清华大学微积分A笔记上word资料11页Word下载.docx
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可以证明若A存在,ak=bk=∂f/∂xk
Nabla算子∇=(∂/∂x1,…,∂/∂xn)
∇A=Grad(f)=A称为f的梯度,∇(f○g)=g∇f+f∇g
若有单位向量e=(cosθ1,cosθ2,…,cosθn),则称A.e是f沿e方向的方向导数,
A.e=∂f/∂l其中l与e平行
若f在X0可微:
X0处f各一阶偏导存在
X0处f有梯度
X0处f连续
X0处f的各方向导数均存在
若f在X0处各一阶偏导函数连续,则f在X0可微
A=∇f是向量值函数,可以观察,e与A平行时,f的方向导数最大,且大小A.e=||A||,称A是f的梯度场
向量值函数的切平面、微分、偏导
F(X)=(f1(X),f2(X),…,fm(X)),若所有fi在X0处可微,则称F在X0处可微,即
F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(||X-X0||),其中
A=(aij)m*n=∂F/∂X=∂(f1,f2,…,fm)/∂(x1,x2,…,xn)=J(F(X0)))称为F在X0处的Jacobian
(F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度,
aij:
=∂Fi/∂xj)
F的全微分dF=AdX
当m=n时,F有散度Div(F)和旋度Curl(F)
Div(F)=∇.F=∂f1/∂x1+…+∂fm/∂xm
Curl(F)=∇×
F
复合函数求导
一阶偏导:
若G=G(X)在X0可微,F=F(U)(U=G(X))在G(X0)可微,则F○G在X0处可微,
J(F○G)=J(F(U))J(G(X))
具体地,对于多元函数f(U)=f(u1,…,um),其中U=G(X)即ui=g(x1,…,xn)
∂f/∂xj=∂f/∂U*∂U/∂xj
=Sum[∂f/∂ui*∂ui/∂xj]{foreachuiinU}
高阶偏导:
不要忘记偏导数还是复合函数
例:
f(U):
=f(u1,u2),U(X):
=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))
∂2f/(∂x1)2=数学分析教程P151
隐函数、隐向量值函数
由F(X,Y)=0确定的函数Y=f(X)称为隐函数
隐函数:
1.存在定理:
若n+1元函数F(X,y)在零点(X0,y0)处导数连续,且∂(F)/∂(y)(X0,y0)<
>
0,则存在(X0,y0)附近的超圆柱体B=B(X0)*B(y0),使得B(X0)上的任意一点X可以确定一个y使得F(X,y)=0,即函数F在B内确定了一个隐函数y=f(X),而且这个隐函数的一阶偏导数也连续
注:
如果∂(F)/∂(y)=0,那么在X=X0超平面上,y在X0处取得了极值,那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走,y都会减小,所以y是双值函数,不是函数
2.偏导公式:
在B内的
处,
或者说
不正式的证明:
F(X,y)≡0,所以∂F/∂xi=0,即
Sum[∂F/∂xj*∂xj/∂xi]=0(把y记做xn+1)
由于X的各分量都是自变量,∂xj/∂xi=0(i<
j)
所以∂F/∂xi+∂F/∂y*∂y/∂xi=0
于是立即可得上述公式
隐向量值函数:
若X∈Rn,Y∈Rm,m维n+m元向量值函数F(X,Y)=0,在P0=(X0,Y0)点的某个邻域B(P0,r)内是C
(1)类函数,F(P0)=0,且∂F/∂Y可逆,则存在P0的邻域B(X0)*B(Y0),使得对于在B(X0)内的任意X,存在唯一Y∈B(Y0)满足F(X,Y)=0,即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f(X)
J(f):
=∂(y1,…,ym)/∂(x1,…,xn):
=∂Y/∂X
=-[∂F/∂Y]-1*∂F/∂X
1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法,A-1=A*/|A|,A*是A的余子矩阵的转置
2.如果只求J(f)中的一列,∂(Y)/∂(xi)=-[∂(F)/∂(Y)]-1*[∂(F)/∂(xi)]
3.如果只求J(f)中的一行或者一个元素,问题退化成隐函数偏导的问题
4.计算∂F/∂X时,忽略Y是X的函数,将Y当作自变量计算
(从证明中可以看出原因,因为∂y/∂x的成分被移到了等式左侧J(f)里面),而不用偏导公式,采取对F(X,Y)=0左右同时对xi求偏导的方法时,Y要看做xi的函数)
3.隐向量值函数的反函数:
函数Y=f(X)将Rn映射至Rm,如果J(f)=∂f/∂X可逆,那么存在f的反函数X=f-1(Y),且J(f-1)=[J(f)]-1
1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法,A-1=A*/|A|,A*是A的余子矩阵的转置
2.|J(f-1)|=|J(f)|-1
用参数形式给出的隐函数
若有x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),则需要列方程求
曲面和曲线的切平面、法线、法向量
三维空间下,函数F(x,y,z)=0确定了一个曲面。
如果F在点P处满足
(1)F在P处连续可微
(2)∇F在P处不为0
则称P是曲面上的正则点
如果曲面在正则点P0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz),A=(x-x0,y-y0,z-z0),则S在P点的切平面方程为n.A=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz(约定分母为0时分子也为0)
过P0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程:
(X-X0).n1=(X-X0).n2=0,具体地:
x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0
x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0
I.曲面的显式表示法
z=f(x,y)是曲面S的显式表示
正则点P0(x0,y0,z0)处,S的法向量n=(∂f/∂x,∂f/∂y,-1)
II.曲面的隐式表示法
F(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法
正则点P0处,n=(∂z/∂x,∂z/∂y,-1)
=(-(∂F/∂x)/(∂F/∂z),-(∂F/∂y)/(∂F/∂z),-1)
=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)
III.曲线的参数表示法
L={x=x(t),y=y(t),z=z(t)}是曲线的参数方程
正则点P处,t=(x’,y’,z’)是L在P处的切向量,以t为法线的平面称为L在P处的切平面
IV.曲面的参数表示法
S={x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)}是曲面的参数表示法
取通过正则点P的v-曲线S{u=u0}和u-曲线S{v=v0},在正则点处取切向量,t1=(xu,yu,zu),t2=(xv,yv,zv),正则点处的法向量必与t1、t2垂直,可以取n=t1×
t2
P点处的切平面T可以直接用u、v的参数表示T:
X-X0=J(X).(u-u0,v-v0),具体就是
x-x0=xu(u-u0)+xv(v-v0)
y-y0=yu(u-u0)+yv(v-v0)
z-z0=zu(u-u0)+zv(v-v0)
V.曲线的标准表示法
两个曲面F(x,y,z)=0与G(x,y,z)=0的公共解可以确定它们的交线L。
正则点P处,L的切向量应该与F的法向量n1、G的法向量n2都垂直,可以取t=n1×
n2
Taylor公式、函数的极值与最值、Lagrange乘子法
定义函数f(X)在X0点的Hessian:
H(f)|X0:
=H(f(X0)):
=H(X0)=(∂2f/∂xi∂xj)n*n
Taylor定理:
f(X0+ΔX)=f(X0)+∇f(X0).ΔX+1/2(ΔX)T.H(X0+θΔX).(ΔX)(0<
=θ<
=1)
f(X0+ΔX)=f(X0)+∇f(X0).ΔX+1/2(ΔX)T.H(X0).(ΔX)+o(||ΔX||2)
Sketchofproof:
f在B(X0)内二阶可微,在B(X0)内任取X=X0+ΔX,令g(t)=f(X0+θΔX),g’(t)=∇f(X0).ΔX,g’’(t)=(ΔX)T.H(X0+θΔX).(ΔX),直接应用一元Taylor公式即可。
极值
若X0处有∇f(X0)=0,则称X0是f的一个驻点
在驻点X0处,如果有H(X0)正定,则X0是f的极小值;
如果H(X0)负定,X0是f的极大值,否则X0是f的鞍点
X0附近,f(X0+ΔX)-f(X0)=∇f(X0).ΔX+1/2(ΔX)T.H(X0).(ΔX)+o(||ΔX||2),而由驻点条件∇f(X0).ΔX=0,o(||ΔX||2)是无穷小,在足够小的区域内(ΔX)T.H(X0).(ΔX)决定了函数值变化的符号,如果它恒正,那么H(X0)是正定矩阵;
恒负,H(X0)是负定矩阵。
说明:
(1)由线性代数的知识,如果A的所有特征值均为正,A正定;
A的特征值均为负,A负定,而且设A的最小、最大特征值为λ、Λ,那么λX.X<
=XTAX<
=ΛX.X
(2)特殊地,如果H(X0)是二阶方阵,那么|H|>
0时H可定,其中∂2f/∂x1∂x1>
0时H正定,∂2f/∂x1∂x1<
0时H负定,∂2f/∂x1∂x1=0,H不定
Lagrange乘子法
若f在Ω内连续可微,则f的最值点一定在驻点或者∂Ω处取得。
单独的点处f的值易求,连续边集内f的最值可由下述Lagrange乘子法求得:
对于函数z=f(X)在限制条件Φ(X):
=(φ1(X),…,φm(X))=0下的极值,若∂Φ/∂X满秩,定义Lagrange乘子函数L(X,Λ):
=L(X,λ1,…,λm)=f(X)+Λ.Φ(X)=f(X)+∑λiφi(X)(i=1,…,m),f的极值点一定取在L的驻点处。
注意:
1.限制条件是Φ(X)=0,如果右侧不是零向量,不要忘记移项
2.如果限制条件Φ(X)=0构成了“流形”(有界无边),那么f的最值点一定取在L的驻点处
含参积分
多元函数的连续性:
对于Ω上的函数f,∀ε>
0,X0∊Ω,∃δ=δ(ε,X0)>
0s.t.|f(X)-f(X0)|<
ε∀X∊B(δ,X0)
若δ与X0无关,则称f在Ω上一致连续
多元函数的一致连续性:
∀ε>
0,∃δ=δ(ε)>
0s.t.∀X,X’∊Ω,若|X-X’|<
δ则|f(X)-f(X’)|<
ε
1.与一元微积分相似,若Ω是有界闭集且f在Ω上连续,则f在Ω上一致连续
2.连续性条件中的δ与X无关,或者说对于∀X∊Ω都有同一个δ,则f一致连续
设f(x,y)在Q=[a,b]×
[c,d]上有定义,则称∫<
c,d>
f(x,y)dy为含参积分,x是参变量,y是积分变量
定义三维几何体∑={(x,y,z)|(x,y)∊Q,z<
=f(x,y)},∑的体积V=∫a,bSdx,S(x)=∫<
f(x,y)dy,那么V=∫<
a,b>
(dx∫<
f(x,y)dy)是积分的几何意义
常用含参积分:
Γ(x)=∫<
0,+∞>
e-ttx-1dt
Β(x,y)=∫<
0,1>
tx-1(1-t)y-1dt
广义含参积分:
含参积分的性质:
令I(x)=∫<
f(x,y)dy,x∊[a,b],D=[a,b]×
[c,d]
1.若f(x,y)在D上连续,则I(x)在D上连续
2.若f(x,y)和∂f/∂x在D上都连续,则I(x)在[a,b]上可微,且
I’(x)=∫<
(∂f/∂x)dy
2’.(推广形式)若f(x,y)和∂f/∂x在D上都连续,则ι=∫<
α(x),β(x)>
f(x,y)dy可微,且
ι’(x)=f(x,β(x))β’(x)–f(x,α(x))α’(x)+∫<
(∂f(x,y)/∂x)dy
3.∫<
f(x,y)dy)=∫<
(dy∫<
f(x,y)dx)
常用广义含参积分:
Poisson积分∫<
e-x^2dx=sqrt(π)/2
Dirichlet积分∫<
(sinx/x)dx=π/2
一元广义积分收敛性
1.∫<
1,+∞>
xpdx
收敛p<
-1
发散p>
=-1
2.
绝对收敛p>
1
条件收敛0<
p<
=1
发散p<
=0
广义积分的收敛性
1.(Cauchy)若∀ε>
0,∃A=A(ε)>
0,∀A,A’’>
A,∀y∈[c,d],|∫A’->
A’’f(x,y)dx|<
ε,则无界区间上的广义积分∫<
a,+∞>
f(x,y)关于y一致收敛
2.(Dirichlet)若对足够大的A,有一致有界积分∫<
a,A>
f(x,y)dx和对x单调的g有limx->
+∞g(x,y)=0关于y∈[c,d]一致成立,则广义积分∫<
a,+∞>
f(x,y)g(x,y)dx一致收敛(有界的广义积分×
无穷处的0)
3.(Abel)对于y∈[c,d]有一致收敛的广义积分∫f(x,y)dx和对y一致有界、对x单调的g(x,y),则广义积分∫<
f(x,y)g(x,y)dx一致收敛(收敛的广义积分×
有界)
4.(Weierstrass)如果对于充分大的x,对y∈[c,d]一致地有|f(x,y)|<
=F(x),且F(x)的广义积分一致收敛,则f(x,y)对x的积分对于y也一致收敛(比较审敛法)
广义含参积分性质:
c,+∞>
[c,+∞)
1.若f(x,y)在D上连续,且I关于y∊[c,+∞)一致收敛,则I(x)连续
计算含参积分的方法:
1.对参变量求导
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