线性同余方程组的解Word下载.docx

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Abstract

SuchsystemsaroseinancientChinesepuzzlessuchasthefollowingproblem,whichappearsinMasterSun'

MathematicalManual,writtenlateinthethirdcenturyc.e..Findanumberthatleavesaremainderof1whendividedby3,aremainderof2whendividedby5,andaremainderof3whendividedby7.Thispuzzleleadstothefollowingsystemofcongruences:

Theorem4.15.Leta,b,c,d,e,f,andmbeintegers,m>

0,suchthat:

l,m=1,where

:

=ad-be.Thenthesystemofcongruences

axby三emodm

cxdy三fmodm

hasauniquesolutionmodulom,givenby

x三、（de-bf）（modm）y三■（af-ce）（modm）,

where匚isaninverseofmodulom.

Proof.Wemultiplythefirstcongrueneeofthesystembydandthesecondbyb,toconcludethat

adxbdy三de（modm）

bcxbdy=bf（modm）,

Thenwesubtractthesecondcongrueneefromthefirst,totindthat

ad「bex三de「bfmodm,

or,since:

=ad-bc,

x=de-bfmodm.

Next,wemultiplybothsidesofthiscongrueneeby二，aninverseofmodulom,toconcludethat

x=、de-bfmodm

Inasimilarway,wemultiplythefirstcongrueneebycandthesecondbya,toobtain

acxbey三ce（modm）

acxady三af（modm）,

Wesubtractthefirsteongrueneefromthesecond,tofindthat

ad-bey三af-cemodm

or

Ly=af-cemodm

Finally,wemultiplybothsidesofthiscongrueneeby•:

toseethat

y=-.af-cemodm.

keyword

MasterSun'

MathematicalManua；

TheCheneseRemainderTheoremcongruencesLinear；

Equations

绪论,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1

'

****"

□*I»

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ■

线性同余方程组解的判定及其结构,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

1.二元一次同余方程组解的判定及其结构,,,,,,,,,,,,,,,,5

2.三元一次同余方程组的解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12

3.线性同余方程组的解在n元中的推广18

致谢,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,24

参考文献,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,25

—-J丿、II少VJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ

绪论

（一）研究问题的背景

数论中的同余式理论，以我国古代的研究为最早，当二整数之差能被正整数m除尽

时，便称这两个数对于“模”m同余。

《孙子算经》（公元四世纪）中计算一次同余式组的“求一数”有“中国剩余定理”之称。

公元十三世纪秦九韶已建立了比较完整的同余式理论一一“大衍求一术”。

《孙子算经》出现在4—5世纪，其具体的成书年代与作者姓名已不可考，这是继《九章算术》

之后有一部重要的数学著作。

《孙子算经》分上、中、下三卷，卷上叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除运算方法；

卷中举例说明筹算分数算法和开平方算法，以及简单的面积、体积计算；

卷下是各种应用问题，涉及田域、仓窖、营建、赋役、军旅等。

从其内容特色来看，它以实际应用为主，注重计算技术，题目通俗有趣，解法巧妙简便，在中国古代数学著作中是很有代表性的。

《孙子算经》还记载了举世闻名的“孙子问题”，这就是卷下第26题，也即全书的最后一题。

原

文是这样的：

“今有物不知数。

三三数之剩二；

五五数之剩三；

七七数之剩二，问物几何？

”【1】

其意思是：

有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；

五个五个的数，最后余下三个；

七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？

有一首口诀“孙子歌”就描述了孙子问题的解法：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆正半月，除百令五便得知。

孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。

后来流传的《孙子歌》中所说

“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。

《孙子算经》没有

【2】

说明这三个数的来历。

虽然《孙子算经》记载的“孙子问题”似乎是一个数字游戏，但古代产生这一问题的背景却是非常深刻的。

据研究，早在公元2世纪时，我国就已研究过需要一次同余式才能解决的天文问题。

这类问题在中国古代数学中是经常遇到的，不过由于问题的提法不同而赋予不同的名称，如“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“剪管术”、“隔墙算”等等。

我们今天主要研究的课题一一线性同余方程组的解一一也是以“孙子问题”中的同余理论做为基础。

（二）国内研究状况和研究成果

研究状况

数论有三千余年的历史，产生于四大文明古国（埃及、巴比伦、印度和中国）。

古

代中国对于整数的同余性质有相当深刻的认识，在《孙子算经》中载有“物不知数”问题，给出一次同余方程组的解法。

这种方法在近代已被推广成非常一般的形式，但仍被世人称为“中国剩余定理”。

将“孙子问题”⑴用现代的数学符号表示，等价于解下列一次同余式组：

N三2（mod3），N三3（mod5），N三2（mod7）

中国剩余定理从发现（孙子问题）到理论形成（求一术），经失传而后重新挖掘，虽然历时

1000多年的时间，但在世界上一直处于领先地位，迟至1801年高斯（K.P.Gauss，德国，1777-1855）

的《算术研究》才作出了与秦九韶相同的结果。

由此可见，中国剩余定理确实充分展现出了中国古代数学的独特魅力，以至于康托尔也不得不承认：

“发明这一定理的中国数学家是最幸运的天

【3】

才”。

研究成果

有文献记载，早在公元前2世纪，我国就将同余理论应用于天文领域。

一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动，特别是和古代历法中所谓

“上元积年”的计算密切相关。

大家知道，一部历法，需要规定一个起算时间，我国古代

历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历年所累积的时间叫做“上

元积年”。

上元积年的推算需要求解一组一次同余式。

以公元三世纪三国时期魏国施行的

《景初历》做例，这部历法规定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零时会合的时刻作为

历元。

设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，当年冬至距甲子日零时是R1日，离平朔

时刻是R2日，那么《景初历》上元积元数N就是同余组

aN=Ri（mod60）=R2（modb）

的解。

至厅南北朝时期，祖冲之《大明历》（公元462年）更要求历元必须同时是甲子年

的开始，而且“日月合璧”、“五星联珠”（就是日、月、五大行星处在同一方位），月亮又恰好行经它的近地点和升交点。

这样的条件下推算上元积年，就相当于要求解十个同

【4】

余式了。

（三）国外研究状况和研究成果

直到19世纪，数论还只是一系列孤立的结果，虽然这些结果常常是光辉的，一个新的纪元是

从Gauss的《算术探讨》（DisquisitionesArithmeticae）开始的，这部书史从他20岁时写的。

这部伟大的著作曾在1800年寄到法国科学院而被拒绝，但Gauss自己把它发表了。

在这部书中，

他把记号标准化了，把现存的定理系统化并推广了，把要研究的问题和攻题的已知方法进行了分类，还引进了新的方法。

在Gauss关于数论的著作中有三个主要思想：

同余的理论，代数数的引

”【5】

进，以及作为Diophantine分析的指导思想的型理论。

我们所要研究的课题也是以这三个主要思想之一的同余理论为基础的。

虽然同余的

概念不是从Gauss开始的它出现在Euler，Lagrange和Legendre的著作中但是Gauss在《算术探讨》【5】的第一节引进了同余的记号，并在此后系统的应用了它。

高斯不仅在自己的著作中处理了一次同余式，并在其中得出了很多结论。

此外，他还开始处理幕的同余式。

在这里他用同余式的术语给了Fermat小定理一个证明，Fermat小定理用同余式叙述就是：

若p是素数而a不是p的倍数，则

ap-1三1modp.151

这个定理从他对高次同余式，即对

xn三amodm

的研究中推出。

在证明了一些关于同余式的次要定理之后，高斯给出了二次方转定律的第一个严密证明。

这个题目被高斯之后的许多人继续研究着。

在同余理论的研究用高斯还讨论平方剩余、多项式的同余式等。

在19世纪20年代

高斯着手研究可应用于高次同余式的反转定律。

可以说在一系列的研究中，高斯对于数论中同余的理论在今后的发展乃至现在的研究成果的贡献是功不可没的。

（4）数论发展史的启示和意义

从历史的角度来看，由于深刻的文化内涵附着于数之上，使得看似枯燥的数字蕴藏

着丰富的思想内容，所以如果既能从思想文化的角度去认识数，又能从数字本身挖掘出隐藏其背后的人文特征，则不仅能改变数学的“公众形象”，而且也能使学生体会到，

学习数学就是了解人类的思想文化，从而建立起数学与现实社会密不可分的观念。

数学被认为是枯燥的、乏味的和无用的这种“形象危机”已经存在，而造成这一严

重后果的原因，我们认为既不在于数学本身，更不在于外界对数学的“无知”，而在于

我们漠视数学与文化的一体性，不屑数学与其他学科的横向联系，怠于展示数学的思想内涵。

因此，作为数学工作者，特别是数学教育工作者应对此进行深刻的反省。

（五）课题的研究方法

本课题的研究主要采取逻辑推理和论证法，并借助实例验算法。

本课题的基本研究程式为：

课程学习一阅读资料一逻辑推理一实例验证一总结行文。

（六）课题构成及研究内容

课题主要是在孙子定理的基础上研究二元一次同余方程组的解的结构和判定，进而

把这个结论在多元上进行推广。

课题采用逐层深入的形式，首先探讨最基本的二元一次同余方程组，进而讨论三元的情况，最后在多元的空间中将结论推广。

在这个扩展的过程中会用到很多我们熟知的定理，例如克拉默法则、同余的性质定理等，这些定理在多元同余方程组中的推广起了不小的作用。

线性同余方程组解的判定及其结构

引言：

中国剩余定理（孙子定理）在数论及近代代数领域是非常重要的理论，起着基础作用，且有着广泛的应用。

本文是在中国剩余定理的基础上，讨论一般的线性同余方程组的解和解的结构问题。

有着很重要的意义。

1.二元一次同余方程组解的判定及其结构

定理1设a,b,c,d,e,f和m均为整数，m.0，若（丄m）=1，其中厶二ad-be.则

线性同余方程组ax巾厂e（modm），有唯——组关于模m的解为

.ex+dy三f（modm）

；

，

y三■（af-ee）（modm）

【6】

其中二是二关于模m的逆，即'

•.\三1（modm）.

证首先，将同余式ax•by三e（modm）两边都乘以d，将同余式ex•dy三f（modm）两边都乘以b，得到

adxbdy三de（modm）bexbdy三bf（modm）

（1）

⑵

令厶二ad-be，贝U二x

ad-bex=de-bfmodm

=de-bfmodm.下面我们把同余式两边都乘以厶，其中

同理，将同余式

都乘以a,得到

x="

de-bfmodm

ax•by三e（modm）两边都乘以e，将同余式ex•dy三f（modm）两边

acxbey三ce（modm）acxady三af（modm）

4-3得到

ad-bey=af-cemodm

y=af-cemodm

证毕

.y三..af-cemodm

为了便于记忆我们也可以把上述的结论写成行列式的形式

b

（modm）

，且：

三1（modm）

=7，m=13

d，其中A=

yr9

c

例1.1解同余方程组

e

3x4y三5mod13

2x5y三7mod13

解：

这里a=3，b=4，e=5，c=2，d=5，

所以厶二ad-bc=35-42=7且厶=2.由于7,13=1，故由定理1知方程组有一解为

x三225-28三7mod13y三221-10三9mod13fx三7（mod13）

所以方程组的解为

y三9（mod13）

引理1一次同余式ax三bmodm,a三0modm有解的充分与必要条件是

a,mb.若一次同余式有解，则解数（对模m来说）是d=a,m.171

证因为该一次同余式有解的充分与必要条件是ax-my=b有解。

若ax-my=b有一组整数解，设为x0,y0，即ax^-my0=b.但a,m整除a及m，因而整除b，故条件的必要性获证。

反之，若a,mb，则b=ba,m，其中b1是整数。

所以存在两个整数s,t满足下列等式

asmt二a,m.

令x^st^,y0=tb1，即得ax0+my0=b，故ax-my=b有整数解x0,y0.

从而ax三b（modm）,a三0（modm）有解的充分必要条件是（a,mjb.

设d=a,m.若一次同余式有解，则由二元一次不定方程解的性质【8】知一次同余式的一切整数可以表成

x=rnijtx0,g=m,t=0,二1,二2「.

d

此式对模m来说，可以写成

x三X）+km（modm）,k=0,1,…，d—1.

但x0+km,k=0,1，…，d-1是对模m两两不同余的，故一次同余式有d个解

上面提到的

【8】

一兀一次不疋方程解的性质疋理内谷如下

设二元一次不定方程ax・by=c有解，x0,y。

是它的一组解。

那么，它的所有解为

x=x°

-bt,y=y°

qt,t=0,_1,_2

定义1

fa11x^+a12x2三0（modm\

形如①，其中印1,印28218224,鸟为整数，m为

a21x,a22x2三b2modm

正整数的方程称为二元一次同余方程组。

定理2对于方程组①，记厶=a11a2^a12a21，当丄mi=d冏玄?

？

-b?

%，且同时叫（“玄22-）时，则①有解，且解数为d.

证将a11x1a12x2=b|modm两边乘以a22得

a^a22x1ai2a22X?

=b|a221modm.i^②

a21x1a22x^b2modm两边乘以a^得

a12a21x1■ai2a22x2=b2ai2modm

②-③得

a11a2^a12a21为=0&

22一b2a12modm

a11

3]2

a22

—a[〔a22—a〔2a21

，所以

咅=b1a2^b2a12modm④

根据引理1，若④有解，则其充分必要条件为（也,m）=d（da22-6印2），且解数为d.

同理，

a11x1・a12x2三^modm两边乘以a21得

*11a?

1X1a^a?

1X2

=da21modm⑤

a21x1a22x^b2modm两边乘以a11得

a11a21x1■a11a22x^b2a11modm⑥

⑥-⑤得

aiia2^—ai2a21X2

三b2an-吋21modm

二x^b2a1^b1a21modm⑦

根据引理1,若⑦有解，则其充分必要条件为（dm）=dLan-b^i），且解数为d.因为要使得方程组①有解，那么X「X2均要有解，所以必须满足上述两个条件。

写成行列式的形式，即

IP

ai2

且d||兀

Ib2

a2i

b2

对于方程组①的解数而言，我们知道因为x（或y）有d个解，那么将x（或y）的每一个解对应可得到一个y（或x），故共有d组解。

综上所述，对于二元一次同余方程组①解的情况我们可以归纳为下面几个情况:

ai1

a21

a12

二-a12a21，若；

=,m=1，二元一次同余方程组①有唯

一组解。

根据定理

1知其解为捲三Ada

12

anbi

a2id

modm，其中

、：

、:

=1modm，这里我们把厶称为是二对模m的逆。

□、记厶=

a11a1

a21a2

2

=a1a2paa12,2若（也,m）=d（d^1），d

bl

a12且

a11bia?

1b?

时，①式关于模m有d个解。

=&

11&

22-&

12&

21，^若Im=d

d=1,d不能整除

者d不能整除

bi

，①式关于模m无解。

例1.2解同余方程组x3^1mod5

3x+4y三2（mod5）

解:

3

4=-5，（5）十5,5"

1

=-2,

11

4

32

因为,m不能整除

，所以方程组无解。

例1.3解同余方程组4x*2mod5

2x+3y三1（mod5）

=10,

=5,

=0

21

）.C

，2，m）

42

13

-,m=10,5=5,

根据定理2知因为L,m

，所以方程组有解，且有5组解。

Ax三

j

Ay三

I'

mod5

根据定理1通过消元法可将方程组转化为

10x三5mod5

10y三0mod5

解10x=5mod5得x的5个解为0,1，2，3，4，（关于模5）解10y=0mod5得y的5个解为0.,1，2，3，4，（关于模5）

将其带入方程

（1）

（2）式中可以看出方程组的5组解为

x三0mod5x三1mod5x三2mod5x三3mod5x三4mod5

y三2mod5y=3mod5y三4mod5y三0mod5y=1mod5

上面我们讨论的都是模相同的形式，那么对于模m不同的情况，那么结论又会是怎

样一个情形呢？

这种情况也是我们主要探讨的核心内容，下面我们来看一下如果模m不

同，方程组应该如何求解。

引理2同余方程

a/…pxnb=0modm

有解x1/,xn的必要且充分条件为

a；

an，mb.

若此条件适合，则其解数为

mn4q,,an，m.⑼

证由引理1知此对n=1为真.今用归纳法以证之.命

耳，，an，mi；

=d

及

则

由引理1知

耳,，an」,m]=di,

di,an=d.

anxnb三0modd1,0乞人：

m

有ddl个解.对此式之一解X„，命

anXn•b

di

由归纳法假定,

之解数为

故总解数为

印