届高考数学一轮复习理复习讲义第12章 推理与证明算法复数.docx
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届高考数学一轮复习理复习讲义第12章推理与证明算法复数
2019届【高考数学一轮复习(理)】复习资料
第十二章推理与证明、算法、复数
第一节合情推理与演绎推理
本节主要包括2个知识点:
1.合情推理; 2.演绎推理.
突破点
(一) 合情推理
类型
定义
特点
归纳
推理
根据某类事物的部分对象具有某种特征,推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、
由个别到一般
类比
推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
1.判断题
(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( )
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
2.填空题
(1)已知数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是an=________.
解析:
a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.
答案:
n2
(2)由“半径为R的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推理出“半径为R的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是合情推理中的________推理.
答案:
类比
(3)观察下列不等式:
①<1;②+<;③++<.
则第5个不等式为____________________________________________________.
答案:
++++<
归纳推理
运用归纳推理时的一般步骤
(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);
(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想);
(3)对所得出的一般性命题进行检验.
类型
(一) 与数字有关的推理
[例1]
(1)给出以下数对序列:
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=( )
A.(m,n-m+1)B.(m-1,n-m)
C.(m-1,n-m+1)D.(m,n-m)
(2)(2018·兰州模拟)观察下列式子:
1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:
对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1=________.
[解析]
(1)由前4行的特点,归纳可得:
若anm=(a,b),则a=m,b=n-m+1,∴anm=(m,n-m+1).
(2)由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n2.
[答案]
(1)A
(2)n2
解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. [易错提醒]
类型
(二) 与式子有关的推理
[例2]
(1)(2016·山东高考)观察下列等式:
-2+-2=×1×2;
-2+-2+-2+-2=×2×3;
-2+-2+-2+…+-2=×3×4;
-2+-2+-2+…+-2=×4×5;
……
照此规律,
-2+-2+-2+…+-2=________.
(2)已知x∈(0,+∞),观察下列各式:
x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,类比得x+≥n+1(n∈N*),则a=________.
[解析]
(1)观察前4个等式,由归纳推理可知-2+-2+-2+…+-2=×n×(n+1)=.
(2)第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.
[答案]
(1)
(2)nn
[方法技巧]
与式子有关的推理类型及解法
(1)与等式有关的推理.观察每个等式的特点,找出等式左右两侧的规律及符号后可解.
(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.
类型(三) 与图形有关的推理
[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为( )
A.21B.34
C.52D.55
[解析] 因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年树的分枝数为21+34=55.
[答案] D
[方法技巧]
与图形有关的推理的解法
与图形变化相关的归纳推理,解决的关键是抓住相邻图形之间的关系,合理利用特殊图形,找到其中的变化规律,得出结论,可用赋值检验法验证其真伪性.
类比推理
1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法,常用技巧如下:
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移
2.平面中常见的元素与空间中元素的类比:
平面
点
线
圆
三角形
角
面积
周长
…
空间
线
面
球
三棱锥
二面角
体积
表面积
…
[例4] 如图,在△ABC中,O为其内切圆圆心,过O的直线将三角形面积分为相等的两部分,且该直线与AC,BC分别相交于点F,E,则四边形ABEF与△CEF的周长相等.试将此结论类比到空间,写出一个与其相关的命题,并证明该命题的正确性.
[解] 如图,截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O,且与BC,DC分别交于点E,F,若截面将四面体分为体积相等的两部分,则四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积相等.
下面证明该结论的正确性,
设内切球半径为R,
则VABEFD=(S△ABD+S△ABE+S△ADF+S四边形BEFD)×R=VAEFC=(S△AEC+S△ACF+S△ECF)×R,
即S△ABD+S△ABE+S△ADF+S四边形BEFD=S△AEC+S△ACF+S△ECF,两边同加S△AEF可得结论.
[方法技巧]
类比推理的步骤和方法
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为:
①找出两类事物之间的相似性或一致性;
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等,可以类比到立体几何中,得到类似的结论.
1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:
①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;
②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;
③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;
④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;
⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑥“=”类比得到“=”.
以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选B ①②正确,③④⑤⑥错误.
2.在平面几何中有如下结论:
正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论:
已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=( )
A.B.
C.D.
解析:
选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故=.
3.将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k行有k个奇数),其中第i行第j个数表示为aij,例如a42=15,若aij=2017,则i-j=( )
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
…
A.26B.27
C.28D.29
解析:
选A 前k行共有奇数为1+2+3+…+k=个,所以第k行的最后一个数为2·-1=k2+k-1,第k+1行的第一个数为k(k+1)+1,当k+1=45时,k(k+1)+1=44×45+1=1981,即第45行的第一个数为1981,因为=18,
所以2017是第45行的第19个数,
即i=45,j=19,所以i-j=45-19=26.故选A.
4.[考点一·类型
(二)]观察下列各等式:
+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( )
A.+=2
B.+=2
C.+=2
D.+=2
解析:
选A 各等式可化为+=2,+=2;+=2,+=2,可归纳得一般等式:
+=2,故选A.
5.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.
则f(4)=________,f(n)=________.
解析:
因为f
(1)=1,f
(2)=7=1+6,f(3)=19=1+6+12,所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.
答案:
37 3n2-3n+1
突破点
(二) 演绎推理
(1)定义:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.
(2)模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
(3)特点:
演绎推理是由一般到特殊的推理.
1.判断题
(1)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.( )
(2)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( )
答案:
(1)√
(2)×
2.填空题
(1)下列说法:
①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式;④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关;⑤运用三段论推理时,大前提和小前提都不可以省略.
其中正确的有________个.
解析:
易知①③④正确.
答案:
3
(2)推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号).
答案:
②
演绎推理
[典例] 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*).证明:
(1)数列是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
[证明]
(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),
即nSn+1=2(n+1)Sn.
故=2·,(小前提)
故是以2为公比,1为首项的等比数列.(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由
(1)可知数列是等比数列,(大前提)
所以=4·(n≥2),
即Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1
=4an(n≥2).
又a2=3S1=3,S2=a1+
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