普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ理含详解.docx
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普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ理含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果时间A、B互斥,那么
如果时间A、B相互独立,那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式,其中R表示球的半径
球的体积公式,其中R表示球的半径
一、选择题
、设集合,,则
A.B.
C.D.
、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则
A.B.
C.D.
、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则
A.B.C.D.
、如果复数是实数,则实数
A.B.C.D.
、函数的单调增区间为
A.B.
C.D.
、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则
A.B.C.D.
、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是
A.B.C.D.
、抛物线上的点到直线距离的最小值是
A.B.C.D.
、设平面向量、、的和。
如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与同向,其中,则
A.B.
C.D.
、设是公差为正数的等差数列,若,,则
A.B.C.D.
、用长度分别为2、3、4、5、6(单位:
)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为
A.B.C.D.
、设集合。
选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有
A.B.C.D.
2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共2页,请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。
3.本卷共10小题,共90分。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。
、已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
、设,式中变量满足下列条件
则z的最大值为_____________。
、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有__________种。
(用数字作答)
、设函数。
若是奇函数,则__________。
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
、(本小题满分12分)
的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
、(本小题满分12分)
A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。
每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。
若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组。
设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为。
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ)观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望。
、(本小题满分12分)
如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。
点A、B在上,C在上,。
(Ⅰ)证明⊥;
(Ⅱ)若,求与平面ABC所成角的余弦值。
、(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量。
求:
(Ⅰ)点M的轨迹方程;
(Ⅱ)的最小值。
(21)、(本小题满分14分)
已知函数。
(Ⅰ)设,讨论的单调性;
(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围。
(22)、(本小题满分12分)
设数列的前项的和
,
(Ⅰ)求首项与通项;
(Ⅱ)设,,证明:
一、选择题:
1.B2.D3.A4.B5.C6.B7.C8.A9.D10.B11.B12.B
二、填空题:
13.14.1115.240016.
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
C
B
C
A
D
B
B
B
1.解:
=,=,
∴,选B.
2.解:
函数的图象与函数的图象关于直线对称,所以是的反函数,即=,∴,选D.
3.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,∴m<0,且双曲线方程为,∴m=,选A.
4.复数=(m2-m)+(1+m3)i是实数,∴1+m3=0,m=-1,选B.
5.函数的单调增区间满足,
∴单调增区间为,选C.
6.中,a、b、c成等比数列,且,则b=a,
=,选B.
7.正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为2,∴球的半径为,球的表面积是,选C.
8.设抛物线上一点为(m,-m2),该点到直线的距离为,当m=时,取得最小值为,选A.
9.向量、、的和。
向量、、顺时针旋转后与、、同向,且,∴,选D.
10.是公差为正数的等差数列,若,,则,,∴d=3,,,选B.
11.用2、5连接,3、4连接各为一边,第三边长为7组成三角形,此三角形面积最大,面积为,选B.
12.若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有=5种;若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有=1种;若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有=10种;若集合A中有两个元素,集合B中有两个个元素,则选法种数有=5种;若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有=1种;若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有=5种;若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有=1种;若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有=1种;总计有,选B.
解法二:
集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,
从5个元素中选出2个元素,有=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;
从5个元素中选出3个元素,有=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;
从5个元素中选出4个元素,有=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;
从5个元素中选出5个元素,有=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法;
总计为10+20+15+4=49种方法。
选B.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。
13.14.1115.240016.
13.正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,底面边长为2,底面积为12,所以正四棱锥的高为3,则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=,∴二面角等于。
14.,在坐标系中画出图象,三条线的交点分别是A(0,1),B(7,1),C(3,7),在△ABC中满足的最大值是点C,代入得最大值等于11.
15.先安排甲、乙两人在后5天值班,有=20种排法,其余5人再进行排列,有=120种排法,所以共有20×120=2400种安排方法。
16.,
则=,为奇函数,∴φ=.
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.解:
由A+B+C=π,得=-,所以有cos=sin.
cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin
=-2(sin-)2+
当sin=,即A=时,cosA+2cos取得最大值为
18.解:
(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小鼠有i只",i=0,1,2,
Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小鼠有i只",i=0,1,2,
依题意有:
P(A1)=2××=,P(A2)=×=.P(B0)=×=,
P(B1)=2××=,所求概率为:
P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
=×+×+×=
(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,).P(ξ=0)=()3=,P(ξ=1)=C31××()2=
P(ξ=2)=C32×()2×=,P(ξ=3)=()3=
ξ
0
1
2
3
P
ξ的分布列为:
数学期望:
Eξ=3×=.
19.解法一:
(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.又AN为AC在平面ABN内的射影.
∴AC⊥NB
(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB,∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
在Rt△NHB中,cos∠NBH===.
解法二:
如图,建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),
(Ⅰ)∵MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN.l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是=(1,1,m),=(1,-1,0).∴·=1+(-1)+0=0∴AC⊥NB.
(Ⅱ)∵=(1,1,m),=(-1,1,m),∴||=||,又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中,NB=,可得NC=,故C(0,1,).
连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ,λ)(λ>0).∴=(0,1-λ,-λ),
=(0,1,).·=1-λ-2λ=0,∴λ=,
∴H(0,,),可得=(0,,-),连结BH,则=(-1,,),
∵·=0+-=0,∴⊥,又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(-1,1,0),
∴cos∠NBH===
20.解:
椭圆方程可写为:
+=1式中a>b>0,且得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:
x2+=1(x>0,y>0).y=2(0 设P(x0,y0),因P在C上,有0 y=-(x-x0)+y0.设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=,y=. 由=+得
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