高中数学选修21北师大版 立体几何中的向量方法第5课时教案.docx

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高中数学选修21北师大版立体几何中的向量方法第5课时教案

§3.2.5　　综合问题

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。

由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．

（2）过程与方法：

在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：

体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：

坐标法与向量法结合.

【教学难点】：

适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．

【课前准备】：

Powerpoint课件

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

一、复习引入

教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。

立体几何中的向量方法可以归纳为三步：

（l）把几何问题转化为向量问题；

（2）进行向量运算；〔3）由向量运算解释几何问题。

有助于加强学生对解题通法的整体认识．

二、问题与探究

一、问题探究

问题1：

阅读课本上的例4，请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？

学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决．

问题2：

从例4的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？

如果建立坐标系，应怎样建立？

教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P,A，Ｂ，Ｃ,D,E的坐标．并进一步写出等的坐标．

问题3：

考虑例4

（1），要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？

教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现PA与ＥＧ有平行关系，从而自然地想到写出的坐标，并由＝k证出ＰＡ∥ＥＧ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ。

问题4：

考虑例4

（2），要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？

教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：

应证明PB与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？

在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）

·＝０，⊥，

ＰＢ⊥ＤＥ　ＰＢ⊥平面ＥＦＤ

问题5：

考虑例4（3），求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？

教师从“计算二面角C一PB一D的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：

哪个角是二面角C一PB一D的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？

教师引导学生考虑：

点F的坐标对计算是否垂要？

怎样利用题中条件确定点F的坐标？

让学生通过讨论写出确定点F坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos∠EFD＝计算∠EFＤ的过程

问题6：

考虑例4后的思考题．

学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法．

二、问题解答

解：

如课本图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1

（1）证明：

连结AC,AC交BD于点G,连结EG

三、小结立体几何中的不同方法．

教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套．

通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路．

初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力．

找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解．

找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的“数量积为0”的几何意义的认识。

计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小．计算角的大小时，向量是非常有力的工具．解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握．

思考题1可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思考题2可以加强不同方法之间的联系．

加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识．

三、拓展与提高

1，练习题3。

（解略）

2，如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：

平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（III）求点E到平面ACD的距离。

解：

（I）略

（II）以O为原点，如图建立

空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（III）设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量，又

点E到平面ACD的距离

学生进行提高训练应用.

四、小结

解决立体几何问题的三种方法：

1，综合方法；

2，向量方法；

3，坐标方法。

反思归纳

五、作业

习题3.２A组9、10、12题；选作B组2,3题

练习与测试：

（基础题）

1，过正方形的顶点，引⊥平面，若，

则平面和平面所成的二面角的大小是（）

A．B．C．D．

答：

B

2，设P是的二面角内一点，AB为垂足，则AB的长为（）

A．B．C．D．

答：

C

3，如下图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x、y、z的值分别为

A.x=,y=,z=

B.x=,y=,z=

C.x=,y=,z=

D.x=,y=,z=

解析：

=－,=－,

=（+）=+－,

=－=+－,

==－++,

=+=++.

答案：

D

4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是

A.相交　　　　　　　　　　　　　　B.平行

C.垂直　　　　　　　　　　　　　　D.不能确定

解析：

因为正方体的棱长为a,故面对角线A1B=AC=a.而A1M=AN=a，所以M、N分别是A1B和AC上的三等分点.在B1B、BC上各取点E、F，使得B1E=BF=a.

则=++.

但=－=－=（－）=，

=－=－=（－）=，

∴+=+=+=0，

∴=，即MN∥EF，

∴MN∥平面BB1C1C.

答案：

B

（中等题）

5，如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1，.求直线EC1与FD1所成的余弦值.

解：

以分别为轴建立坐标系，则E（3，3，0）、C1（0，4，2）、

D1（0，0，2）、F（2，4，0）.从而＝（－3，1，2）、＝

（－2，－4，2）

所以直线EC1与FD1所成的余弦值为

＝＝

6，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）求点到平面的距离．

解：

建立如图的空间直角坐标系，设，

则，，，，

∵分别是，与的中点，

∴，∵是的重心，

，∴，，

，∵平面，

得，且与平面所成角，，

，，

（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，

∵平面，到平面的距离等于．

小结：

根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．

（难题）

7，如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.

（1）求证：

EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成的角的余弦；

（3）求FH的长.

分析：

本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.

解：

如图建立空间直角坐标系O－xyz,D为坐标原点O，依据已知有E（0，0，），F（，，0），

C（0，1，0），C1（0，1，1），B1（1，1，1），G（0，，0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

（1）证明：

=（，，0）－（0，0，）=（，，－），

=（0，1，0）－（1，1，1）=（－1，0，－1），　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由

·=×（－1）+×0+（－）×（－1）=0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

得⊥，

∴EF⊥B1C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）解：

=（0，，0）－（0，1，1）=（0，－，－1），||==，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由

（1）得||==，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

且·=×0+×（－）+（－）×（－1）=，

∴cos〈,〉==.　　　　　　　　　　　

（3）解：

∵H是C1G的中点,

∴H（,,）,即（0,,）.

又F（，，0）,

∴FH=||==.

8，已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，

（1）证明:

为异面直线的公垂线；

（2）求点到平面的距离．

解：

（1）以分别为轴建立坐标系，

则，，，，

，，，

∴，

∴为异面直线的公垂线．

（2）设是平面的法向量，∵，

∴，，，

点到平面的距离