浙教版八年级上第1章 三角形的初步知识期末复习含答案Word文件下载.docx
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D.22.5°
【方法归纳】 在计算与三角形有关的角度时,首先应判断出要求角与所在三角形中已知角之间的关系,再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质求角度,同时在解题时要注意角平分线的定义、平行线的性质等知识的运用.
2.如图,AB∥CD,∠B=68°
,∠E=20°
,则∠D的度数为(C)
A.28°
B.38°
C.48°
D.88°
重难点3 三角形的三条重要线段
【例3】 如图,AD是△ABC的中线,点E为AD的中点,点F为BE的中点,S△ABC=41,则S△BFC=
.
【思路点拨】 根据三角形面积公式得S△BFC=S△EFC,S△AEC=S△DEC,S△AEB=S△DEB,S△ABD=S△ADC,从而S△BFC=
S△ABC.
3.在△ABC中,AC=5cm,AD是△ABC中线,若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm,则BA=7_cm.
4.
(1)如图所示,在△ABC中,∠A=40°
,∠B=72°
,CE平分∠ACB,CD⊥AB于点D,DF⊥CE于点F,求∠CDF的度数;
(2)在
(1)中,若∠A=α,∠B=β(α≠β),其他条件不变,求∠CDF的度数.(用含α和β的代数式表示)
解:
(1)根据题意,在△ABC中,∠A=40°
,
所以∠ACB=68°
.
因为CE平分∠ACB,所以∠ACE=34°
所以∠CED=∠A+∠ACE=74°
因为CD⊥AB,DF⊥CE,且∠ECD为公共角,
所以∠CDF=∠CED=74°
(2)由
(1)可知,∠CDF=∠CED=∠A+∠ACE,∠ACE=
所以∠CDF=
重难点4 线段垂直平分线与角平分线的性质
【例4】 如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,BE平分∠ABC,交AC于点E,DE垂直平分AB于点D,求证:
BE+DE=AC.
证明:
∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC.
∵ED⊥AB,BE平分
∠ABC,
∴CE=DE,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE.
∵AC=AE+CE,
∴BE+DE=AC.
【方法归纳】 在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时,通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等,再根据相等线段之间的转换,得到所求线段的长.
5.如图,在△ABC中,∠BAC>
90°
,AB的垂直平分线MP交BC于点P,AC的垂直平分线NQ交BC于点Q,连结AP,AQ,若△APQ的周长为20cm,则BC为20cm.
第5题图 第6题图
6.如图,△ABC的三条角平分线交于O点,已知△ABC的周长为20,OD⊥AB,OD=5,则△ABC的面积为50.
重难点5 全等三角形的性质与判定
【例5】 已知△ABN和△ACM的位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求证:
BD=CE;
(2)求证:
∠M=∠N.
【思路点拨】
(1)要证BD=CE,可通过转化证△ABD≌△ACE,根据“SAS”得证;
(2)要证∠M=∠N,可通过转化证△ACM≌△ABN,由
(1)可知∠C=∠B.因为∠2=∠1,所以∠CAM=∠BAN.再结合AB=AC,即可根据“ASA”得证.
(1)在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
(2)∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
即∠BAN=∠CAM.
由
(1),得△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠C.
在△ACM和△ABN中,
∴△ACM≌△ABN(ASA).
∴∠M=∠N.
【方法归纳】 三角形全等的证明思路:
7.(成都中考)如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°
,∠C=24°
,则∠B=120°
第7题图 第8题图
8.(杭州大江东区期中)如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件是:
AE=AF或∠EDA=∠FDA或∠AED=∠AFD.
03 备考集训
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是(C)
A.1,2,4B.4,5,9
C.4,6,8D.5,5,11
2.(嵊州校级期中)下列语句不是命题的是(B)
A.两直线平行,同位角相等
B.作直线AB垂直于直线CD
C.若|a|=|b|,则a2=b2
D.同角的补角相等
3.如图,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是(D)
A.AB=ACB.∠BAE=∠CAD
C.BE=DCD.AD=DE
第3题图 第4题图
4.(杭州大江东区期中)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是(C)
A.BC=EC,∠B=∠E
B.BC=EC,AC=DC
C.BC=EC,∠A=∠D
D.∠B=∠E,∠A=∠D
5.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起,使AA′、BB′可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(A)
A.边角边B.角边角
C.边边边D.角角边
第5题图 第6题图
6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB边的垂直平分线,分别交AB、AC于点D、E,△BEC的周长是14cm,BC=5cm,则AB的长是(B)
A.14cmB.9cmC.19cmD.12cm
7.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是(A)
A.3B.4C.6D.5
第7题图 第8题图
8.如图所示,在△ABC中,∠BAC∶∠ABC∶∠BCA=3∶4∶5,BD,CE分别是边AC,AB上的高,BD,CE相交于点H,则∠BHC的度数为(B)
A.120°
B.135°
C.125°
D.130°
9.(嵊州期末)如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有(C)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
第9题图 第10题图
10.(杭州大江东区期中)如图,四边形ABCD是正方形,直线a,b,c分别通过A、D、C三点,且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5,b与c之间的距离是7,则正方形ABCD的面积是(B)
A.70B.74
C.144D.148
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图,在△ABC中,∠A=58°
,∠B=63°
,则外角∠ACD=121度.
第11题图 第12题图
12.如图,若△ABE≌△ACF,且AB=5,AE=2,则EC的长为3.
13.如图,已知△ABC的周长为27cm,AC=9cm,BC边上中线AD=6cm,△ABD周长为19cm,AB=8_cm.
14.(杭州萧山区月考)已知三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°
,那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有4个.
15.当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时,我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为108°
,那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为18°
或36°
16.如图,在四边形ABCD中,给出了下列三个论断:
①对角线AC平分∠BAD;
②CD=BC;
③∠D+∠B=180°
.在上述三个论断中,若以其中两个论断作为条件,另外一个论断作为结论,则可以得出3个正确的命题.
三、解答题(共46分)
17.(10分)如图,已知:
AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°
,∠BCE=40°
,求∠ADB的度数.
∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°
∴∠DAC=∠BAD=30°
∵CE是△ABC的高,∠BCE=40°
∴∠B=50°
∴∠ADB=180°
-∠B-∠BAD=180°
-50°
-30°
=100°
18.(12分)如图,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=BC,且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分,求AC边的长.
设AB=BC=2x,
∵AD是△ABC的边BC上的中线,
∴BD=CD=x.
若△ABD的周长是3+AD,则2x+x=3,
解得x=1.
∴AC=4-1=3.
若△ABD的周长是4+AD,则2x+x=4,
解得x=
∴AC=3-
=
综上,AC边的长为3或
19.(12分)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°
,点D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°
,求∠BDC的度数.
(1)证明:
在△ABE和△CBD中,
∴△ABE≌△CBD(SAS).
(2)∵在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°
∴∠BAC=∠ACB=45°
∵△ABE≌△CBD,
∴∠AEB=∠BDC.
∵∠AEB为△AEC的外角,
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°
+30°
=75°
∴∠BDC=75°
20.(12分)(杭州青春中学期末)如图1,AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图2,将图1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°
”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?
若存在,求出相应的x、t的值;
若不存在,请说明理由.
(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,
在△ACP和△BPQ中,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ.
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°
∴∠CPQ=90°
即线段PC与线段PQ垂直.
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,
解得
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,
综上所述,存在
或
使得△ACP与△BPQ全等.
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