高三数学二轮复习集合与简易逻辑文档格式.docx
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[思路点拨] 首先明确集合A、B中的元素属性,再确定阴影部分如何用集合表示.
[解析] 因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>
0}={x|-1<
x<
1},则u=1-x2∈(0,1],
所以B={y|y=f(x)}={y|y≤0},A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],
故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1).
[答案] D
解答集合问题的思路:
先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性;
再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解,一般的规律为:
(1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解;
(2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解;
(3)若给定的集合是抽象集合,用Venn图求解.
1.已知集合A={x|x2-2x+a>
0},且1∉A,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]B.[1,+∞)
C.[0,+∞)D.(-∞,1)
解析:
选A 本题逆向运用元素与集合的关系求参数的取值范围,抓住1∉A作为解题的突破口,1∉A即1不满足集合A中不等式,所以12-2×
1+a≤0⇒a≤1.
2.设全集U=R,集合P={x|y=ln(1+x)},集合Q={y|y=
},则右图中的阴影部分表示的集合为( )
A.{x|-1<
x≤0,x∈R} B.{x|-1<
0,x∈R}
C.{x|x<
0,x∈R}D.{x|x>
-1,x∈R}
选B 由1+x>
0得x>
-1,即P={x|x>
-1};
Q={y|y≥0},因此结合题意得,题中的阴影部分表示的集合是P∩(∁RQ)={x|-1<
0,x∈R}.
3.(2012·
重庆高考)设平面点集A={(x,y)|(y-x)(y-
)≥0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A.
πB.
π
C.
πD.
选D A∩B表示的平面图形为图中阴影部分,由对称性可知,S1=S2,S3=S4.因此A∩B所表示的平面图形的面积是圆面积的一半,即为
.
命题真假的判断与否定问题
高考对本部分内容的考查主要是全称命题、特称命题的否定和含逻辑连结词的命题的真假判断,题型以选择、填空题为主.预计今后的高考仍以基本概念和方法为考查对象,重点考查全称命题、特称命题的否定,命题真假的判断.
[例2] 给出下列四个命题:
①命题“若α=β,则cosα=cosβ”的逆否命题;
②“∃x0∈R,使得x
-x0>
0”的否定是:
“∀x∈R,均有x2-x<
0”;
③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件;
④p:
a∈{a,b,c},q:
{a}⊆{a,b,c},p且q为真命题.
其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号)
[思路点拨] ①由于原命题与逆否命题等价,故判断原命题的真假即可;
②利用全(特)称命题的定义进行判断;
③由x2=4⇔x=2或x=-2,则可判定命题的真假;
④根据真值表判定.
[解析] 对①,因命题“若a=β,则cosα=cosβ”为真命题,所以其逆否命题亦为真命题,①正确;
对②,命题“∃x0∈R,使得x
0”的否定应是:
“∀x∈R,均有x2-x≤0”,故②错;
对③,因由“x2=4”得x=±
2,所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错;
对④,p,q均为真命题,由真值表判定p且q为真命题,故④正确.
[答案] ①④
命题真假的判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别;
(2)四种命题的真假的判断根据:
一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无此规律;
(3)形如p∨q,p∧q,綈p命题的真假根据真值表判定;
(4)全称命题与特称命题的真假的判定:
①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立.如果在集合中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.②要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可.否则,这一特称命题就是假命题.
4.(2012·
山东高考)设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;
命题q:
函数y=cosx的图像关于直线x=
对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真 B.綈q为假
C.p∧q为假D.p∨q为真
选C 命题p,q均为假命题,故p∧q为假命题.
5.给出下列命题:
①∀x∈R,不等式x2+2x>
4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,则x>
1;
③“若a>
b>
0且c<
0,则
>
”的逆否命题;
④若p且q为假命题,则p,q均为假命题.
其中真命题是( )
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
选A ①中不等式可表示为(x-1)2+2>
0,恒成立;
②中不等式可变为log2x+
≥2,得x>
③中由a>
0,得
<
,而c<
0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真;
④由p且q为假只能得出p,q中至少有一个为假,④不正确.
6.(2012·
安徽名校模拟)命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<
0”为假命题,则实数a的取值范围是________.
“∃x∈R,2x2-3ax+9<
0”为假命题,则“∀x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,因此Δ=9a2-4×
2×
9≤0,故-2
≤a≤2
答案:
[-2
,2
]
充要条件
充分条件、必要条件、充要条件一直是高考命题的热点,该类问题出题的背景选择面广,易形成知识交汇题,命题多为选择题或填空题,难度为中低档.
[例3] (2012·
安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
[思路点拨] 利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系判定.
[解析] 当α⊥β时,由于α∩β=m,b⊂β,b⊥m,由面面垂直的性质定理知,b⊥α.又∵a⊂α,∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件.
而当a⊂α且a∥m时,∵b⊥m,∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直,∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件.
[答案] A
对充分、必要条件的判断要注意以下几点
(1)要善于举出反例:
如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.
(2)要注意转化:
如果p是q的充分不必要条件,那么綈p是綈q的必要不充分条件.同理,如果p是q的必要不充分条件,那么綈p是綈q的充分不必要条件;
如果p是q的充要条件,那么綈p是綈q的充要条件.
7.(2012·
威海质检)设集合A={-1,p,2},B={2,3},则“p=3”是“A∩B=B”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
选C 因为p=3时,A∩B=B;
又若A∩B=B,则p=3.
8.(2012·
徐州检测)已知:
p:
|x-3|≤2,q:
(x-m+1)·
(x-m-1)≤0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为________.
∵p:
-2≤x-3≤2,1≤x≤5.
∴綈p:
1或x>
5.
易得q:
m-1≤x≤m+1,∴綈q:
m-1或x>
m+1.
又∵綈p是綈q的充分不必要条件,
∴
∴2≤m≤4.
[2,4]
9.(2012·
重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A.既不充分也不必要的条件
B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件
D.充要条件
选D ①∵f(x)在R上是偶函数,∴f(x)的图像关于y轴对称.
∵f(x)为[0,1]上的增函数,∴f(x)为[-1,0]上的减函数.
又∵f(x)的周期为2,∴f(x)为区间[-1+4,0+4]=[3,4]上的减函数.
②∵f(x)为[3,4]上的减函数,且f(x)的周期为2,
∴f(x)为[-1,0]上的减函数.
又∵f(x)在R上是偶函数,∴f(x)为[0,1]上的增函数.
由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
探究新定义下的集合问题
以集合为背景的新定义问题,历来是高考进行创新命题的一个考点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生理解问题、解决问题的能力.
[典例] (2012·
深圳调研)设S是实数集R的非空子集,如果∀a,b∈S,有a+b∈S,a-b∈S,则称S是一个“和谐集”.下面命题中假命题是( )
A.存在有限集S,S是一个“和谐集”
B.对任意无理数a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集”
C.若S1≠S2,且S1,S2均是“和谐集”,则S1∩S2≠∅
D.对任意两个“和谐集”S1,S2,若S1≠R,S2≠R,则S1∪S2=R
[思路点拨] 利用定义一一判断即可.
[解析] 对于A,如S={0},显然该集合满足:
0+0=0∈S,0-0=0∈S,因此A正确;
对于B,设任意x1∈{x|x=ka,k∈Z},x2∈{x|x=ka,k∈Z},则存在k1∈Z,k2∈Z,使得x1=k1a,x2=k2a,x1+x2=(k1+k2)a∈{x|x=ka,k∈Z},x1-x2=(k1-k2)·
a∈{x|x=ka,k∈Z},因此对任意无理数a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集”,B正确;
对于C,依题意,当S1,S2均是“和谐集”时,若a∈S1,则有a-a∈S1,即0∈S1,同理0∈S2,此时S1∩S2≠∅,C正确;
对于D,如取S1={0}≠R,S2={x|x=
k,k∈Z}≠R,易知集合S1,S2均是“和谐集”,此时S1∪S2≠R,D不正确.
[名师支招]
求解集合中的新定义问题,主要抓两点:
①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
②用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.
[高考预测]
对于任意的两个正数m,n,定义运算⊙:
当m,n都为偶数或都为奇数时,m⊙n=
当m,n为一奇一偶时,
m⊙n=
,设集合A={(a,b)|a⊙b=6,a,b∈N*},则集合A中的元素个数为________.
(1)当a,b都为偶数或都为奇数时,
=6⇒a+b=12,由2+10=4+8=6+6=1+11=3+9=5+7=12,知符合题意的点(a,b)有2×
5+1=11个;
(2)当a,b为一奇一偶时,
=6⇒ab=36,由1×
36=3×
12=4×
9=36,知符合题意的点(a,b)有2×
3=6个.
综合
(1)
(2),集合A中的元素个数为17个.
17
[配套课时作业]
(A)
1.(2012·
江西高考)若全集U=
,则集合A=
的补集∁UA为( )
B.
D.
选C 因为U={x∈R|x2≤4}={x∈R|-2≤x≤2},A={x∈R|x+1|≤1}={x∈R|-2≤x≤0}.借助数轴易得∁UA={x∈R|0<
x≤2}.
2.(2012·
江西高考)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )
A.5B.4
C.3D.2
选C 当x=-1,y=0时,z=-1;
当x=-1,y=2时,z=1;
当x=1,y=0时,z=1;
当x=1,y=2时,z=3.故z的值为-1,1,3,故所求集合为{-1,1,3},共3个元素.
湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
选B “存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.
福建高考)下列命题中,真命题是( )
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是
=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件
选D 因为∀x∈R,ex>0,故排除A;
取x=2,则22=22,故排除B;
a+b=0,取a=b=0,则不能推出
=-1,故排除C.
5.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),且m=ta+b,n=a-kb(t、k∈R),则m⊥n的充要条件是( )
A.t+k=1B.t-k=1
C.t·
k=1D.t-k=0
选D ∵a=(2,1),b=(-1,2),∴a·
b=0,|a|=|b|=
,∴m⊥n⇔m·
n=0⇔(ta+b)·
(a-kb)=0⇔ta2-kta·
b+a·
b-kb2=0⇔5t-5k=0,即t-k=0.
潍坊模拟)命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4B.a≤4
C.a≥5D.a≤5
选C 命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集.
7.下列命题中假命题是( )
A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆命题
B.“两非零向量a,b的夹角为钝角”的充要条件是“a·
b<
0”
C.若p∨q为假命题,则p,q均为假命题
D.命题“若x∈R,则x2+x+1<
0”的否定
选B 命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆命题为:
“若x=1,则x2-3x+2=0”,是真命题;
若两非零向量a,b的夹角为钝角,则a·
0,反之,若a·
0,则两非零向量a,b的夹角为钝角或两向量反向,即得“两非零向量a,b的夹角为钝角”的必要不充分条件是“a·
0”,即命题B是假命题;
命题C显然正确;
命题D为假命题,其否定为真命题.
山东高考)设a>
0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( )
选A 若函数f(x)=ax在R上为减函数,则有0<
a<
若函数g(x)=(2-a)x3在R上为增函数,则有2-a>
0,即a<
2,所以“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.
9.如图所示程序框图,已知集合A={x|x是程序框图中输出的值},集合B={y|y是程序框图中输出的值},全集U=Z,Z为整数集.当x=-1时,(∁UA)∩B等于( )
A.{-3,-1,5}B.{-3,-1,5,7}
C.{-3,-1,7}D.{-3,-1,7,9}
选D 根据程序框图所表示的算法,框图中输出的x值依次为0,1,2,3,4,5,6;
y值依次为-3,-1,1,3,5,7,9.于是A={0,1,2,3,4,5,6},B={-3,-1,1,3,5,7,9},因此(∁UA)∩B={-3,-1,7,9}.
10.定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A、B、C分别用圆表示,则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为( )
选A 如图所示,A-B表示图中阴影部分.故C-(A-B)所含元素属于C,但不属于图中阴影部分.
11.命题“∃k0∈R,函数y=
在(0,+∞)上单调递增”的否定是________.
特称命题的否定是全称命题.
∀k∈R,函数y=
在(0,+∞)上非单调递增
12.设集合A={5,log2(a+3)},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________.
由题意,log2(a+3)=2,得a=1,
所以b=2,从而A∪B={1,2,5}.
{1,2,5}
13.已知R是实数集,M={x|
1},N={y|y=
+1},则N∩(∁RM)=________.
M={x|
1}={x|x<
0或x>
2},
N={y|y=
+1}={y|y≥1},
∁RM={x|0≤x≤2},
∴N∩(∁RM)={x|1≤x≤2}=[1,2].
[1,2]
14.下面有四个关于充要条件的命题:
①向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得b=λa;
②函数y=x2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0;
③两个事件为互斥事件是这两个事件为对立事件的充要条件;
④若p:
<
1,q:
(x+1)(x-m)(x-3)>
0,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是m≥1.其中,真命题的编号是________(写出所有真命题的编号).
由共线向量定理,知命题①为真;
函数y=x2+bx+c为偶函数的充要条件是对称轴为y轴,即-
=0,b=0,因此②为真;
对立事件是互斥事件的特殊情形,所以③为假;
在④中,命题p对应集合A={x|-1<
1},
当m>
3时,q对应集合B={x|-1<
3或x>
m},有AB,符合p是q的充分不必要条件;
当m=3时,q对应集合B={x|x>
-1且x≠3}.AB符合题意;
当-1<
m<
m或x>
3},若p是q的充分不必要条件,那么m≥1;
当m≤-1时,不符合题意.
综上,可得m的取值范围是m≥1,④为真.
①②④
(B)
山东高考调研卷)已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|-1≤x≤a},且(A∪B)⊆(A∩B),则实数a=( )
A.0B.1
C.2D.3
选B 由(A∪B)⊆(A∩B)易得A∪B=A∩B,则A=B,∴a=1.
辽宁高考)已知命题p:
∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是( )
A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<
D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<
选C 命题p的否定为“∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<
0”.
3.(2011·
陕西高考)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x||x-
|<
,i为虚数单位,x∈R},则M∩N为( )
A.(0,1)B.(0,1]
C.[0,1)D.[0,1]
选C 对于集合M,函数y=|cos2x|,其值域为[0,1],所以M=[0,1].根据复数模的计算方法得不等式
<
,即x2<1,所以N=(-1,1),则M∩N=[0,1).
4.已知a,b是非零向量,则a与b不共线是|a+b|<
|a|+|b|的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件
选A 若a与b不共线,则|a+b|<
|a|+|b|成立,反之,若|a+b|<
|a|+|b|,则a与b可能不共线也可能反向共线.
5.设全集U=R,集合A={x∈Z|
≥0},B={x∈Z|x2≤9},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{1,2}
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