东北三省三校一模联考数学文试题Word下载.docx
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,C,D,
球心为点O,AB过点O,
CACB,DADB,DC1,则三棱锥ABCD的体积为()
B.
C.3
D.
已知数列an满足
lna1lna2
lna3
25
8
a10=()
26
A.e
B
32C.e
D
9.
e35
29e
3n12
lnan3n2
10.执行如图所示的程序框图,要使输出的S的值小于1,则输入的t值不能是下面的()
(nN),则
A.8
B.9
C.10
D.11
11.若函数f(x)2x33mx26x在区间2,上为增函数,则实数m的取值范围是
A.
2
B.,2
C.
52
52
12.函数
f(x)lg(x1)sin2x的零点个数为(
A.9
B.10
C.11
D.12
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分.)
13.若等差数列an中,满足a4a6a2010a20128,则S2015=.
32xy9
14.若变量x,y满足约束条件,则zx2y的最小值为
6xy9
下焦点的对称点分别为A、B,点Q在双曲线C的上支上,点P关于点Q的对称点为P1,则
P1AP1B=.
16.若函数f(x)满足:
(ⅰ)函数f(x)的定义域是R;
(ⅱ)对任意x1,x2R有
f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2);
(ⅲ)f
(1)23.则下列命题中正确的是
写出所有正确命题的序号)
①函数f(x)是奇函数;
②函数f(x)是偶函数;
③对任意n1,n2N,若n1n2,则
f(n1)f(n2);
④对任意xR,有f(x)1.
三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
已知ABC的面积为2,且满足0ABAC4,设AB和AC的夹角为.Ⅰ)求的取值范围;
Ⅱ)求函数f()2sin2()3cos2的值域.
18.(本题满分12分)
空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,
呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、
健康和福利或环境的
现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:
g/m3)为0~50
时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;
当空气污染指数为50~100时,空
气质量级别为二级,空气质量状况属于良;
当空气污染指数为100~150时,空气质量
级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;
当空气污染指数为150~200时,空气质量
级别为四级,空气质量状况属于中度污染;
当空气污染指数为200~300时,空气质量
频率
组距
级别为五级,空气质量状况属于重度污染;
当空气污染指数为300以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2018年1月某日某省x个监测点数据统计如
Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x,y的值,并完成频率分布直方图;
0.008
0.007
0.006
0.005
Ⅱ)若A市共有5个监测点,其中有3个监测点为轻度污染,2个监测点为良.从中任意选取2个监测点,事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?
19.(本题满分12分)
如图,多面体ABCDEF中,底面ABCD是菱形,BCD60,四边形BDEF是正方形,且
DE平面ABCD.
(Ⅰ)求证:
CF//平面AED;
(Ⅱ)若AE2,求多面体ABCDEF的体积V.
20.(本题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知动圆过点(2,0),且被y轴所截得的弦长为4.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C1的方程;
(Ⅱ)过点P(1,2)分别作斜率为k1,k2的两条直线l1,l2,交C1于A,B两点(点A,B异于
221
点P),若k1k20,且直线AB与圆C2:
(x2)2y2相切,求△PAB的
面积.
21.(本题满分12分)
已知实数a为常数,函数f(x)xlnxax2.
Ⅰ)若曲线yf(x)在x1处的切线过点A(0,2),求实数a值;
Ⅱ)若函数yf(x)有两个极值点x1,x2(x1x2).
11
①求证:
2a0;
②求证:
f(x1)0,f(x2)2.
请从下面所给的22,23,24三题中任选一题做答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;
不涂、多涂均按所答第一题评分;
多答按所答第一题评分。
请考生在第22,23,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答
时请写清题号.
22.(本题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,在ABC中,ABC90,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接OD交圆O于点M.
Ⅰ)求证:
DE是圆O的切线;
Ⅱ)求证:
DEBCDMACDMAB.
23.(本题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
23tm
y12t
Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
Ⅱ)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA||PB|1,求实数m
的值.
24.(本题满分10分)选修4-5:
不等式选讲设函数f(x)|2x1||x2|.
Ⅰ)解不等式f(x)0;
Ⅱ)若x0R,使得f(x0)2m24m,求实数m的取值范围
东北三省三校2018年三校第一次联合模拟考试文科数学试题
参考答案
、选择题
1
5
6
7
9
10
12
D
A
C
B
二.填空题
13.403014.-615.-1616.②③④
三.解答题
17.(本小题满分12分)解:
(Ⅰ)设△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,
则由已知:
bcsin2,0bccos4,⋯⋯4分
可得tan1,所以:
[,).⋯⋯6分
42
(Ⅱ)f()2sin2π3cos21cosπ23cos242
π
(1sin2)3cos2sin23cos212sin2π1.⋯⋯8分
32π
[,),2[,),∴2≤2sin2π1≤3.
423633
5ππ
即当时,f()max3;
当时,f()min2.
124
所以:
函数f()的值域是[2,3]⋯⋯12分
18.(本小题满分12分)
15
解:
(Ⅰ)0.00350x100
x
1540y10100y35
2分
40
10050
35
100.002
0.004
0.003
0.002
0.001
050100150200
空气污染指数
(g/m3)
⋯5
Ⅱ)设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为
1,2,3,空气质量状况属于良的2
个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)分
其中事件A“其中至少有一个为良”包含的
共10种,
基本事件为
(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)
分
共7种,
所以事件A“其中至少有一个为良”
发生的概率是P(A)7
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:
ABCD是菱形,AD平面
又BC平面ADE
BC//AD.E
ADE,BC//平面ADE.
⋯⋯2分
又BDEF是正方形,
BF平面ADE
BF//平面ADE.
BC平面BCF,
平面BCF//平面AED.
BF//DE.
DE平面ADE,
⋯⋯4分
BF平面BCF,BCBFB,
F
由于CF平面BCF,知CF//平面AED.(Ⅱ)解:
连接AC,记ACBDO.
ABCD是菱形,ACBD,且AO由DE平面ABCD,
DE平面BDEF,
AC平面ABCD
BD平面BDEF
AC平面BDEF于O,即AO为四棱锥ABDEF的高.
6分
BO
DEAC.
DEBD
D,
由ABCD是菱形,BCD60,则ABD为等边三角形,由AE2,则ADDE1,
DEF1SBDEFAO3,V2VBDEF3
363
AO23,SBDEF1,VB
20.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)设动圆圆心坐标为
(x,y),半径为r,由题可知(x22)2y2
22x2r2
y24x;
动圆圆心的轨迹方程为
y24x
(Ⅱ)设直线l1斜率为k,则l1:
y2k(x1);
l2:
y2k(x1).
点P(1,2)在抛物线y24x上
y24x2
ky24y84k0
y2k(x1)
设A(x1,y1),B(x2,y2),0恒成立,即k120,有k1
84k42ky1yP,yP2,y1
kk
yP
代入直线方程可得x1(k22)k2
同理可得x2(22k),y242k
k2k
7分
42k42ky2y1kk
k211
kABx2x1(k2)2(k2)21
k2
9分
不妨设lAB:
yxb.
因为直线AB与圆C相切,所以
|b2|2
解得b3或1,
当b3时,直线AB过点P,舍
当b1时,由y2x1x26x10;
32,|AB|11328y24x
P到直线AB的距离为d2,△PAB的面积为42.⋯⋯12
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:
由已知:
f/(x)lnx12ax(x0),切点P(1,a)⋯⋯1分
切线方程:
ya(2a1)(x1),把(0,2)代入得:
a1⋯⋯3分Ⅱ)①证明:
依题意:
f/(x)0有两个不等实根x1,x2(x1x2)
设g(x)lnx2ax1则:
g/(x)12a(x0)
(ⅰ)当a0时:
g/(x)0,所以g(x)是增函数,不符合题意;
⋯⋯5分
(ⅱ)当a0时:
由g/(x)0得:
x0
列表如下:
(0,21a)
2a
(21a,)
g/(x)
g(x)
↗
极大值
↘
111
g(x)max=g()ln()0,解得:
a0⋯⋯8
2a2a2
(注:
以下证明为补充证明此问的充要性,可使其证明更严谨,以此作为参考,学生证明
步骤写出上述即可)
方法一:
当x0且x0时lnx,2ax11,当x0且x0时g(x)
g(x)在(0,1)上必有一个零点.
2x
1/11当x时,设h(x)lnxx,h/(x)
2ax2x
0,4
4,
h/(x)
+
0
-
h(x)
x4时,h(x)h(4)ln420即lnxx
x4时,g(x)lnx12axx2ax1
22
设tx,x2ax12at2t1由a0,x时,2at2t10
g(x)0g(x)在(,)上有一个零点
综上,函数yf(x)有两个极值点时a0,得证.
方法二
2/
f(x)xlnxax2有两个极值点,即f/(x)lnx12ax(x0)有两个零点
当h/(x)0时,0x1;
当h/(x)0时,x1
0,1
1,
当x1时h(x)有极大值也是最大值为f
(1)12a1,a1
h
(1)0,故h(x)在0,1有一个零点e
x1时0h(x)h
(1)1
2a0,a0
综上函数yf(x)有两个极值点时a0,得证.
②证明:
由①知:
f(x),f/(x)变化如下:
(0,x
)
x1(x1,
x2)
x2(x2,
f/(x)
+
f(x)
极小值
极大值
由表可知:
f(x)在[x1,x2]上为增函数,
又f/
(1)g
(1)2a10,故x11x2
10分
4分
1所以:
f(x1)f
(1)a0,f(x2)f
(1)a
即f(x1)0,f(x2)12.
22.选修4-1:
几何证明选讲证明:
(Ⅰ)连结OE.
∵点D是BC的中点,点O是AB的中点,
∴OD//1AC,∴ABOD,AEOEOD.
∵OAOE,∴AAEO,∴BODEOD.
在EOD和BOD中,∵OEOB,EODBOD,ODOD,
∴EOD≌BOD,∴OEDOBD90,即OEED.
∵E是圆O上一点,∴DE是圆O的切线.⋯⋯5分(Ⅱ)延长DO交圆O于点F.
∵EOD≌BOD,∴DEDB.∵点D是BC的中点,∴BC2DB.
∵DE,DB是圆O的切线,∴DEDB.∴DEBCDE2DB2DE2.⋯⋯7分∵AC2OD,AB2OF,∴DMACDMABDM(ACAB)DM(2OD2OF)2DMDF.
∵DE是圆O的切线,DF是圆O的割线,
∴DE2DMDF,∴DEBCDMACDMAB⋯⋯10分
23.选修4-4:
(
Ⅰ)由2cos,得:
22cos,∴x2y22x,即(x1)2y21,
∴曲线C的直角坐标方程为(x1)2y21.
x3tm
xtm
yt
得x3ym,
即x3ym0,
∴直线l的普通方程为x3ym0.
5分
Ⅱ)将
2代入(x1)2y21,得:
整理得:
t23(m1)tm22m0,
由0,即3(m1)24(m22m)0,解得:
1m3.
设t1,t2是上述方程的两实根,则t1t23(m1),t1t2m22m,⋯⋯7分
又直线l过点P(m,0),由上式及t的几何意义得
|PA||PB||t1t2||m22m|1,解得:
m1或m12,都符合1m3,
因此实数m的值为1或12或12.
24.选修4-5:
不等式选讲
(Ⅰ)当x2时,f(x)|2x1||x2|12xx2x3,
f(x)0,即x30,解得x3,又x2,∴x2;
当2x2时,f(x)|2x1||x2|12xx23x1,
f(x)0,即3x10,解得x,又2x,∴2x;
323
当x时,f(x)|2x1||x2|2x1x2x3,
1f(x)0,即x30,解得x3,又x,∴x3.
2分
综上,不等式f(x)0的解集为,1(3,).
Ⅱ)
x3,x2
1f(x)|2x1||x2|3x1,2x,
x3,x
f(x)min
.⋯⋯7
∵x0R,使得f(x0)2m24m,∴4m2m2f(x)min
2,
4m28m50,解得:
15m,
因此m的取值范围是
2,2
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