y=3x2

2x3x2

ln3

4x23x2

ln23+2ln3⋅3x2

（四）证明题

设f（x）是可导的奇函数，试证f'

（x）是偶函数．

证：

因为f（x）是奇函数所以f（-x）=-f（x）

两边导数得：

f'

（-x）（-1）=-f'

（x）⇒

所以f'

（x）是偶函数。

f'

（-x）=

《高等数学基础》作业三

第4章导数的应用

⒈若函数f（x）满足条件（D），则存在∈（a,b），使得f'

（）=

A.在（a,b）内连续B.在（a,b）内可导

f（b）-f（a）

b-a

C.在（a,b）内连续且可导D.在[a,b]内连续，在（a,b）内可导

⒉函数f（x）=x2+4x-1的单调增加区间是（D）．

A.（-∞,2）

C.（2,+∞）

B.（-1,1）

D.（-2,+∞）

⒊函数y=x2+4x-5在区间（-6,6）内满足（A）．

A.先单调下降再单调上升B.单调下降

C.先单调上升再单调下降D.单调上升

⒋函数f（x）满足f'

（x）=0的点，一定是f（x）的（C）．

A.间断点B.极值点

C.驻点D.拐点

⒌设f（x）在（a,b）内有连续的二阶导数，x0∈（a,b），若f（x）满足（C），则f（x）

在x0取到极小值．

A.f'

（x0）>

0,

（x0）=0,

（x0）=0

（x0）>

（x0）<

D.f'

（x0）<

⒍设f（x）在（a,b）内有连续的二阶导数，且f'

（x）<

是（A）．

（x）<

0，则f（x）在此区间内

A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的

C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的

⒈设f（x）在（a,b）内可导，x0∈（a,b），且当x<

x0时f'

0，当x>

x0时

（x）>

0，则x0是f（x）的极小值点．

⒉若函数f（x）在点x0可导，且x0是f（x）的极值点，则f'

（x0）=0．

⒊函数y=ln（1+x2）的单调减少区间是（-∞,0）．

⒋函数f（x）=ex2的单调增加区间是（0,+∞）

⒌若函数f（x）在[a,b]内恒有f'

0，则f（x）在[a,b]上的最大值是f（a）．

⒍函数f（x）=2+5x-3x3的拐点是x=0．

⒈求函数y=（x+1）（x-5）2的单调区间和极值．

令y'

=（x+1）2（x+5）2=2（x-5）（x-2）

X

（-∞,2）

（2,5）

5

（5,+∞）

极大

极小

上升

27

下降

⇒驻点x=2,x=5

列表：

极大值：

f

（2）=27

极小值：

f（5）=0

⒉求函数y=x2-2x+3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值．

令：

y'

=2x-2=0⇒x=1（驻点。

f（0）=3

f（3）=6

f

（1）=2

⇒最大值

⇒最小值

⒊试确定函数y=ax3+bx2+cx+d中的a,b,c,d，使函数图形过点（-2,44）和点（1,-10），且x=-2是驻点，x=1是拐点．

⎧44=-8b+4b-2x+d⎧a=1

⎨

-10=a+b+c=d

0=12a-4b+c

0=6a+2b

⎪b=-3

⎨c=16

⎪⎩d=-24

⒋求曲线y2=2x上的点，使其到点A（2,0）的距离最短．

设p（x,y）是y2=2x上的点，d为p到A点的距离，则：

d=

令d'

=

=x-1=0

⇒x=1

∴y2=2x上点（1,2）到点A（2,0）的距离最短。

⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

设园柱体半径为R，高为h，则体积

V=R2h=（L2-h2）h

令。

V'

=[h（-2h）+L2-h2]=[L2-3h2]=0

⇒L=3h

h=3L

R=2L

∴当h=

3,R=

2L时其体积最大。

⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

设园柱体半径为R，高为h，则体积

V=R2h

S表面积

-2

=2Rh+2R2=2V

V

+2R2

S'

=-2VRh=

+4R=0

⇒2=R

⇒R=

答：

当R=h=时表面积最大。

⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

设底连长为x，高为h。

则：

62.5=x2h

⇒h=62.5

侧面积为：

S=x2+4xh=x2+250

令S'

=2x-250=0

⇒x3=125⇒x=5

当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

⒈当x>

0时，证明不等式x>

ln（1+x）．

由中值定理得：

ln（1+x）x

=ln（1+x）-ln1（1+x）-1

=1<

11+

（>

0）

⇒ln（1+x）<

⇒x>

ln（1+x）

（当x>

0时。

⒉当x>

0时，证明不等式ex>

x+1．

设f（x）=ex-（x+1）

（x）=ex-1>

⇒当x>

0时f（x）单调上升且f（0）=0

∴f（x）>

0,即ex>

（x+1）证毕

《高等数学基础》作业四

第5章不定积分

第6章定积分及其应用

⒈若f（x）的一个原函数是1，则f'

（x）=（D）．