浙江专版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教师用书.docx
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浙江专版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教师用书
第五章 数 列
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[五年考情]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
数列的概念与表示方法
20,4分(理)
17,7分(文)
19,5分(文)
7,5分(理)
19,6分(文)
等差数列及前n项和
6,5分(理)
8,5分(文)
3,5分(理)
10,4分(文)
19,4分(文)
18,14分(理)
19,14分(文)
19,4分(文)
等比数列及前n项和
17
(1),7
分(文)
3,5分(理)
10,4分(文)
17,3分(文)
19,4(理)
18
(1),6分(理)
19,3分(文)
13,4分(理)
19,3分(文)
数列求和及综合应用
13,6分(理)
20,15分(理)
17
(2),8
分(文)
20,15分(理)
17,15分(文)
19,14分(理)
19,14分(文)
18,14分(理)
14,4分(文)
19,14分(文)
19,7分(文)
[重点关注]
从近五年浙江卷高考试题来看,数列是高考命题的热点,主要考查等差数列,等比数列,an与Sn的关系,递推公式以及数列求和,数列与不等式的交汇也成为高考命题的重点.
第一节 数列的概念与简单表示法
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
单调性
递增数列
an+1>an
其中
n∈N*
递减数列
an+1 常数列 an+1=an 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 6.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an, 则an= 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( ) (3)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( ) (4)若已知数列{an}的递推公式为an+1=,且a2=1,则可以写出数列{an}的任何一项.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( ) A.15 B.16 C.49D.64 A [当n=8时,a8=S8-S7=82-72=15.] 个正三角形(如图511). 图511 则第7个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 B [由题图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.] 4.(教材改编)数列1,,,,,…的一个通项公式an是__________. [由已知得,数列可写成,,,…,故通项为.] 5.(2017·保定调研)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式an=2n-1 [法一: 由an+1=2an+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知an=2n-1. 法二: 由题意知an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1.] 由数列的前几项归纳数列的 通项公式 写出下面各数列的一个通项公式: (2),,,,,…; (3)-1,7,-13,19,…; [解] (1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.2分 所以an=.6分 (3)数列中各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6. 故通项公式为an=(-1)n(6n-5).10分 (4)将数列各项改写为,,,,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…, 所以an=(10n-1).14分 [规律方法] 1.求数列通项时,要抓住以下几个特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、化归、联想. 2.若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式,让规律凸现出来.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整,可代入验证归纳的正确性. [变式训练1] (1)数列0,,,,…的一个通项公式为( ) A.an=(n∈N*) B.an=(n∈N*) C.an=(n∈N*) D.an=(n∈N*) (2)数列{an}的前4项是,1,,,则这个数列的一个通项公式是an=__________. (2)数列{an}的前4项可变形为,,,,故an=.] 由an与Sn的关系求通项an 已知下面数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; [解] (1)a1=S1=2-3=-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,3分 由于a1也适合此等式,∴an=4n-5.6分 (2)a1=S1=3+b, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.9分 当b=-1时,a1适合此等式. 当b≠-1时,a1不适合此等式.12分 ∴当b=-1时,an=2·3n-1; 当b≠-1时,an=14分 [规律方法] 由Sn求an的步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式; (3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应写成分段函数的形式. 易错警示: 利用an=Sn-Sn-1求通项时,应注意n≥2这一前提条件,易忽视验证n=1致误. [变式训练2] (2017·绍兴质检 (二))已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),则an=( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1D.2n-2 A [由Sn=2an-4可得Sn-1=2an-1-4(n≥2),两式相减可得an=2an- 2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,所以数列{an}是以4为首项,2为公比的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.] 由递推公式求数列的通项公式 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: (1)a1=2,an+1=an+3n+2; (2)a1=1,an+1=2nan; (3)a1=1,an+1=3an+2. [解] (1)∵an+1-an=3n+2, ∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n≥2). 当n=1时,a1=×(3×1+1)=2符合公式, ∴an=n2+.4分 (2)∵an+1=2nan,∴=2n-1(n≥2), ∴an=··…··a1 =2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=. 又a1=1适合上式,故an=.9分 (3)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), 又a1=1,∴a1+1=2, 故数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列, ∴an+1=2·3n-1,因此an=2·3n-1-1.14分 [规律方法] 1.已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an;已知a1(a1≠0),且=f(n),可用“累乘法”求an. 2.已知a1,且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为{an+k}为等比数列. 易错警示: 本题 (1), (2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式,(3)中常见错误是忽视判定首项是否为零. [变式训练3] 已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. [解] (1)由题意可得a2=,a3=.4分 (2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0得 2an+1(an+1)=an(an+1).8分 因为{an}的各项都为正数,所以=.12分 故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.14分 [思想与方法] 1.数列是一种特殊的函数,因此,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 2.an= 3.由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方法是: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法. (2)=f(n)型,采用叠乘法. (3)an+1=pan+q(p≠0,p≠1)型,转化为等比数列解决. [易错与防范] 1.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关. 2.易混项与项数是两个不同的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号. 3.在利用数列的前n项和求通项时,往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2的情形. 课时分层训练(二十六) 数列的概念与简单表示法 A组 基础达标 (建议用时: 30分钟) 一、选择题 1.在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5=( ) A.B. C.D. D [a2=1+=2,a3=1+=1+=,a4=1+=3,a5=1+=.] 2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.1,,,,… B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, C [根据定义,属于无穷数列的是选项A,B,C,属于递增数列的是选项C,D,故同时满足要求的是选项C.] 3.(2017·台州期末)数列{an}的首项a1=2,且(n+1)an=nan+1,则a3的值为 ( ) A.5B.6 C.7D.8 B [由(n+1)an=nan+1得=,所以数列为常数列,则==2,即an=2n,所以a3=2×3=6,故选B.] 4.(2017·温州3月测试)设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an=( ) A.3(3n-2n)B.3n+2 C.3nD.3·2n-1 C [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理,得an=3an-1,由a1=(a1-1),得a1=3,∴=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列, ∴an=3n,故选C.] 5.数列{an}满足a1=2,an=,其
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