高中数学新教材必修第二册第八章立体几何初步81基本立体图形南开题库含详解Word文档下载推荐.docx
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直平行六面体,则
D.它们之间不都存在包含关系
11.下列结论正确的是
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥.
D.锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
12.已知结论:
在正三角形
中,若是边的中点,
是三角形
的重心,
若把该结论推广到空间,则有结论:
在棱长都相等的四面体
中,若
则一
的中心为
四面体内部一点到四面体各面的距离都相等,则
13.斜四棱柱的侧面最多可有几个面是矩形
14.下列说法正确的是
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥的底面-一定是三角形
C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D.棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
15.下列结论正确的是
A.封闭的几何体叫多面体
B.多面体的每个面都是边数相等的多边形
C.任何多面体都有对角线
D.面数最少的多面体是四面体
16.给出下列三个命题:
①相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱;
②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体;
③底面是正三
角形,各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正棱锥.其中正确的命题有
A.个B.个C.个D.个
17.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是
A.圆锥B.圆柱C.球体D.以上都可能
18.下列命题中,真命题是
A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥
B.底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C.底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥
D.底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
19
的中心,、分别是
.如图,在棱长为的正方体中,是底面
的中点.那么异面直线和所成的角的余弦值等于
A.——B.——C.-
20.一个封闭的立方体,它的个表面各标出、、、
放成下面个不同位置,所看见的表面上的字母已标明,则字母
D.-
这个字母中的个字母,现
、、对面的字母分别是
A.、、B.
21.长方体三条棱长分别是的最短矩离是
D.、、
点出发,沿长方体的表面到
D.一
22.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为
把它们重叠在一起组成一个新
长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是
23.正方体的全面积为,它的顶点都在同一个球面上,这个球的半径是
A.—
B.—
C.—
D.—
24.长方体的三个面的面积分别为、和,则长方体的体积是
A.-B.一C.D.
25.一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转形成的空间几何体为
A.一个圆锥B.一个圆锥和一个圆柱的组合体
C.两个圆锥的组合体D.一个圆锥和一个圆台的组合体
26.如图,为正方体,下面结论错误的是
A.平面
C.平面
D.异面直线与所成的角为
27.设正多面体的每个面都是正边形,以每个顶点为端点的棱有条,棱数是,面数是,顶
点数是,则它们之间的关系不正确的是
28.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为的正方形,且体积为则该几何体的俯视图
可以是
,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱
29.如图,网格纸上小正方形的边长为中,最长的棱的长度为
A.B.
30.正方体的全面积为
它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是
C.D.
的中点,下面四个结论中不成立的是
B.平面
A.-B.一
31.在正四面体中,分别是
C.平面平面
D.平面平面
这六个字母,现放
对面的字母依次分
32.如图,一个封闭的长方体,它的六个表面各标出、
成下面三种不同的位置,所看见的表面上的字母已标明,则字母
33.连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为
的球的两条弦
的长度分别等于
分别为
的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:
可能相交于点
的最大值为
的最小值为
其中真命题的个数为
34.将半径都为
个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为
35.如图,模块
构成.现从模块
均由个棱长为的小正方体构成,模块
中选出三个放到模块
上,使得模块
由个棱长为的小正方体
成为一个棱长为的大正方
体.则下列选择方案中,能够完成任务的为
模块②
B.模块
C.模块
D.模块
36.在棱长为的正方体
的个数为
中,若点
是棱上一点,则满足
的点
J
C
37.四棱锥是正四棱锥的一个充分但不必要条件是
A.各侧面都是正三角形
B.底面是正方形,各侧面都是等腰三角形
C.各侧面是全等的等腰三角形
D.底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形
38.若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数
A.至多等于
B.至多等于
的取值等于
39.已知平面
面的半径为
截一球面得圆
的面积为
过圆心
则圆
且与
面角的平面
截该球面得圆
40.已知正方体上的动点,过点为,设
的棱长为的平面与棱
关于的函数
分别是边
的解析式为
、的中点,点
平行四边形
是
的面积
4
E
则
的中点,时,有
、填空题(共40小题;
共202分)
41.如果点运动的方向始终不变,则它运动的轨迹是,将水平放置的三角形沿竖直方向平移一段距离可形成的几何体是.
42.、、是构成几何体的基本元素.
43.构成几何体的基本元素是、、.
44.下列命题正确的有.
棱柱的侧面都是平行四边形;
有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱;
用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
45.如图,在正方体中,、、、分别是棱、、
是的中点,点在四边形及其内部运动,则满足
46.以下关于三棱锥的叙述,能得到几何体是正棱锥的有
(1)两相邻侧棱所成角相等
(2)两相邻侧面所成角相等
(3)底面是等边三角形,侧面面积相等
(4)侧面与底面所成角相等
(5)三条侧棱相等,侧面与底面所成角相等.
47.给出下列结论:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台;
棱台的各侧棱延长后一定相交于一点;
圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线
为旋转轴,其余三边绕其旋转形成的曲面围成的几何体;
成球.其中正确的是(填序号).
48
半圆绕其直径所在直线旋转一周形
个不同角度看同一粒骰子的情况,
.有一粒正方体的骰子每一面都有一个英文字母,如图是从则对面的字母是.
49.空间几何体的结构特征
(1)棱柱:
他按都①,上,下倏面平行且是。
的多多边形.
面幡锥*底面是多边形,制面是有一个公共顶点的三角形.
体(箝极白:
可以由平行于棱惟底面的平面就棱锥蹲到,其上、下底面是③多边形
(1)圆柱t可以由④绕其任一边所在直线旋转嚼到.1
(2)网维二可以由百用三角形绕贽⑤所在宜缓旋转得到.
生"
3)圆台;
可以由直角梯形线其⑥所在直线或
转
_等腰梯带兼其上、下底边中点的连线所在直线旋转得到,也可由体
1f行于阅盖底面的平面截圆铢得到.I
(4)球:
可以由半叫或圆境所在在线旋转得到
50.设正四棱锥的底面正方形的边长为,高与斜高的夹角为,则棱锥的斜高为
侧面积为,表面积为.
51.一个西瓜切两刀,最多能得块;
切三刀最多能得块.
52.如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形,那么它的面数是.
53.用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积是.
54.观察分析下表中的数据:
多面体面数顶点数棱数
三棱锥
五棱锥
立方体
猜想一般凸多面体中,所满足的等式是.
55.如图,三棱锥各棱的长均为,,分别是,的中点,则
的大小为,则点到
56.如图,在正三棱柱中,.若二面角
直线的距离为.
57.下列关于长方体的说法中,正确的是.
①长方体中有组对面互相平行;
和;
平行且相等.
则其侧棱长为
为圆与圆的公共弦,
②长方体中,与垂直的只有棱
③长方体可看成是由一个矩形平移形成的;
④长方体中,棱、、
58.一棱柱有个顶点,侧棱长相等,且所有侧棱长的和为
59.已知球的半径为,圆与圆为该球的两个小圆,
若,则两圆圆心的距离
60
个顶点,这些几何形体
.在正方体上任意选择个顶点,它们可能是如下各种几何形体的
是(写出所有正确结论的编号).
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
61.在正方体的八个顶点中任取四点连线,可能构成(填序号).
②菱形;
③每个面都是直角三角形的四面体;
④正四面体;
⑤有三个面为等腰直角三角形的四面体.
62.如图为一几何体的展开图,其中是边长为的正方形,,
,点及共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使四点重合,
则需要个这样的几何体,可以拼成一个棱长为的正方体.
63.正四棱锥的顶点都在一个球面上,若该棱锥的高为,底面边长为,则该球的表面积
为.
64.下列命题正确的有个.
①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥;
④有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
65.设有四个命题:
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;
④四条体对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
以上四个命题中,真命题有.
66.已知一几何体的三视图如下,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择个顶点,它们可能是如下各种几何形体的个顶点,这些几何形体是(写出所有正确结
论的编号).
俯觇图
③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体;
④每个面都是等腰三角形的四面体;
67.已知正三棱柱的底面边长为,高为,一质点自点出发,沿着三棱柱的侧面
68.如图,在棱长都相等的四面体
绕行两周到达点的最短路线长为
中,给出如下三个命题:
①异面直线
与所成的角为
②与平面所成角的余弦值为一;
③二面角的余弦值为-,其中所有正确命题的序号为.
69.如图,在正方体中,、分别是棱、的中点,则异面直线
与所成的角的大小是.
70.已知正六棱锥的底面边长为,侧棱长为,则此六棱锥的体积为.
71.若,,为直角三角形的三边,其中为斜边,则,称这个定理为勾股定理.现
将这一定理推广到立体几何中:
在四面体中,,为顶
点所对面的面积,,,分别为侧面,,的面积,则,,,
满足的关系式为.
72.设直线与球有且只有一个公共点,从直线出发的两个半平面,截球的两个截面圆
的半径分别为和一,二面角的平面角为则球的表面积为.
73.四棱锥的所有顶点都在同一个球面上,底面是正方形且和球心在同一平面
内,当此四棱锥的体积取得最大值时,它的表面积等于一,则球的体积等于
74.在棱长为的正方体中,点是正方体棱上一点(不包括棱的端点),
①若,则满足条件的点的个数为;
②若满足的点的个数为,则的取值范围是.
75.已知三棱锥中,为等边三角形,且,—,,则三棱
锥外接球的表面积为.
76.用一个平面去截正方体,有可能截得的是以下平面图形中的.(写出满足条件的图形
①正三角形;
②梯形;
③直角三角形;
④矩形.
77.三棱锥的外接球为球,与都是以为斜边的直角三角形,是
以为斜边的等腰直角三角形,且,向量与的夹角为一,则球的表面积
78.如图,与是四面体中互相垂直的棱,.若,且
其中、为常数,则四面体的体积的最大值是
f)
/匕―厅
79.已知,,,是球表面上的点,平面,,
则球的表面积等于
80
内的射影构成的
.正四面体的棱长为,棱平面,则正四面体上的所有点在平面
图形面积的取值范围是.
三、解答题(共20小题;
共260分)
81.下列种几何体:
(1)柱体有
(2)锥体有
(3)球有;
(4)棱柱有
(5)圆柱有
(6)棱锥有
(7)圆锥有
82.如图,以直角梯形的一条边为轴旋转一周所形成的几何体是圆台吗
83.判断下列说法是否正确,并说明理由:
四边相等的四边形是菱形;
若四边形的两个对角都是直角,则这个四边形是圆内接四边形;
将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体;
平行四边形是一个平面;
多面体至少有四个面.
84.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是,母线长是,求圆锥的母线
长.
85.如图,直线绕着直线旋转一周.
(1)若直线与直线平行,得到什么图形?
(2)若直线与直线相交,得到什么图形?
(3)若直线与既不平行也不相交,得到什么图形?
86.一个长、宽、高分别为,,的长方体的体积是,他的表面积是,且满足
求这个长方体所有棱长之和.
87.如图所示的几何体,试分析它是由哪些简单几何体组成的,它是旋转体吗?
为什么?
88.根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何
体;
(3)由五个面围成,其中一个面是四边形,其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形;
(4)一个圆绕其一条直径所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体.
89.在正方体
分别为棱
的中点.
(1)求证:
平面
(2)求证:
90.设四棱锥
的底面是正方形,且
的面积为,试
求能够放入这个棱锥的最大的球的半径.
91.正四面体的高线长为,求其外接球的体积.
92
是的中点,
.如图,为正三角形,平面
求证:
是边长为的正方形,
93.如图所示,在多面体中,已知面
平面平面
为的中点,为的中点.
(3)设为正方体明理由.
95.如图1,在直角梯形
棱上一点,给出满足条件一的点的个数,并说
中,,,,.将沿
如图所示2.
折起,使平面面,得到几何体
(1)求几何体
(2)求二面角
(3)求几何体
的体积;
的正切值;
的外接球的表面积.
96.下面是荷兰著名版画大师埃舍尔(其相悖之所在.
Escher)的矛盾空间”作品(局部),请观察两幅画,并指出
97.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为的高为米,盖子边长为米.
平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器
(1)求关于的函数解析式;
(2)设容器的容积为立方米,则当为何值时,
最大?
求出的最大值.
(求解本题时,不计容器的厚度)
98.正四棱台的高是,两底面的边长分别是和,求这个四棱台的侧棱长和斜
高.
99.分子有个顶点,以每个顶点为端点都有条棱,各面是五边形或六边形,求分子中
五边形和六边形的个数.
100.已知正六棱锥底面边长为,高为,求底面面积、侧棱长和斜高.
答案
第一部分
1.D【解析】棱柱的任何截面都不可能是圆面.
2.A【解析】A中的描述即是棱锥,正确.
只有用平行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台.B错误.
棱柱的底面可以是任意多边形,C错误.
棱柱的侧面都是平行四边形,但不一定全等,D错误.
3.B
4.A【解析】由正视图与侧视图可知,几何体是柱体,由俯视图可知,三视图是圆柱体.
5.C
【解析】提示:
如图所示,
即为侧棱与底面所成的角,容易得到一,而
6.C【解析】连接,,,,
所以为异面直线和所成的角,
而三角形为等边三角形,
所以
7.C【解析】提示:
找的中点,联结、,
容易得,,所以平面,所以①成立;
显然,所以②成立;
三角形是等边三角形,显然和不垂直,所以③不成立.
8.A
9.C
10.B
11.D【解析】A错误,如图
(1),
(I)
由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体的各面都是三角形,但它不是三棱锥;
B错误,如图
(2)(3),
若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,则所得的几何体不是圆
锥;
C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底边多边形是正六边形,由几何图形的特点知,若以正六边形为底面,则侧棱长必然要大于面边长.
12.C
13.C
14.D
15.D
【解析】面数最少的几何体有个面,个面构不成几何体.
16.D【解析】①是假命题,相邻侧面互相垂直不能保证侧棱垂直于底面;
②是假命题,各侧面都是正方形,不能保证底面都是正方形,当底面为不是正方形的菱形时就不是正方体;
③是假命题,如图所示,
侧面都是等腰三角形,但不是正棱锥.
17.B【解析】[答案]B
[解析]球体被任何平面所截得的截面均为圆面;
对圆锥,截面不能为四边形;
对于圆柱,当截面过两条母线时,得到四边形.
18.D
19.B【解析】如图,取中点为,连接,则,再取中点为,
连接、,
则为异面直线和所成的角.在
中,,一,一.计算可得
20.C
21.A【解析】将长方体按不同方向展开,利用两点之间线段最短.
22.C
23.B【解析】由正方体外接球的直径等于正方体的体对角线的长,得一一,
所以一.
24.A【解析】设长方体的长、宽、高分别为、、,则,,,相乘得
所以
25.C
【解析】所形成的两个圆锥同底,其底面半径是这个直角三角形斜边上的高,这两个同底圆锥的高的和等于这个直角三角形斜边的长.
-,所以
26.D【解析】因为,所以
又为等腰直角三角形,故
27.D
28.C【解析】若该几何体的俯视图是选项
为异面直线与所成的角.
.即异面直线与所成的角为
A,则该几何体是正方体,其体积
A选项不是;
若该几何体的俯视图是选项
B,则该几何体是圆柱,其体积
所以B选项不是;
若该几何体的俯视是选项
D,则该几何体是圆柱的四分之一,其体积
积-「所以C选项符合题意,故选
29.C【解析】由三视图回出该几何体,如图.
R口
可知为最长的棱,
30.B
【解析】设球的半径为,则止方体的对角线长为
球一一•
31.C【解析】提示:
分析知,可得平
由已知可证平面,因为,可得
因为平囿,平囿,所以平囿
故选C.
32.D
33.C【解析】若,相交,因为
依题意知--,即-,所以
面(线面平行的判定),所以A正确;
平面,所以B正确;
平面,所以D正确,
而过球内一点的最短的弦(球心除外)为以该
-,所以D选项不是;
若该几何体的俯视图是选项C,则该几何体是三棱柱,其体
点为中点的弦,最长的弦为球的直径,故①正确,②错误;
,当,,共线且
,当,,共线且在中间时,有最小值
34.C【解析】四个球心构成一个正四面体(如图),
02
其棱长为,则其高设装入四个钢球的正四面体容器为
I)
球心在其局上,且
在中间时,有取人值
故③④正确.
(如图),
设为球与平面的切点,则在中线上,
35.A
【解析】观察模块
解得.因此
⑥可知,模块⑤补模块⑥中间一层,于是模块⑥只缺最上面的一层的块,模块
①补模块⑥最上面一层的左边及前面
块,模块②补模块⑥上面的右后角,如此便能够成为一个
棱长为的大正方体.
36.B【解析】当点在点时,
且从点到点移动的过程中,
点满足.当点在、、
——,所以在
当点在点时,
是连续增大的,而一一
、上移动时,情况类似.而点
上不存在这样的点,同理,点在
而
所以此时恰有一个
在上移动时,
上移动时,也不符合.所以满足
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