《应用计算方法教程》matlab作业二Word格式.docx
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,令mk
max(Vk),Uk
Vk
Vk1AUk,k1,当k
充分大时
mk
Uk
max(Vk1)
1。
max
(1)
QR法求全部特色值:
A
A1
Q1R1
RQ1
A2
Q2R2
k
1,2,3,
RkQk
Ak1
Qk1Rk1
由于此题的矩阵是10阶的,上述算法计算时间过长,考虑采用改良算法——移位加速。
迭代格式以下:
Ak
qkIQkRk
1RkQk
qkI
an(k
1,n)
an(k1,)
n
的特色值
(k)
(k)
,当
为实数时,选
qk为
计算Ak右下角的二阶矩阵
a
n1
n,n
n,n
n(k
1),n(k)中最凑近an(k,n)的。
程序
A=-5+round(10*rand(10));
[V,D]=eig(A)
[lamdau]=lab6_2_power(A,[1;
1;
1],10^(-5),1000)
d=lab6_3_qr2(A,10^(-5))
function
lamda=0;
err=1;
[lamdau]=lab6_2_power(a,v,eps,N)
k=1;
while(k<
=N&
&
err>
eps)
u=a*v;
[mj]=max(abs(u));
dc=abs(lamda-m);
u=u/m;
dv=norm(u-v);
err=max(dc,dv);
v=u;
lamda=m;
k=k+1;
end
functionD=lab6_3_qr2(A,eps)
[n,n]=size(A);
m=n;
D=zeros(n,1);
B=A;
while(m>
1)
while(abs(B(m,m-1))>
=eps*(abs(B(m-1,m-1))+abs(B(m,m))))
S=eig(B(m-1:
m,m-1:
m));
[j,k]=min([abs(B(m,m)-S
(1)),abs(B(m,m)-S
(2))]);
[Q,U]=qr(B-S(k)*eye(m));
B=U*Q+S(k)*eye(m);
A(1:
m,1:
m)=B;
m=m-1;
B=A(1:
m);
D=diag(A);
界面
(1)
(2)
(3)
作业七
7-1试验目的:
熟悉代数插值
在f(x)在7个点的函数值以下表所示,分别使用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(0.596)与f(0.906)的近似值。
xi
yi
拉格朗日插值多项式:
(xx0)(xx1)(xxj1)(xxj1)
(xxn)
Ln(x)
j
(xj
x0)(xjx1)(xjxj1)(xjxj1)
(xjxn)yj
(
x
xi)yj
i
xj
牛顿插值多项式:
Nn(x)
f[x0,
f(x0),xn](x
f[x0,x1](x
x0)(x
x0xn1
)
f[x0,x1,x2
](x
x0)(x
x1)
f(xj
其中f[x0,,xk]
。
j0(xjx0)
(xjxj1)(xjxj1)(xjxk)
functiony1=lab7_1_Lagrange(x,y,x1)
y1=0;
[mn]=size(x);
n=n-1;
fork=1:
n+1
t=1;
fori=1:
if(i~=k)
t=t*(x1-x(i))/(x(k)-x(i));
y1=y1+t*y(k);
functiony1=lab7_2_Newton(x,y,x1)
forj=1:
fori=n+1:
-1:
j+1
y(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-j));
y1=y(n+1);
forj=n:
y1=y(j)+(x1-x(j))*y1;
作业八
8-1试验目的:
熟悉最小二乘法拟合多项式
给定数据点(xi,yi),
X
f(x)
用3次最小二乘多项式拟合数据,并求平方误差。
要作三次最小二乘拟合,令
S(x)
a0
0(x)
a11(x)a22(x)
a3
3(x),
j(x)xj,计算法方程
(0,0)
(0,1)
(0,n)
d1
Gad,其中G
1,0)
1,
1)
1,n),a
a1
,d
d2
,
(n,0)
(n,1)
(n,n)
an
dn
m
j,k)
(xi
j(xi)
k(xi),(j,k
0,1,,n)
(xi)
dk
(f,k)
(xi)f(xi)k(xi),(k
0,1,
n)
其平方误差为s
f(xi)]2。
i0
(xi)[S(xi
x=[0.40.550.650.800.901.05];
f=[0.410750.578150.696750.888111.026521.25386];
G=zeros(4,4);
4
6
G(j,k)=G(j,k)+x(i)^(j+k-2);
d=zeros(4,1);
d(k,1)=d(k,1)+f(i)*x(i)^(k-1);
a=G\d
s=0;
s=s+(f(i)-(a
(1)+a
(2)*x(i)+a(3)*x(i)^2+a(4)*x(i)^3))^2;
s
作业九
9-1试验目的:
熟悉数值积分公式,掌握数值计算定积分的方法
采用不同样方法数值计算积分
1ln(1x)
dx
编写复合梯形公式和复合
Simpson公式通用子程序,分别采用
4,8,16,32,64均分区间
计算。
复合梯形公式:
将区间
[a,b]作n均分,h
ba,结点xi
ih(0in),
Tn
n1h
h
f(xi)
f(b)]
[f(xi)f(xi1)]
[f(a)
2
i02
i1
复合Simpson公式:
将区间[a,b]作2n均分,记h
b
a,
2n
S2n
h[f(x2i)4f(x2i1)f(x2i2)]
h[f(a)
f(x2i1)
f(x2i)f(b)]
3
functiony=lab9_f(x)
y=(log(1+x))/x;
functiony=lab9_1_fTrapezoid(a,b,eps,n)
f0=0;
h=(b-a)/n;
fori=0:
n-1
f0=f0+lab9_f(a+i*(b-a)/n)+lab9_f(a+(i+1)*(b-a)/n);
y=f0*h/2;
functiony=lab9_2_fSimpson(a,b,eps,n)
k=n/2;
k-1
f0=f0+lab9_f(a+2*i*(b-a)/n)+4*lab9_f(a+(2*i+1)*(b-a)/n)+lab9_f(a+(2*i+2)*(b-a)/n);
y=f0*h/3;
作业十
10-1试验目的:
学会用Euler法、改良Euler法、经典的4阶Runge-Kutta法求解常微分方程
初值问题。
分别用
1)Euler法〔步长〕
2)改良Euler法〔步长〕
3)4阶Runge-Kutta〔步长〕
求解下面的初值问题:
y
(y
1)(y
3),0x
比较公共节点解的误差。
精确解为
2(1
e2x)1。
Euler法:
令f(x,y(x))
y(x),yn
yn
hf(xn
yn)〔n
ba〕。
k1
f(xn,yn)
改良Euler
法〔梯形公式〕:
k2
f(xn
h,yn
hk1)
h(k
hf(xn,yn)
k2
hf(xn
yn
k1)
4阶Runge-Kutta:
k3
h,yn
1k2)
k4
k3)
yn1
2k2
2k3
k4)
(k1
y0=-2;
h=0.025;
n=2/h;
y
(1)=y0-h*(y0+1)*(y0+3);
fori=2:
y(i)=y(i-1)-h*(y(i-1)+1)*(y(i-1)+3);
y1(j)=-3+2/(1+exp(-4*j/n));
y1
x=0.025:
0.025:
2;
plot(x,y1,'
r'
x,y,
'
b'
h=0.05;
k1=-(y0+1)*(y0+3);
k2=-(y0+h*k1+1)*(y0+h*k1+3);
y21
(1)=y0+h/2*(k1+k2);
k1=-(y21(i-1)+1)*(y21(i-1)+3);
k2=-(y21(i-1)+h*k1+1)*(y21(i-1)+h*k1+3);
y21(i)=y21(i-1)+h/2*(k1+k2);
y21
y22(j)=-3+2/(1+exp(-4*j/n));
y22
x=0.05:
0.05:
plot(x,y21,
x,y22,
h=0.1;
k1=-h*(y0+1)*(y0+3);
k2=-h*(y0+k1/2+1)*(y0+k1/2+3);
k3=-h*(y0+k2/2+1)*(y0+k2/2+3);
k4=-h*(y0+k3+1)*(y0+k3+3);
y31
(1)=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
k1=-h*(y31(i-1)+1)*(y31(i-1)+3);
k2=-h*(y31(i-1)+k1/2+1)*(y31(i-1)+k1/2+3);
k3=-h*(y31(i-1)+k2/2+1)*(y31(i-1)+k2/2+3);
k4=-h*(y31(i-1)+k3+1)*(y31(i-1)+k3+3);
y31(i)=y31(i-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
y31
y32(j)=-3+2/(1+exp(-4*j/n));
y32
x=0.1:
0.1:
plot(x,y31,
x,y32,
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